~ MATEMÁTICAFC

Unidades de comprimento, perímetro e área

Medir é comparar uma grandeza com uma unidade escolhida. Nesta postagem, começaremos pelas unidades de comprimento e suas transformações. Depois, utilizaremos essas medidas para estudar o perímetro e, por fim, a área de figuras planas.

1. Unidades de comprimento

As unidades de comprimento são utilizadas para medir distâncias, alturas, larguras, espessuras e contornos. A unidade fundamental de comprimento é o metro, representado por \(\text{m}\).

Exemplo	Unidade conveniente
Espessura de uma moeda	milímetro
Comprimento de um lápis	centímetro
Comprimento de uma sala	metro
Distância entre cidades	quilômetro

Múltiplos e submúltiplos do metro

Para representar comprimentos maiores ou menores que o metro, utilizamos outras unidades.

Unidade	Símbolo	Relação com o metro
Quilômetro	km	\(1\text{ km}=1\,000\text{ m}\)
Hectômetro	hm	\(1\text{ hm}=100\text{ m}\)
Decâmetro	dam	\(1\text{ dam}=10\text{ m}\)
Metro	m	unidade fundamental
Decímetro	dm	\(1\text{ m}=10\text{ dm}\)
Centímetro	cm	\(1\text{ m}=100\text{ cm}\)
Milímetro	mm	\(1\text{ m}=1\,000\text{ mm}\)

2. Transformações de unidades de comprimento

Entre duas unidades consecutivas da escala, a relação é de 10 para 1.

Ao passar para uma unidade menor, deslocamo-nos para a direita e multiplicamos por 10 em cada posição.
Ao passar para uma unidade maior, deslocamo-nos para a esquerda e dividimos por 10 em cada posição.

Exemplo 1: metros para centímetros

Do metro até o centímetro, avançamos duas posições:

\[\text{m}\rightarrow\text{dm}\rightarrow\text{cm}\]

Por isso, multiplicamos por 10 duas vezes:

\[3\text{ m}=3\times10\times10=300\text{ cm}\]

Exemplo 2: quilômetros para metros

Do quilômetro até o metro, avançamos três posições:

\[2\text{ km}=2\times1\,000=2\,000\text{ m}\]

Exemplo 3: centímetros para metros

Do centímetro até o metro, voltamos duas posições. Portanto, dividimos por 100:

\[450\text{ cm}=450\div100=4{,}5\text{ m}\]

Medidas com duas unidades

Também podemos escrever \(250\text{ cm}\) como metros completos e centímetros restantes:

\[250\text{ cm}=200\text{ cm}+50\text{ cm}=2\text{ m e }50\text{ cm}\]

Atenção: antes de adicionar ou comparar comprimentos, transforme todas as medidas para a mesma unidade.

Para medir com a régua, alinhamos uma extremidade do objeto à marca do zero.

Pratique unidades de comprimento

Indique uma unidade adequada para medir: a) a espessura de uma moeda; b) um lápis; c) uma sala; d) a distância entre duas cidades.
Complete: a) \(1\text{ m}=\) ___ dm; b) \(1\text{ m}=\) ___ cm; c) \(1\text{ km}=\) ___ m.
Transforme \(6\text{ m}\) em centímetros.
Transforme \(4\text{ km}\) em metros.
Transforme \(75\text{ cm}\) em milímetros.
Transforme \(3\,500\text{ mm}\) em metros.
Transforme \(840\text{ cm}\) em metros.
Escreva \(425\text{ cm}\) como metros completos e centímetros restantes.
Uma régua mostra um segmento de \(5{,}7\text{ cm}\). Expresse essa medida em milímetros.
Uma corda mede \(2\text{ m}\) e outra mede \(80\text{ cm}\). Qual é o comprimento total em centímetros?

3. Perímetro

O perímetro é a medida do contorno. Para calculá-lo, adicionamos as medidas de todos os lados. Um terreno retangular de 8 m por 5 m possui:

\[P=8+5+8+5=26\text{ m}\]

O perímetro usa unidade de comprimento, neste caso, metros.

No quadrado de lado \(l\), \(P=4l\). No retângulo de comprimento \(c\) e largura \(l\), \(P=2(c+l)\). Essas expressões apenas abreviam a adição de todos os lados.

Medida desconhecida

Se um retângulo tem perímetro de 34 cm e comprimento de 11 cm, os dois comprimentos somam 22 cm. Restam 12 cm para as duas larguras. Logo, cada largura mede \(12\div2=6\text{ cm}\).

Contornos em malhas

Em figuras formadas por quadradinhos, contamos somente os segmentos da borda externa, nunca as divisões internas.

Pratique perímetro

Explique o que representa o perímetro.
Calcule o perímetro do triângulo de lados 8 cm, 9 cm e 11 cm.
Calcule o perímetro de um quadrilátero de lados 4 cm, 6 cm, 7 cm e 9 cm.
Um hexágono possui seis lados de 4 cm. Determine o perímetro.
Um jardim retangular mede 12 m por 7 m. Quantos metros de cerca são necessários?
Um retângulo possui lados de 3 m e 80 cm. Calcule o perímetro após transformar tudo em centímetros.
Um quadrado possui perímetro de 36 cm. Determine o lado.
Um retângulo tem perímetro de 50 cm e comprimento de 16 cm. Determine a largura.
Calcule o perímetro da cruz abaixo, formada por cinco quadrados de lado 1 cm.
Uma moldura retangular mede externamente 30 cm por 22 cm. Determine o contorno externo.

4. Área e unidade quadrada

A área mede a superfície ocupada por uma figura. Por isso, utilizamos unidades quadradas, como \(\text{cm}^2\) e \(\text{m}^2\). Um quadrado de lado 1 cm possui área de \(1\text{ cm}^2\).

Comprimento e área não se transformam da mesma forma. Como \(1\text{ m}=100\text{ cm}\), um quadrado de lado 1 m tem lados de 100 cm. Logo, \(1\text{ m}^2=100\times100=10\,000\text{ cm}^2\). Não aprofundaremos agora as transformações de área.

Perímetro	Área
Mede o contorno	Mede a superfície
cm, m, km	cm², m², km²
cerca, moldura, rodapé	piso, pintura, terreno

Contagem de quadradinhos

Se cada quadradinho representa \(1\text{ cm}^2\), contamos os quadrados que ocupam a região interna.

Partes de quadradinhos

Duas metades formam uma unidade inteira: \(\frac12+\frac12=1\). Assim, cinco quadrados inteiros e quatro metades correspondem a \(5+2=7\) unidades quadradas.

Pratique área e unidades quadradas

Explique a diferença entre perímetro e área.
Classifique como perímetro ou área: cerca, piso, moldura, pintura e fita ao redor de uma caixa.
Escolha: área de uma folha, cm ou cm²; contorno de uma quadra, m ou m²; superfície de um terreno, m ou m².
Escreva por extenso: 8 cm², 15 m² e 3 km².
Determine a área da escada abaixo.
Determine área e perímetro de um retângulo com quatro colunas e três linhas de quadrados de lado 1 cm.
Uma figura é formada por 15 quadrados de 1 m². Qual é a área?
Duas figuras com a mesma quantidade de quadrados possuem necessariamente a mesma área e o mesmo perímetro? Explique.
Uma figura possui 6 quadrados inteiros e 6 metades. Determine a área.
Uma figura possui 4 quadrados inteiros e 4 metades. Determine a área.

5. Área do retângulo e do quadrado

Em um retângulo, multiplicamos o comprimento pela largura:

\[A=c\times l\]

Um retângulo de 5 cm por 3 cm contém 3 linhas de 5 quadrados, portanto \(A=5\times3=15\text{ cm}^2\).

No quadrado, multiplicamos o lado por ele mesmo: \(A=l\times l=l^2\). Um quadrado de lado 4 cm possui \(A=4\times4=16\text{ cm}^2\).

Atenção: \(16\text{ cm}\) e \(16\text{ cm}^2\) não representam a mesma grandeza. O primeiro pode indicar perímetro; o segundo indica área.

Dimensão desconhecida

Se um retângulo possui área de 36 cm² e comprimento de 9 cm, sua largura é \(36\div9=4\text{ cm}\). Se um quadrado possui área de 49 cm², procuramos a multiplicação conhecida \(7\times7=49\), portanto o lado mede 7 cm.

Mesma área, perímetros diferentes

Retângulos de \(3\times4\) e \(2\times6\) possuem área de 12 unidades quadradas, mas perímetros de 14 e 16 unidades.

Mesmo perímetro, áreas diferentes

Retângulos de \(5\times3\) e \(6\times2\) possuem perímetro 16, mas áreas 15 e 12.

Pratique área do quadrado e do retângulo

Calcule a área de um retângulo de 8 cm por 5 cm.
Um quadrado tem lado 9 cm. Determine perímetro e área.
Uma sala mede 10 m por 6 m. Determine a área.
Um retângulo possui área de 42 cm² e comprimento de 7 cm. Determine a largura.
Um quadrado possui área de 64 cm². Determine o lado usando uma multiplicação conhecida.
Calcule área e perímetro de um retângulo de 7 cm por 4 cm.
Compare um retângulo de 2 por 5 quadrados com a escada de 4, 3, 2 e 1 quadrados: determine área e perímetro.
Determine perímetro e área dos retângulos A, de 7 cm por 3 cm, e B, de 6 cm por 4 cm.
Um terreno mede 15 m por 8 m e possui portão de 3 m. Quantos metros de cerca serão usados?
Uma sala mede 8 m por 6 m e tem porta de 1 m. Determine área do piso e rodapé necessário.

6. Situações do cotidiano

Um terreno de 18 m por 10 m tem perímetro de 56 m. Se um portão de 4 m ocupar parte do contorno, serão usados \(56-4=52\text{ m}\) de cerca. Em uma sala de 7 m por 5 m, o piso ocupa \(35\text{ m}^2\), enquanto o rodapé depende do perímetro, descontando-se a porta.

Para lembrar: cercas, rodapés e molduras relacionam-se ao perímetro. Pisos, pinturas e superfícies relacionam-se à área.

Atividades de revisão e aprofundamento

Converta: 7 cm em mm; 6 m em cm; 4 km em m; 900 cm em m.
Expresse 425 cm em metros e centímetros.
Um segmento mede 6,4 cm. Expresse em milímetros.
Diferencie perímetro e área.
Calcule o perímetro do triângulo de lados 9 cm, 12 cm e 14 cm.
Um pentágono tem cinco lados de 7 cm. Determine o perímetro.
Calcule o perímetro de um quadrado de lado 11 cm.
Calcule o perímetro de um retângulo de 18 cm por 7 cm.
Um triângulo tem perímetro 40 cm e lados conhecidos 12 cm e 15 cm. Determine o terceiro.
Um retângulo tem perímetro 64 cm e comprimento 20 cm. Determine a largura.
Escolha as unidades adequadas para área de caderno, perímetro de quadra, área de município e comprimento de lápis.
Uma figura possui 11 quadrados de 1 cm². Determine a área.
Uma figura tem 8 quadrados inteiros e 6 metades. Determine a área.
Conhecer uma área de 24 unidades permite determinar o perímetro? Justifique.
Um retângulo tem cinco linhas e oito colunas unitárias. Determine a área.
Determine perímetro e área de um quadrado de lado 6 cm.
Determine perímetro e área de um retângulo de 12 cm por 5 cm.
Uma parede mede 4 m por 3 m. Determine a área.
Um retângulo possui área 72 cm² e comprimento 9 cm. Determine a largura.
Um quadrado possui área 81 cm². Determine o lado.
Uma horta mede 14 m por 9 m. Determine cerca e área.
Uma sala mede 9 m por 5 m e tem porta de 1 m. Determine piso e rodapé.
Compare área e perímetro de figuras de 4×4 e 2×8 quadrados.
Um terreno tem perímetro 70 m e comprimento 22 m. Determine largura e área.
Com 24 placas quadradas de lado 1 m, compare retângulos 1×24, 2×12, 3×8 e 4×6 e indique o menor perímetro.

Gabaritos

Pratique 1: unidades de comprimento

a) milímetro; b) centímetro; c) metro; d) quilômetro.
a) 10 dm; b) 100 cm; c) 1.000 m.
600 cm.
4.000 m.
750 mm.
3,5 m.
8,4 m.
4 m e 25 cm.
57 mm.
280 cm.

Pratique 2: perímetro

É a medida do contorno.
28 cm.
26 cm.
24 cm.
38 m.
760 cm.
9 cm.
9 cm.
12 cm.
104 cm.

Pratique 3: área e unidades quadradas

Contorno e superfície.
Perímetro, área, perímetro, área, perímetro.
cm²; m; m².
Oito centímetros quadrados; quinze metros quadrados; três quilômetros quadrados.
9 cm².
12 cm² e 14 cm.
15 m².
Mesma área; o perímetro pode variar.
9 unidades quadradas.
6 unidades quadradas.

Pratique 4: área do quadrado e do retângulo

40 cm².
36 cm e 81 cm².
60 m².
6 cm.
8 cm.
28 cm² e 22 cm.
Ambas com 10 cm²; perímetros 14 cm e 16 cm.
A: 20 cm e 21 cm²; B: 20 cm e 24 cm².
43 m.
48 m² e 27 m.

Revisão

70 mm; 600 cm; 4.000 m; 9 m.
4 m e 25 cm.
64 mm.
Perímetro mede contorno; área mede superfície.
35 cm.
35 cm.
44 cm.
50 cm.
13 cm.
12 cm.
cm²; m; km²; cm.
11 cm².
11 unidades quadradas.
Não.
40 unidades quadradas.
24 cm e 36 cm².
34 cm e 60 cm².
12 m².
8 cm.
9 cm.
46 m e 126 m².
45 m² e 27 m.
Áreas 16; perímetros 16 e 20.
13 m e 286 m².
Perímetros 50, 28, 22 e 20 m; menor: 4×6.

← Postagem anteriorPróxima postagem →