Introdução à Álgebra: padrões e valores desconhecidos

A Álgebra permite observar regularidades, representar números desconhecidos e organizar a resolução de problemas. Começaremos por sequências e padrões, avançando gradualmente até o uso de letras, sem antecipar o estudo formal das equações.

Nesta postagem, você aprenderá a: identificar regularidades; interpretar sequências numéricas e figurais; compreender igualdade e desigualdade; utilizar letras para representar números; determinar valores desconhecidos; realizar partilhas; e resolver problemas.

1. Sequências numéricas e regularidades

Uma sequência é uma lista de elementos organizados segundo uma ordem. Cada elemento é chamado de termo e ocupa uma posição.

Na sequência $2,4,6,8,10,\ldots$, adicionamos 2 a cada termo. Os próximos são 12, 14 e 16.

Uma sequência pode crescer, diminuir ou alternar operações:

  • $5,10,15,20,\ldots$: adicionar 5;
  • $50,45,40,35,\ldots$: subtrair 5;
  • $3,6,12,24,\ldots$: multiplicar por 2;
  • $160,80,40,20,\ldots$: dividir por 2;
  • $3,7,4,8,5,9,\ldots$: adicionar 4 e subtrair 3 alternadamente.

Posição e valor do termo

Na sequência $4,8,12,16,20,\ldots$, o termo é obtido multiplicando a posição por 4. Por isso, o termo da 10ª posição é $4\times10=40$.

Na sequência $5,8,11,14,17,\ldots$, começamos em 5 e adicionamos 3. Para a 10ª posição, adicionamos 3 nove vezes, pois 5 já ocupa a primeira:

$5+9\times3=32$

Sequências figurais

Figuras também podem formar sequências. Em uma fileira de quadrados feitos com palitos, o primeiro exige 4 palitos e cada novo quadrado compartilha um lado, exigindo apenas mais 3.

QuadradosPalitos
14
27
310
413

Para 10 quadrados: $4+9\times3=31$ palitos.

O padrão $4,7,10,13,\ldots$ também pode ser descrito por “multiplicar a posição por 3 e adicionar 1”. Essa forma permite encontrar diretamente uma posição distante.

Uma sequência precisa apresentar termos suficientes ou uma regra clara. Por exemplo, $1,2,3,\ldots$ pode continuar de modos diferentes, dependendo da regra escolhida.
Pratique sequências e regularidades

Atividades

  1. Descubra a regra e continue: $4,8,12,16$; $7,14,21,28$; $50,45,40,35$; $2,6,18,54$.
  2. Complete: $3,\square,9,12,\square,18$; $25,20,\square,10,\square,0$; $2,4,8,\square,32,\square$; $100,50,\square,12,5,\square$.
  3. Continue as sequências alternadas: $2,7,3,8,4,9$; $10,8,11,9,12,10$; $5,10,8,16,14,28$.
  4. Escreva cinco pares depois de 18, cinco ímpares depois de 21 e os cinco primeiros múltiplos positivos de 6 e de 9.
  5. Na sequência $6,12,18,24,\ldots$, determine a regra, o 8º e o 15º termos e a posição do 72.
  6. Na sequência $5,8,11,14,\ldots$, determine o 6º e o 10º termos e explique o cálculo.
  7. Figuras têm 3, 5, 7 e 9 círculos. Determine a regra e as figuras 5 e 10.
  8. Determine a quantidade de palitos em 1, 2, 3, 4, 6 e 12 quadrados lado a lado.
  9. Uma figura tem o dobro de sua posição em pontos. Determine as figuras 8 e 20 e escreva a expressão.
  10. Explique por que $1,2,3,\ldots$ pode admitir continuações diferentes e dê um exemplo.

2. Igualdade e desigualdade

O sinal $=$ indica que os dois lados possuem o mesmo valor. Em $7+5=9+3$, ambos valem 12. A igualdade representa equilíbrio, não apenas o anúncio de uma resposta.

$15-6=4+5$ é verdadeira, pois ambos os lados valem 9.
$3\times4=15$ é falsa; escrevemos $3\times4\ne15$.

Propriedades da igualdade

Adicionar ou subtrair o mesmo número nos dois lados mantém a igualdade. O mesmo ocorre ao multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número diferente de zero.

$\square+7=15$
Retirando 7 dos dois lados: $\square=8$.
Verificação: $8+7=15$.
$3\times\square=21$
Dividindo os dois lados por 3: $\square=7$.

Operações inversas

  • adição e subtração são inversas;
  • multiplicação e divisão são inversas.

É necessário observar a posição do desconhecido. Em $45-\square=17$, calculamos $45-17=28$.

Desigualdade

Usamos $>$ para “maior que” e $<$ para “menor que”. Os símbolos $\leq$ e $\geq$ incluem a possibilidade de igualdade.

Se uma compra não pode ultrapassar R$ 50,00, então $p\leq50$.
Uma idade mínima de 8 anos é representada por $i\geq8$.

Uma desigualdade pode admitir vários valores. Entre os naturais, $x<5$ pode ser verdadeiro para 0, 1, 2, 3 e 4.

Pratique igualdade e desigualdade

Atividades

  1. Classifique como verdadeira ou falsa: $8+7=15$; $20-6=12$; $4\times5=25-5$; $36\div6=3+3$; $18+2=5\times4$.
  2. Complete com $=$ ou $\ne$: $7+9$ e $20-4$; $5\times6$ e $40-8$; $42\div7$ e $2+4$; $15-3$ e $3\times4$; $8\times4$ e $30+2$.
  3. Complete: $\square+7=19$; $\square-8=15$; $6\times\square=42$; $\square\div5=9$; $36\div\square=6$.
  4. Determine e verifique: $18+\square=45$; $52-\square=19$; $\square-14=28$; $7\times\square=63$; $\square\div8=6$.
  5. Resolva: $\square+4=9+7$; $3\square=28-7$; $\square-6=5\times3$; $\square\div4=18\div2$; $40-\square=6+9$.
  6. Compare: $8+6$ e $20-5$; $7\times4$ e $35-7$; $48\div6$ e $3+6$; $25-9$ e $4\times4$; $6\times5$ e $45-10$.
  7. Escreva todos os naturais que satisfazem $x<8$.
  8. Dê quatro valores para $x>12$, $x\leq6$, $x\geq20$ e $5<x<12$.
  9. Com R$ 75,00, represente a condição de compra e teste R$ 68,50, R$ 75,00 e R$ 79,90.
  10. Analise e reescreva corretamente: $12+8=20-5=15$.

3. Sentenças matemáticas e uso de letras

Uma sentença matemática utiliza números, símbolos e operações. Ela pode ser verdadeira, falsa ou apresentar um valor desconhecido:

$12+5=17$ é verdadeira.
$8\times3=20$ é falsa.
$\square+6=14$ contém um valor desconhecido.

O valor desconhecido pode ser representado por um quadrado, uma interrogação ou uma letra. Assim, $\square+6=14$ e $x+6=14$ expressam a mesma ideia. Em ambos os casos, o valor é 8.

Letras representando números

Em $a+5=12$, a letra representa um número específico. Como $12-5=7$, temos $a=7$.

A posição da letra precisa ser interpretada:

$x-7=18$ resulta em $x=25$.
$30-x=12$ resulta em $x=18$.

Quando não há sinal entre um número e uma letra, há uma multiplicação. Portanto, $4x$ significa $4\times x$.

$4x=28$ resulta em $x=28\div4=7$.
$x\div5=9$ resulta em $x=9\times5=45$.

Desconhecido e variável

Em $x+5=13$, existe um valor específico: $x=8$. Já em $3n$, a letra pode assumir diferentes valores. Para $n=1,2,3$, obtemos 3, 6 e 9.

A sequência $4,8,12,16,\ldots$ pode ser representada por $4n$, pois cada termo é quatro vezes a posição.

A sequência $5,8,11,14,\ldots$ pode ser representada por $3n+2$:

$n$$3n+2$
15
28
311
414

Traduzindo frases

  • um número mais 7: $x+7$;
  • o dobro de um número: $2x$;
  • o triplo mais 5: $3x+5$;
  • a metade de um número: $\frac{x}{2}$;
  • a soma de um número com 12 é 20: $x+12=20$.

Substituição

Se $x=6$, então $x+9=6+9=15$. Se $a=4$, então $3a+2=3\times4+2=14$.

Se $a=5$ e $b=3$, então $2a+b=2\times5+3=13$.

Pratique sentenças matemáticas e uso de letras

Atividades

  1. Troque o quadrado por uma letra e resolva: $\square+8=21$; $\square-9=17$; $5\square=35$; $\square\div6=8$; $48\div\square=6$.
  2. Determine e verifique: $x+7=19$; $a-12=25$; $6b=54$; $m\div4=11$; $72\div p=8$.
  3. Resolva observando a posição: $x-15=20$; $45-x=18$; $y+13=31$; $50-y=22$; $63\div z=7$.
  4. Escreva com letra: um número mais 9; menos 4; o dobro; o triplo mais 5; a metade.
  5. Escreva e resolva: número mais 8 é 20; número menos 7 é 16; dobro é 30; triplo é 27; metade é 14.
  6. Para $x=5$, calcule $x+8$, $3x$, $2x+7$, $20-x$ e $x^2$.
  7. Para $a=6$ e $b=4$, calcule $a+b$, $a-b$, $2a+b$, $3b-a$ e $ab$.
  8. Na sequência $5,10,15,20,\ldots$, escreva a expressão, os termos 8 e 20 e a posição do 60.
  9. Para $3n+2$, calcule $n=1,2,3,4$, escreva a sequência e determine o 10º termo.
  10. Explique a diferença entre $x+5=12$ e $4n$ e calcule os valores solicitados.

4. Partilhas e resolução de problemas

Partes iguais

Para dividir R$ 120,00 igualmente entre 3 pessoas, calculamos $120\div3=40$. Cada uma recebe R$ 40,00.

Duas partes iguais que somam 18 podem ser representadas por $x+x=18$ ou $2x=18$. Cada parte vale 9.

Partes com diferença conhecida

R$ 100,00 serão divididos entre duas pessoas, e a segunda receberá R$ 20,00 a mais. Retiramos primeiro a diferença:

$100-20=80$
$80\div2=40$
Partes: R$ 40,00 e R$ 60,00.

Retiramos a diferença porque, sem o adicional, restam duas partes iguais.

Em três caixas que somam 72 objetos, a segunda tem 6 a mais e a terceira 12 a mais que a primeira:

$72-6-12=54$
$54\div3=18$
Quantidades: 18, 24 e 30.

Dobro, triplo e razão

Se R$ 90,00 são divididos e a segunda parte é o dobro da primeira, temos 1 parte mais 2 partes, totalizando 3. Cada parte vale $90\div3=30$. Os valores são R$ 30,00 e R$ 60,00.

Para dividir R$ 150,00 na razão $2:3$, somamos 5 partes:

$150\div5=30$ por parte.
$2\times30=60$ e $3\times30=90$.

Na razão $2:3:5$, somamos 10 partes e multiplicamos o valor de uma parte por 2, 3 e 5.

Atenção: “20 a mais” é representado por $x+20$. “O dobro” é representado por $2x$. Essas relações não significam a mesma coisa.

Problemas com valores desconhecidos

Uma pessoa recebeu R$ 35,00 e passou a ter R$ 92,00:

$x+35=92$
$x=92-35=57$.

Se 6 grupos iguais reúnem 48 estudantes, então $6x=48$ e $x=8$.

Dois números consecutivos somam 35. Se retirarmos a diferença 1, restam duas partes iguais:

$35-1=34$
$34\div2=17$
Números: 17 e 18.

Três consecutivos somando 72 são encontrados retirando 1 e 2: $72-1-2=69$; $69\div3=23$. Os números são 23, 24 e 25.

Pratique partilhas e resolução de problemas

Atividades

  1. Divida igualmente: R$ 180,00 entre 3; 96 objetos em 8 caixas; 75 livros em 5; 144 estudantes em 12.
  2. Divida em duas partes: total 70, diferença 10; total 96, diferença 20; total 150, diferença 30; total 48, diferença 8.
  3. R$ 120,00 são divididos e a segunda pessoa recebe o dobro. Determine partes e verifique.
  4. Divida 100 em $1:4$; 180 em $2:3$; 240 em $3:5$; 360 em $2:3:4$.
  5. Três caixas somam 90 bolas; a segunda tem 6 a mais e a terceira 12 a mais que a primeira. Determine cada uma.
  6. Escreva e resolva: número mais 15 é 42; menos 18 é 25; dobro é 56; metade é 19; dividido por 7 é 8.
  7. Uma pessoa recebeu R$ 28,00 e passou a ter R$ 75,00. Represente, resolva e verifique.
  8. Nove equipes iguais reúnem 63 estudantes. Determine cada equipe e o total para 7 equipes.
  9. Resolva: número e dobro somam 54; dois consecutivos somam 49; três consecutivos somam 63; número e triplo somam 80.
  10. Analise as respostas propostas para $x+12=30$, $5x=45$, $x-8=17$ e $x\div6=7$.

Atividades de aprofundamento

Resolva as atividades antes de consultar o gabarito.

  1. Continue quatro termos: $6,11,16,21$; $96,84,72,60$; $3,9,27,81$; $128,64,32,16$; $2,6,4,8,6,10$.
  2. Complete: $4,\square,12,16,\square,24$; $60,52,\square,36,\square,20$; $5,10,\square,40,80,\square$; $243,81,\square,9,\square,1$.
  3. Na sequência $7,12,17,22,\ldots$, determine regra, termos 6, 10 e 20 e posição do 52.
  4. Para $4n+1$, calcule $n=1$ a 5, escreva a sequência e determine os termos 10 e 20.
  5. Triângulos lado a lado usam 3 palitos no primeiro e mais 2 por novo triângulo. Determine 1 a 4, 8 e 15 triângulos.
  6. Figuras têm 4, 7, 10 e 13 pontos. Determine figuras 7 e 20 e escolha entre $3n$, $3n+1$, $4n$ e $n+3$.
  7. Classifique e corrija se necessário: $18+7=5\times5$; $48\div6=12-4$; $9\times4=40-6$; $56-18=19+19$; $72\div8=3^2$.
  8. Partindo de $24=24$, adicione 8, subtraia 9, multiplique por 3 e divida por 6 nos dois lados.
  9. Determine e verifique: $x+18=47$; $m-16=29$; $60-y=24$; $7a=63$; $b\div8=12$; $90\div p=10$.
  10. Resolva: $x+9=4\times7$; $5a=48-8$; $m-12=3\times9$; $b\div6=36\div4$; $70-p=5\times8$.
  11. Determine naturais para $x<7$, $x>15$, $4\leq x<10$ e $12<x\leq20$; represente idade mínima de 10.
  12. Escreva com letra: mais 12; menos 7; cinco vezes; dobro mais 9; terça parte; número mais dobro; diferença entre 40 e o número.
  13. Escreva e resolva: número mais 14 é 35; menos 19 é 28; quádruplo é 52; terça parte é 15; diferença entre 80 e número é 32.
  14. Para $a=7$ e $b=5$, calcule $a+b$, $a-b$, $3a$, $2a+b$, $4b-a$, $ab$ e $a^2+b$.
  15. Duas pessoas têm R$ 184,00 e a segunda R$ 36,00 a mais. Determine as quantias.
  16. Três caixas somam 126; a segunda tem 9 a mais e a terceira 18 a mais que a primeira. Determine cada uma.
  17. Divida 140 em $2:5$; 216 em $3:5$; 360 em $2:3:5$; R$ 480,00 em $1:3:4$.
  18. Determine: dois consecutivos somam 61; três consecutivos somam 96; dois consecutivos somam 85.
  19. Resolva: recebeu R$ 47,00 e ficou com R$ 125,00; retirou 26 e restaram 39; 8 equipes somam 72; 9 caixas têm 14 cada; número e dobro somam 75.
  20. Analise as respostas: $x+17=45$, resposta 62; $6x=54$, resposta 48; $x-13=24$, resposta 11; $x\div7=8$, resposta 56.

Gabarito

Abra cada parte somente depois de resolver as atividades.

Gabarito do Pratique 1
  1. Adicionar 4: 20, 24, 28; adicionar 7: 35, 42, 49; subtrair 5: 30, 25, 20; multiplicar por 3: 162, 486, 1.458.
  2. $3,6,9,12,15,18$; $25,20,15,10,5,0$; $2,4,8,16,32,64$; $100,50,25,12,5,6,25$.
  3. $2,7,3,8,4,9,5,10$; $10,8,11,9,12,10,13,11$; $5,10,8,16,14,28,26,52$.
  4. Pares: 20, 22, 24, 26, 28. Ímpares: 23, 25, 27, 29, 31. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30. De 9: 9, 18, 27, 36, 45.
  5. Adicionar 6; 8º termo 48; 15º termo 90; 72 está na 12ª posição.
  6. 6º termo 20; 10º termo 32. Adicionamos 3 nove vezes porque 5 já ocupa a primeira posição.
  7. Acrescentar 2; figura 5: 11 círculos; figura 10: 21 círculos.
  8. 1, 2, 3 e 4 quadrados: 4, 7, 10 e 13 palitos; 6 quadrados: 19; 12 quadrados: 37.
  9. Figura 8: 16 pontos; figura 20: 40; expressão $2n$.
  10. Sem uma regra explícita, há mais de uma possibilidade. Exemplo: repetir $1,2,3,1,2,3,\ldots$.
Gabarito do Pratique 2
  1. Verdadeira; falsa, pois $20-6=14$; verdadeira; verdadeira; verdadeira.
  2. $=$; $\ne$; $=$; $=$; $=$.
  3. 12; 23; 7; 45; 6.
  4. 27; 33; 42; 9; 48.
  5. 12; 7; 21; 36; 25.
  6. $8+6<20-5$; $7\times4=35-7$; $48\div6<3+6$; $25-9=4\times4$; $6\times5<45-10$.
  7. $0,1,2,3,4,5,6,7$.
  8. Exemplos: 13, 14, 15, 16; 0, 1, 2, 6; 20, 21, 22, 23; 6, 7, 8, 9.
  9. $p\leq75$. Atendem R$ 68,50 e R$ 75,00. O sinal inclui a igualdade porque o valor exato também pode ser pago.
  10. A cadeia está incorreta. Forma adequada: $12+8-5=20-5=15$.
Gabarito do Pratique 3
  1. $x=13$; $x=26$; $x=7$; $x=48$; $x=8$.
  2. $x=12$; $a=37$; $b=9$; $m=44$; $p=9$.
  3. $x=35$; $x=27$; $y=18$; $y=28$; $z=9$.
  4. $x+9$; $x-4$; $2x$; $3x+5$; $\frac{x}{2}$.
  5. $x+8=20$, $x=12$; $x-7=16$, $x=23$; $2x=30$, $x=15$; $3x=27$, $x=9$; $\frac{x}{2}=14$, $x=28$.
  6. 13; 15; 17; 15; 25.
  7. 10; 2; 16; 6; 24.
  8. Expressão $5n$; 8º termo 40; 20º termo 100; 60 está na 12ª posição.
  9. 5, 8, 11, 14; 10º termo 32; a regularidade é adicionar 3.
  10. Em $x+5=12$, $x$ é o valor específico 7. Em $4n$, $n$ varia; para 1, 2 e 3, os resultados são 4, 8 e 12.
Gabarito do Pratique 4
  1. R$ 60,00; 12 objetos; 15 livros; 12 estudantes.
  2. 30 e 40; 38 e 58; 60 e 90; 20 e 28.
  3. Três partes; cada parte vale R$ 40,00; valores R$ 40,00 e R$ 80,00.
  4. 20 e 80; 72 e 108; 90 e 150; 80, 120 e 160.
  5. Primeira 24; segunda 30; terceira 36; soma 90.
  6. $x=27$; $x=43$; $x=28$; $x=38$; $x=56$.
  7. $x+28=75$; $x=47$. Verificação: $47+28=75$.
  8. $9x=63$; 7 estudantes por equipe; 49 estudantes em 7 equipes.
  9. Número 18 e dobro 36; consecutivos 24 e 25; consecutivos 20, 21 e 22; número 20 e triplo 60.
  10. Corretos: apenas $x=42$ em $x\div6=7$. Correções: $x=18$; $x=9$; $x=25$; $x=42$.
Gabarito das 20 atividades de aprofundamento
  1. Adicionar 5: 26, 31, 36, 41. Subtrair 12: 48, 36, 24, 12. Multiplicar por 3: 243, 729, 2.187, 6.561. Dividir por 2: 8, 4, 2, 1. Intercalada: 8, 12, 10, 14.
  2. $4,8,12,16,20,24$; $60,52,44,36,28,20$; $5,10,20,40,80,160$; $243,81,27,9,3,1$.
  3. Adicionar 5; 6º termo 32; 10º termo 52; 20º termo 102; 52 está na 10ª posição.
  4. 5, 9, 13, 17, 21; adicionar 4; 10º termo 41; 20º termo 81.
  5. 3, 5, 7, 9 palitos; acrescentar 2; para 8, 17; para 15, 31. Cálculo: $3+(n-1)\times2$.
  6. Acrescentar 3; figura 7: 22; figura 20: 61; expressão $3n+1$.
  7. Verdadeira; verdadeira; falsa, pois 36 não é 34, correção possível $9\times4=40-4$; verdadeira; verdadeira.
  8. $32=32$; $15=15$; $72=72$; $4=4$. A mesma operação preserva o equilíbrio.
  9. $x=29$; $m=45$; $y=36$; $a=9$; $b=96$; $p=9$.
  10. $x=19$; $a=8$; $m=39$; $b=54$; $p=30$.
  11. $x<7$: 0 a 6. Exemplos para $x>15$: 16 a 20. $4\leq x<10$: 4 a 9. Entre 8, 12, 15, 18 e 21, satisfazem $12<x\leq20$: 15 e 18. Idade: $i\geq10$.
  12. $x+12$; $x-7$; $5x$; $2x+9$; $\frac{x}{3}$; $x+2x$; $40-x$.
  13. $x=21$; $x=47$; $x=13$; $x=45$; $x=48$.
  14. 12; 2; 21; 19; 13; 35; 54.
  15. Retira-se 36: $184-36=148$; cada parte básica vale 74; quantias R$ 74,00 e R$ 110,00. Soma 184 e diferença 36.
  16. Diferenças somam 27; $126-27=99$; parte básica 33; caixas: 33, 42 e 51.
  17. 140 em $2:5$: 40 e 100. 216 em $3:5$: 81 e 135. 360 em $2:3:5$: 72, 108 e 180. R$ 480,00 em $1:3:4$: R$ 60,00, R$ 180,00 e R$ 240,00.
  18. 30 e 31; 31, 32 e 33; 42 e 43. Retiram-se as diferenças 1 ou 1 e 2 antes de dividir igualmente.
  19. R$ 78,00; 65 objetos; 9 estudantes; 126 objetos; número 25 e dobro 50.
  20. A: incorreta, $x=28$. B: incorreta, $x=9$. C: incorreta, $x=37$. D: correta, $x=56$. As substituições confirmam: $28+17=45$; $6\times9=54$; $37-13=24$; $56\div7=8$.