Função afim e função quadrática
Na postagem anterior, estudamos o conceito de função e diferentes formas de representá-la.
Agora vamos aprofundar dois tipos importantes de função: função afim e função quadrática.
A função afim possui gráfico representado por uma reta. Já a função quadrática possui gráfico representado por uma parábola.
Habilidade da BNCC
EF09MA06: compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
1. Função afim
Uma função afim pode ser escrita na forma:
em que \(a\) e \(b\) são números reais.
O número \(a\) é chamado de coeficiente angular e o número \(b\) de coeficiente linear.
Exemplo resolvido 1. Considere:
Temos:
Portanto, essa é uma função afim.
Exemplo resolvido 2. Considere:
2. Casos particulares da função afim
Quando \(b=0\), temos uma função do tipo:
frequentemente chamada de função linear.
Quando \(a=0\), temos:
Nesse caso, a função é constante.
3. Construindo o gráfico de uma função afim
Considere:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | -3 |
| -1 | -1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
Os pares ordenados são:
Ao representarmos esses pontos no plano cartesiano, eles ficam alinhados. O gráfico de uma função afim é uma reta.
Gráfico da função afim \(f(x)=2x+1\): os pontos da tabela pertencem exatamente à reta.
4. O coeficiente linear
Considere:
Quando \(x=0\):
Portanto, o gráfico passa pelo ponto:
Assim, na função \(f(x)=ax+b\), o coeficiente \(b\) indica onde a reta cruza o eixo \(y\).
Exemplo resolvido 3. Na função
temos \(b=6\). Logo, o gráfico cruza o eixo \(y\) em:
5. Crescimento e decrescimento da função afim
O sinal do coeficiente \(a\) ajuda a identificar o comportamento da função.
Se \(a>0\), a função é crescente.
Se \(a<0\), a função é decrescente.
Exemplo resolvido 4.
Como \(a=3>0\), a função é crescente.
Exemplo resolvido 5.
Como \(a=-4<0\), a função é decrescente.
6. Zero de uma função afim
O zero da função é o valor de \(x\) para o qual:
Considere:
Graficamente, a reta cruza o eixo \(x\) no ponto \((3,0)\).
Exemplo resolvido 6. Determine o zero de:
▶ Pratique 1 — Função afim
1. Identifique \(a\) e \(b\) em \(f(x)=5x-3\).
2. Identifique \(a\) e \(b\) em \(f(x)=-2x+7\).
3. Determine se \(f(x)=4x+1\) é crescente ou decrescente.
4. Determine se \(g(x)=-5x+9\) é crescente ou decrescente.
5. Determine o zero da função \(f(x)=3x-12\).
6. Uma corrida de táxi é representada por \(C(x)=4x+7\), em que \(x\) é a quantidade de quilômetros. Identifique o significado dos números 4 e 7.
7. Uma empresa possui custo dado por \(C(x)=20x+500\). Determine o custo para 30 unidades produzidas.
8. A temperatura de uma substância é dada por \(T(t)=80-4t\). Determine a temperatura após 10 minutos e diga se a função é crescente ou decrescente.
9. Uma pessoa está a 240 km de seu destino e se aproxima dele a 60 km/h. Represente a distância restante por uma função e determine seu zero.
10. Escreva uma função afim crescente cujo coeficiente linear seja 5.
7. Função quadrática
Uma função quadrática pode ser escrita na forma:
com \(a\neq0\).
Exemplo resolvido 7. Considere:
8. O gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.
Considere:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
Gráfico da função quadrática \(f(x)=x^2\): todos os pontos da tabela pertencem exatamente à parábola.
9. Concavidade da parábola
O sinal do coeficiente \(a\) determina o sentido da concavidade.
Se \(a>0\), a parábola possui concavidade voltada para cima.
Se \(a<0\), a parábola possui concavidade voltada para baixo.
Exemplo resolvido 8.
Como \(a=2>0\), a concavidade é voltada para cima.
Exemplo resolvido 9.
Como \(a=-1<0\), a concavidade é voltada para baixo.
10. Zeros da função quadrática
Os zeros da função quadrática são os valores de \(x\) para os quais \(f(x)=0\).
Os pontos em que a parábola cruza o eixo \(x\) são \((2,0)\) e \((3,0)\).
Relação com o discriminante:
Se \(\Delta>0\), existem dois zeros reais diferentes.
Se \(\Delta=0\), existe um zero real duplo.
Se \(\Delta<0\), não existem zeros reais.
11. O vértice da parábola
A coordenada \(x\) do vértice é:
Depois, calculamos:
Assim:
Exemplo resolvido 10. Considere:
12. Valor máximo e valor mínimo
Se \(a>0\), o vértice representa um ponto de mínimo.
Se \(a<0\), o vértice representa um ponto de máximo.
Exemplo resolvido 11. Considere:
Portanto:
O valor máximo da função é 16.
▶ Pratique 2 — Função quadrática
1. Identifique \(a\), \(b\) e \(c\) em \(f(x)=3x^2-5x+2\).
2. Determine a concavidade de \(f(x)=4x^2+2x-1\).
3. Determine a concavidade de \(g(x)=-2x^2+6x+3\).
4. Determine os zeros de \(f(x)=x^2-7x+12\).
5. Determine os zeros de \(f(x)=x^2-4x+4\).
6. Uma parábola é dada por \(f(x)=x^2-8x+7\). Determine \(x_v\).
7. Determine o vértice de \(f(x)=x^2-4x+3\).
8. Uma bola é lançada e sua altura é dada por \(h(t)=-t^2+6t\). Determine o instante em que a bola atinge a altura máxima.
9. Para a função \(f(x)=-x^2+10x\), determine o valor máximo.
10. Uma função quadrática possui \(a>0\). Explique o que isso permite concluir sobre sua concavidade e seu vértice.
13. Comparando função afim e função quadrática
| Característica | Função afim | Função quadrática |
|---|---|---|
| Forma algébrica | \(ax+b\) | \(ax^2+bx+c\) |
| Gráfico | Reta | Parábola |
| Zero(s) | Geralmente um | Pode ter nenhum, um ou dois |
| Comportamento | Crescente ou decrescente | Pode apresentar máximo ou mínimo |
| Elementos de destaque | \(a\), \(b\), zero | Coeficientes, zeros, vértice e concavidade |
14. Construindo o gráfico de uma função quadrática
Considere:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -3 | 5 |
| -2 | 0 |
| -1 | -3 |
| 0 | -4 |
| 1 | -3 |
| 2 | 0 |
| 3 | 5 |
Os zeros são \(x=-2\) e \(x=2\). O vértice é \(V=(0,-4)\).
Exemplo resolvido 12. Considere:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 0 |
| -1 | 3 |
| 0 | 4 |
| 1 | 3 |
| 2 | 0 |
Os zeros são \(x=-2\) e \(x=2\). O vértice é \(V=(0,4)\). Como \(a=-1<0\), o valor máximo é 4.
15. Eixo de simetria
Toda parábola possui um eixo de simetria que passa pelo vértice:
Exemplo resolvido 13. Considere:
Como \(x_v=3\), o eixo de simetria é:
Além disso:
16. Interpretando os zeros graficamente
Os zeros de uma função são os pontos em que seu gráfico encontra o eixo \(x\).
Na função afim \(f(x)=2x-6\), o zero é \(x=3\).
Na função quadrática \(f(x)=x^2-5x+6\), os zeros são \(x=2\) e \(x=3\).
17. Quando a função quadrática não possui zeros reais
Considere:
Para encontrar os zeros:
Não existe número real cujo quadrado seja \(-4\). Portanto, a parábola não cruza o eixo \(x\).
18. Máximo e mínimo em situações-problema
Exemplo resolvido 14 — Altura máxima. A altura de uma bola, em metros, é dada por:
A bola atinge a altura máxima de 21 m após 2 s.
Exemplo resolvido 15 — Área máxima. Um retângulo possui perímetro de 40 m.
A área máxima é 100 m².
19. Função afim em situações-problema
Exemplo resolvido 16 — Corrida de táxi.
Uma corrida possui bandeirada de R$ 8,00 mais R$ 3,50 por quilômetro rodado.
Valor da corrida: R$ 50,00.
Exemplo resolvido 17 — Salário com comissão.
Um vendedor recebe salário fixo de R$ 1.500,00 mais R$ 25,00 por produto vendido.
Salário: R$ 2.500,00.
20. Estudo do sinal da função afim
Considere:
Seu zero é \(x=3\).
Se \(x<3\), então \(f(x)<0\).
Se \(x=3\), então \(f(x)=0\).
Se \(x>3\), então \(f(x)>0\).
21. Estudo do sinal da função quadrática
Considere:
Os zeros são \(x=2\) e \(x=3\), e a concavidade é voltada para cima.
Assim:
▶ Pratique 3 — Gráficos, zeros, vértice e aplicações
1. Determine o zero de \(f(x)=5x-20\).
2. Determine o ponto em que \(f(x)=-2x+8\) cruza o eixo \(y\).
3. Determine o eixo de simetria de \(f(x)=x^2-8x+7\).
4. Determine o vértice de \(f(x)=x^2-6x+5\).
5. Para \(f(x)=-x^2+4x+5\), determine se o vértice representa máximo ou mínimo.
6. Uma empresa cobra R$ 200,00 de taxa fixa mais R$ 30,00 por serviço realizado. Escreva a função do custo e determine o custo de 15 serviços.
7. A altura de um objeto é dada por \(h(t)=-2t^2+8t+3\). Determine o instante em que o objeto atinge a altura máxima.
8. A área de um terreno retangular é dada por \(A(x)=-x^2+18x\). Determine a área máxima.
9. Uma função quadrática possui zeros em \(x=2\) e \(x=6\). Determine a coordenada \(x\) do eixo de simetria.
10. A função \(f(x)=x^2-4x+3\) é positiva, negativa ou nula para \(x=2\)? Justifique por cálculo.
22. Erros frequentes
1. Confundir função afim com função quadrática.
2. Esquecer que \(a\neq0\) na função quadrática.
3. Confundir o coeficiente linear com o zero da função.
4. Confundir \(x_v\) com \(y_v\).
5. Achar que toda parábola possui dois zeros reais.
6. Confundir concavidade com crescimento.
23. Síntese
Na função afim \(f(x)=ax+b\), o gráfico é uma reta. O sinal de \(a\) indica se a função é crescente ou decrescente, \(b\) indica onde a reta cruza o eixo \(y\), e o zero indica onde cruza o eixo \(x\).
Na função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), o gráfico é uma parábola. O sinal de \(a\) determina a concavidade, os zeros indicam os pontos de encontro com o eixo \(x\), e o vértice representa um ponto de máximo ou mínimo.
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Identifique \(a\) e \(b\) em \(f(x)=7x-4\).
2. Determine se \(f(x)=-3x+5\) é crescente ou decrescente.
3. Determine o zero de \(f(x)=4x-16\).
4. Determine o ponto em que \(f(x)=5x+2\) cruza o eixo \(y\).
5. Construa uma tabela para \(f(x)=2x-1\), usando \(x=-1,0,1,2\).
6. Identifique \(a\), \(b\) e \(c\) em \(f(x)=-2x^2+5x+3\).
7. Determine a concavidade de \(f(x)=3x^2-7x+1\).
8. Determine os zeros de \(f(x)=x^2-9\).
9. Determine o vértice de \(f(x)=x^2-4x\).
10. Determine o eixo de simetria de \(f(x)=2x^2-8x+3\).
11. Uma empresa cobra R$ 50,00 de taxa fixa mais R$ 12,00 por unidade produzida. Escreva a função do custo e determine o custo de 20 unidades.
12. Um tanque possui 1.000 litros e perde 25 litros por minuto. Represente a quantidade de água por uma função afim e determine após quantos minutos o tanque ficará vazio.
13. A altura de uma bola é dada por \(h(t)=-5t^2+30t\). Determine o instante em que ela atinge a altura máxima.
14. Determine a altura máxima da bola da questão anterior.
15. A área de um retângulo é dada por \(A(x)=-x^2+24x\). Determine a área máxima.
16. Uma função quadrática possui \(a<0\). Explique o que isso permite concluir sobre a concavidade e o vértice.
17. Para \(f(x)=x^2-6x+8\), determine os zeros e indique em quais intervalos a função é positiva.
18. Para \(g(x)=-x^2+4x\), determine os zeros e indique em quais intervalos a função é positiva.
19. Explique a diferença entre o zero de uma função afim e o vértice de uma função quadrática.
20. Explique como o gráfico ajuda a compreender informações que nem sempre são percebidas imediatamente apenas pela expressão algébrica.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. \(a=5,\ b=-3\).
2. \(a=-2,\ b=7\).
3. Crescente.
4. Decrescente.
5. \(x=4\).
6. 4 representa o valor por quilômetro e 7 a taxa fixa.
7. \(C(30)=1100\). Custo: R$ 1.100,00.
8. \(T(10)=40\) °C; função decrescente.
9. \(D(t)=240-60t\); zero em \(t=4\).
10. Exemplo: \(f(x)=2x+5\).
▶ Gabarito do Pratique 2
1. \(a=3,\ b=-5,\ c=2\).
2. Concavidade para cima.
3. Concavidade para baixo.
4. \(x=3\) ou \(x=4\).
5. \(x=2\).
6. \(x_v=4\).
7. \(V=(2,-1)\).
8. Altura máxima em 3 s.
9. Valor máximo 25.
10. Concavidade para cima e vértice de mínimo.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. \(x=4\).
2. \((0,8)\).
3. \(x=4\).
4. \(V=(3,-4)\).
5. Máximo.
6. \(C(x)=30x+200\); \(C(15)=650\). Custo: R$ 650,00.
7. 2 s.
8. Área máxima 81.
9. \(x=4\).
10. \(f(2)=-1\); função negativa.
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(a=7,\ b=-4\).
2. Decrescente.
3. \(x=4\).
4. \((0,2)\).
5. Para \(x=-1,0,1,2\), os valores são \(-3,-1,1,3\).
6. \(a=-2,\ b=5,\ c=3\).
7. Concavidade para cima.
8. \(x=-3\) ou \(x=3\).
9. \(V=(2,-4)\).
10. \(x=2\).
11. \(C(x)=12x+50\); \(C(20)=290\). Custo: R$ 290,00.
12. \(V(t)=1000-25t\); tanque vazio em 40 min.
13. 3 s.
14. 45 m.
15. Área máxima 144.
16. Concavidade para baixo e vértice de máximo.
17. Zeros 2 e 4; positiva para \(x<2\) ou \(x>4\).
18. Zeros 0 e 4; positiva para \(0<x<4\).
19. O zero é o valor de \(x\) em que a função vale zero; o vértice é o ponto de máximo ou mínimo da parábola.
20. O gráfico permite visualizar crescimento, decrescimento, zeros, concavidade e pontos de máximo ou mínimo.
Para lembrar: a função afim é representada por uma reta; a função quadrática, por uma parábola. Em ambos os casos, interpretar o gráfico é tão importante quanto realizar os cálculos algébricos.