Semelhança de triângulos e Teorema de Tales
A semelhança está presente em diversas situações do cotidiano. Fotografias ampliadas ou reduzidas, plantas de construções, mapas, maquetes e até a determinação de alturas e distâncias inacessíveis utilizam relações de proporcionalidade entre medidas.
Na Geometria, duas figuras são semelhantes quando possuem a mesma forma, embora possam apresentar tamanhos diferentes.
Habilidades da BNCC
EF09MA10: demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
EF09MA12: reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
1. Figuras semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando apresentam a mesma forma e suas medidas correspondentes mantêm uma relação de proporcionalidade.
Considere dois retângulos de dimensões \(4\text{ cm}\times6\text{ cm}\) e \(8\text{ cm}\times12\text{ cm}\).
As duas dimensões foram multiplicadas pelo mesmo número. Portanto, os retângulos são semelhantes.
2. Razão de semelhança
A razão de semelhança indica a relação existente entre as medidas correspondentes de duas figuras semelhantes.
Exemplo resolvido 1. Dois polígonos semelhantes possuem lados correspondentes de 7 cm e 21 cm.
Portanto, cada medida linear da segunda figura é 3 vezes a correspondente da primeira.
3. Ampliação e redução
Quando \(k>1\), temos uma ampliação. Quando \(0<k<1\), temos uma redução.
Exemplo resolvido 2. Um desenho possui 18 cm de largura e será reduzido com razão \(k=\frac23\).
A nova largura será 12 cm.
4. Triângulos semelhantes
Dois triângulos são semelhantes quando apresentam ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.
5. Identificando lados correspondentes
| Primeiro triângulo | Segundo triângulo |
|---|---|
| \(AB\) | \(DE\) |
| \(BC\) | \(EF\) |
| \(AC\) | \(DF\) |
Exemplo resolvido 3. Se \(AB=6\), \(BC=8\) e \(DE=9\), determine \(EF\).
O lado correspondente mede 12 cm.
6. Caso Ângulo-Ângulo — AA
Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos correspondentes de outro triângulo, os triângulos são semelhantes.
Exemplo resolvido 4. Um triângulo possui ângulos \(50^\circ\), \(60^\circ\) e \(70^\circ\). Outro possui ângulos \(50^\circ\) e \(60^\circ\).
Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
7. Caso Lado-Ângulo-Lado — LAL
Dois triângulos são semelhantes pelo caso LAL quando possuem dois pares de lados correspondentes proporcionais e o ângulo compreendido entre eles congruente.
Exemplo resolvido 5. Em um triângulo, dois lados medem 4 cm e 6 cm. Em outro, os correspondentes medem 10 cm e 15 cm.
Se o ângulo compreendido entre eles for igual, os triângulos são semelhantes pelo caso LAL.
8. Caso Lado-Lado-Lado — LLL
Exemplo resolvido 6. Considere triângulos com lados \(3,4,5\) e \(6,8,10\).
Os triângulos são semelhantes pelo caso LLL.
9. Calculando medidas com semelhança
Exemplo resolvido 7. No menor, dois lados medem 5 cm e 7 cm. No maior, o correspondente ao lado de 5 cm mede 15 cm.
O lado desconhecido mede 21 cm.
▶ Pratique 1 — Semelhança de figuras e triângulos
1. Determine a razão de semelhança entre duas figuras quando lados correspondentes medem 4 cm e 12 cm.
2. Uma figura foi ampliada com razão \(k=5\). Um lado que media 3 cm passará a medir quanto?
3. Uma figura foi reduzida na razão \(1:4\). Determine a nova medida de um segmento de 28 cm.
4. Verifique se os triângulos de lados \(4,6,8\) e \(6,9,12\) são semelhantes.
5. Dois triângulos possuem ângulos \(40^\circ\), \(60^\circ\) e \(80^\circ\). Eles são necessariamente semelhantes? Justifique.
6. Uma fotografia de 10 cm de largura foi ampliada proporcionalmente para 25 cm. Se sua altura original era 16 cm, determine a nova altura.
7. Em dois triângulos semelhantes, um lado de 8 cm corresponde a outro de 20 cm. Se outro lado do primeiro mede 12 cm, determine a medida correspondente no segundo.
8. Uma maquete de uma fachada possui 18 cm de altura. Uma nova maquete semelhante será construída com todas as dimensões 1,5 vez maiores. Determine a nova altura.
9. Dois terrenos triangulares possuem os mesmos ângulos. Em um deles, um lado mede 30 m e o correspondente no outro mede 45 m. Se outro lado do primeiro mede 40 m, determine o correspondente no segundo.
10. Um desenho retangular de 24 cm por 36 cm será reduzido mantendo sua forma. Se a nova largura for 16 cm, determine a nova altura.
10. Retas paralelas cortadas por uma transversal
Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, formam-se ângulos correspondentes, alternos e colaterais.
Exemplo resolvido 8. Se um dos ângulos mede \(65^\circ\), o alterno interno correspondente também mede \(65^\circ\).
Os ângulos formados apresentam medidas de 65° e 115°.
11. Por que essas relações acontecem?
Exemplo resolvido 9. Se um dos ângulos mede \(128^\circ\), os correspondentes e alternos relacionados também medem \(128^\circ\).
Os oito ângulos apresentam medidas de 128° e 52°.
12. Teorema de Tales
Quando um conjunto de retas paralelas é cortado por duas ou mais transversais, os segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais.
Exemplo resolvido 10. Se os segmentos correspondentes medem 4 cm, 6 cm, 10 cm e \(x\):
O segmento desconhecido mede 15 cm.
13. Identificando os segmentos correspondentes
Exemplo resolvido. Se \(AB=3\), \(BC=5\), \(DE=6\) e \(EF=x\):
14. Outras formas de organizar a proporção
A correspondência deve ser mantida, mas a proporção pode ser escrita de formas equivalentes.
Exemplo resolvido 11. Se \(AB=8\), \(BC=12\), \(DE=10\) e \(EF=x\):
15. Teorema de Tales em um triângulo
No triângulo \(ABC\), se \(D\in AB\), \(E\in AC\) e \(DE\parallel BC\), temos segmentos proporcionais e triângulos semelhantes.
Exemplo resolvido 12. Se \(AD=4\), \(DB=6\) e \(AE=8\), determine \(EC\).
O segmento \(EC\) mede 12 cm.
16. Tales e semelhança de triângulos
Como \(DE\parallel BC\), os triângulos \(ADE\) e \(ABC\) possuem ângulos correspondentes congruentes e são semelhantes pelo caso AA.
Exemplo resolvido 13. Se \(AD=6\), \(AB=15\) e \(DE=8\), determine \(BC\).
17. Determinando segmentos que formam um lado inteiro
Exemplo resolvido 14. Se \(AD=5\), \(DB=3\) e \(AE=10\), primeiro calculamos:
O lado \(AC\) mede 16 cm.
18. Aplicação em feixes de paralelas
Exemplo resolvido 15. Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais. Em uma avenida, os trechos medem 120 m e 180 m. Na outra, o primeiro mede 80 m.
A distância procurada é 120 m.
▶ Pratique 2 — Paralelas, transversal e Teorema de Tales
1. Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Se um dos ângulos mede \(72^\circ\), determine a medida de um ângulo correspondente.
2. Um dos ângulos mede \(135^\circ\). Determine a medida de um ângulo colateral interno.
3. Três retas paralelas são cortadas por duas transversais. Em uma delas, os segmentos medem 4 cm e 10 cm. Na outra, 6 cm e \(x\). Determine \(x\).
4. Em um feixe de paralelas, os segmentos de uma transversal medem 9 cm e 12 cm. Na outra, 15 cm e \(x\). Determine \(x\).
5. No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\). Se \(AD=4\), \(DB=6\) e \(AE=6\), determine \(EC\).
6. Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas. Em uma avenida, os trechos medem 200 m e 300 m. Na outra, o primeiro trecho mede 160 m. Determine o segundo.
7. Uma propriedade rural é atravessada por três cercas paralelas e duas estradas transversais. Em uma estrada, os trechos medem 150 m e 250 m. Na outra, o trecho correspondente aos 150 m mede 90 m. Determine o outro trecho.
8. No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\). Sabendo que \(AD=6\), \(AB=10\) e \(DE=9\), determine \(BC\).
9. Duas avenidas transversais atravessam três ruas paralelas. Os trechos de uma avenida medem 80 m e 120 m. Na outra avenida, a soma dos dois trechos correspondentes é 250 m. Determine cada trecho.
10. Uma reta paralela à base de um triângulo determina um triângulo menor semelhante ao original. Um lado do menor mede 12 cm e o correspondente no maior 18 cm. Se a base do menor mede 10 cm, determine a base do maior.
19. Medindo alturas por meio de sombras
Exemplo resolvido 16. Uma pessoa de 1,8 m projeta uma sombra de 1,2 m. Uma árvore projeta uma sombra de 8 m.
A árvore possui 12 m de altura.
20. Medindo distâncias inacessíveis
Exemplo resolvido 17. Se uma distância de 6 m corresponde à largura \(x\) de um rio e outro par de lados correspondentes mede 4 m e 20 m:
A largura estimada é 30 m.
21. Perímetros de figuras semelhantes
Se duas figuras são semelhantes com razão \(k\), seus perímetros também estão na razão \(k\).
Exemplo resolvido 18. Se \(k=3\) e o perímetro do menor é 18 cm:
O perímetro do maior é 54 cm.
22. Áreas de figuras semelhantes
Se a razão entre os comprimentos é \(k\), a razão entre as áreas é \(k^2\).
Exemplo resolvido 19. Se \(k=4\) e a área do menor é 5 cm²:
A área do maior é 80 cm².
23. Determinando a razão de semelhança pelas áreas
Exemplo resolvido 20. Dois triângulos semelhantes possuem áreas de 25 cm² e 100 cm².
A razão entre os lados correspondentes é 2.
24. Semelhança não significa congruência
Figuras congruentes possuem mesma forma e mesmo tamanho. Figuras semelhantes possuem mesma forma e lados correspondentes proporcionais.
Exemplo resolvido 21. Os triângulos de lados \(3,4,5\) e \(6,8,10\) são semelhantes com \(k=2\), mas não são congruentes.
25. Escolhendo entre Tales e semelhança
Em feixes de paralelas cortados por transversais, o Teorema de Tales costuma ser a ferramenta mais direta. Em problemas com triângulos e lados correspondentes, a semelhança costuma tornar a relação mais clara.
▶ Pratique 3 — Semelhança, Tales e aplicações
1. Dois triângulos semelhantes possuem razão \(k=2\). Se um lado do menor mede 7 cm, determine o correspondente no maior.
2. Dois triângulos possuem lados correspondentes de 6 cm e 15 cm. Determine a razão de semelhança do menor para o maior.
3. Em dois triângulos semelhantes, um lado de 9 cm corresponde a outro de 12 cm. Se outro lado do primeiro mede 15 cm, determine o correspondente no segundo.
4. No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\). Sabendo que \(AD=5\), \(AB=8\) e \(DE=10\), determine \(BC\).
5. Três retas paralelas são cortadas por duas transversais. Em uma delas, os segmentos medem 6 cm e 9 cm. Na outra, o primeiro mede 10 cm. Determine o segundo.
6. Uma pessoa de 1,6 m projeta uma sombra de 2 m. No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de 7,5 m. Determine a altura do poste.
7. Uma árvore de 9 m projeta uma sombra de 6 m. No mesmo instante, uma pessoa projeta uma sombra de 1,2 m. Determine a altura da pessoa.
8. Dois polígonos semelhantes possuem razão \(k=3\). Se o perímetro do menor é 26 cm, determine o perímetro do maior.
9. Dois triângulos semelhantes possuem razão \(k=4\). Se a área do menor é 12 cm², determine a área do maior.
10. Dois triângulos semelhantes possuem áreas de 36 cm² e 144 cm². Determine a razão entre seus lados correspondentes.
26. Síntese
Duas figuras são semelhantes quando possuem a mesma forma e medidas correspondentes proporcionais.
Nos triângulos, a semelhança pode ser reconhecida pelos casos \(AA\), \(LAL\) e \(LLL\).
O Teorema de Tales afirma que retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos correspondentes proporcionais.
Se a razão de semelhança é \(k\), os perímetros variam na razão \(k\) e as áreas na razão \(k^2\).
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Determine a razão de semelhança entre duas figuras quando lados correspondentes medem 5 cm e 20 cm.
2. Uma figura é ampliada com razão \(k=3\). Um lado mede 8 cm. Determine a nova medida.
3. Uma figura é reduzida na razão \(1:5\). Determine a nova medida de um segmento de 45 cm.
4. Verifique se os triângulos de lados \(5,7,9\) e \(10,14,18\) são semelhantes.
5. Determine se dois triângulos que possuem ângulos \(35^\circ\), \(65^\circ\) e \(80^\circ\) são semelhantes.
6. Em dois triângulos semelhantes, um lado de 4 cm corresponde a outro de 14 cm. Se outro lado do primeiro mede 9 cm, determine o correspondente no segundo.
7. Uma fotografia de 12 cm por 18 cm é ampliada até que a menor dimensão passe a medir 20 cm. Determine a nova maior dimensão.
8. Dois triângulos semelhantes possuem razão \(k=2{,}5\). Se o perímetro do menor é 24 cm, determine o perímetro do maior.
9. Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Se um dos ângulos mede \(68^\circ\), determine a medida de um ângulo suplementar.
10. Um dos ângulos formados por paralelas e uma transversal mede \(142^\circ\). Determine o ângulo agudo formado.
11. Três retas paralelas são cortadas por duas transversais. Em uma, os segmentos medem 8 cm e 14 cm. Na outra, o primeiro mede 12 cm. Determine o segundo.
12. No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\). Se \(AD=3\), \(DB=5\) e \(AE=6\), determine \(EC\).
13. No triângulo \(ABC\), \(DE\parallel BC\). Se \(AD=8\), \(AB=20\) e \(DE=12\), determine \(BC\).
14. Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas. Em uma avenida, os trechos medem 90 m e 150 m. Na outra, o primeiro mede 120 m. Determine o segundo.
15. Uma pessoa de 1,5 m projeta uma sombra de 1,8 m. Uma árvore projeta uma sombra de 9,6 m. Determine a altura da árvore.
16. Uma torre de 18 m projeta uma sombra de 12 m. Um poste projeta uma sombra de 4 m. Determine a altura do poste.
17. Dois triângulos semelhantes possuem razão \(k=3\). A área do menor é 14 cm². Determine a área do maior.
18. Dois polígonos semelhantes possuem áreas de 49 cm² e 196 cm². Determine a razão de semelhança entre seus lados.
19. Explique por que uma reta paralela a um lado de um triângulo produz um triângulo semelhante ao original.
20. Explique a diferença entre figuras semelhantes e figuras congruentes.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. \(k=3\).
2. 15 cm.
3. 7 cm.
4. Sim; razão \(1{,}5\).
5. Sim.
6. 40 cm.
7. 30 cm.
8. 27 cm.
9. 60 m.
10. 24 cm.
▶ Gabarito do Pratique 2
1. 72°.
2. 45°.
3. \(x=15\).
4. \(x=20\).
5. \(EC=9\) cm.
6. 240 m.
7. 150 m.
8. \(BC=15\) cm.
9. 100 m e 150 m.
10. 15 cm.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. 14 cm.
2. \(k=2{,}5\).
3. 20 cm.
4. \(BC=16\) cm.
5. 15 cm.
6. 6 m.
7. 1,8 m.
8. 78 cm.
9. 192 cm².
10. \(k=2\).
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(k=4\).
2. 24 cm.
3. 9 cm.
4. Sim; razão 2.
5. Sim.
6. 31,5 cm.
7. 30 cm.
8. 60 cm.
9. 112°.
10. 38°.
11. 21 cm.
12. \(EC=10\) cm.
13. \(BC=30\) cm.
14. 200 m.
15. 8 m.
16. 6 m.
17. 126 cm².
18. \(k=2\).
19. Porque a reta paralela produz ângulos correspondentes congruentes; assim, os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
20. Figuras semelhantes têm a mesma forma e lados proporcionais; congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho.
Para lembrar: antes de montar uma proporção, identifique corretamente os lados ou segmentos correspondentes. No Teorema de Tales e na semelhança de triângulos, manter essa correspondência é essencial.