Teorema de Pitágoras e relações métricas no triângulo retângulo
O triângulo retângulo é um dos triângulos mais importantes da Geometria. Ele possui um ângulo de \(90^\circ\), dois catetos e uma hipotenusa.
Habilidades da BNCC
EF09MA13: demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o Teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
EF09MA14: resolver e elaborar problemas de aplicação do Teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
1. Elementos de um triângulo retângulo
Considere o triângulo retângulo \(ABC\), com ângulo reto em \(A\).
Chamaremos \(BC=a\) de hipotenusa, \(AC=b\) de um cateto e \(AB=c\) do outro cateto.
Exemplo resolvido 1. Em um triângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm, o lado de 13 cm é a hipotenusa, pois é o maior lado e está oposto ao ângulo reto.
2. Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Exemplo resolvido 2. Catetos de 6 cm e 8 cm.
A hipotenusa mede 10 cm.
3. Determinando um cateto
Exemplo resolvido 3. Hipotenusa de 13 cm e um cateto de 5 cm.
O cateto desconhecido mede 12 cm.
4. Verificando se um triângulo é retângulo
Se o maior lado é \(a\), verificamos se:
Exemplo resolvido 4. Lados 7, 24 e 25.
O triângulo é retângulo.
Exemplo resolvido 5. Lados 5, 6 e 7.
Como os valores são diferentes, o triângulo não é retângulo.
5. Diagonal de um retângulo
Exemplo resolvido 6. Um retângulo possui lados de 6 cm e 8 cm.
A diagonal mede 10 cm.
6. Diagonal de um quadrado
Exemplo resolvido 7. Se o lado mede 7 cm:
A diagonal mede aproximadamente 9,9 cm.
7. Aplicação em escadas
Exemplo resolvido 8. Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede e sua base está a 3 m da parede.
A escada alcança 4 m de altura.
8. Aplicação em rampas
Exemplo resolvido 9. Uma rampa sobe 1,5 m e avança 2 m horizontalmente.
O comprimento da rampa é 2,5 m.
9. Distância entre dois pontos por deslocamentos horizontal e vertical
Exemplo resolvido 10. Dois pontos apresentam diferença horizontal de 6 unidades e vertical de 8 unidades.
A distância é 10 unidades.
▶ Pratique 1 — Teorema de Pitágoras
1. Um triângulo retângulo possui catetos de 9 cm e 12 cm. Determine a hipotenusa.
2. A hipotenusa mede 17 cm e um cateto mede 8 cm. Determine o outro cateto.
3. Determine a diagonal de um retângulo de lados 12 cm e 16 cm.
4. Determine a diagonal de um quadrado de lado 5 cm, mantendo a resposta na forma exata.
5. Verifique se um triângulo de lados 8 cm, 15 cm e 17 cm é retângulo.
6. Uma escada de 10 m está apoiada em uma parede, com sua base a 6 m da parede. Determine a altura alcançada.
7. Um cabo de 17 m liga o topo de um poste ao chão em um ponto a 8 m da base. Determine a altura do poste.
8. Uma tela retangular mede 24 cm por 32 cm. Determine sua diagonal.
9. Um campo retangular mede 30 m por 40 m. Determine a distância entre dois vértices opostos.
10. Uma rampa sobe 3 m e avança 4 m horizontalmente. Determine seu comprimento.
10. Projeção ortogonal
Projeção ortogonal é a imagem de um ponto ou segmento sobre uma reta obtida por meio de uma perpendicular.
11. Altura relativa à hipotenusa
Agora traçamos a altura \(AH\) relativa à hipotenusa \(BC\).
Temos:
Como \(H\) divide a hipotenusa:
12. Os três triângulos são semelhantes
Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, obtemos três triângulos retângulos semelhantes entre si: \(\triangle ABC\), \(\triangle ABH\) e \(\triangle ACH\).
13. Relação entre cateto, hipotenusa e projeção
Exemplo resolvido 11. \(a=25\) e \(m=16\).
Exemplo resolvido 12. \(a=18\) e \(n=8\).
14. Relação entre altura e projeções
Exemplo resolvido 13. \(m=9\) e \(n=16\).
Exemplo resolvido 14. \(m=4\) e \(n=5\).
15. Relação entre catetos, hipotenusa e altura
Exemplo resolvido 15. \(b=12\), \(c=16\) e \(a=20\).
16. Soma das projeções
Exemplo resolvido 16. Se \(m=7\) e \(n=18\):
17. Resumo das relações métricas
| Relação | Interpretação |
|---|---|
| \(a=m+n\) | A hipotenusa é a soma das projeções. |
| \(b^2=am\) | Quadrado de um cateto = hipotenusa × sua projeção. |
| \(c^2=an\) | Quadrado do outro cateto = hipotenusa × sua projeção. |
| \(h^2=mn\) | Quadrado da altura = produto das projeções. |
| \(bc=ah\) | Produto dos catetos = hipotenusa × altura. |
| \(a^2=b^2+c^2\) | Teorema de Pitágoras. |
18. Como escolher a relação adequada
Exemplo resolvido 17. Se \(m=9\) e \(n=16\), e queremos \(h\):
▶ Pratique 2 — Relações métricas no triângulo retângulo
1. Em um triângulo retângulo, \(a=20\) e \(m=5\). Determine \(b\).
2. Em um triângulo retângulo, \(a=25\) e \(n=9\). Determine \(c\).
3. As projeções sobre a hipotenusa medem 4 cm e 9 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
4. As projeções medem 5 cm e 20 cm. Determine a hipotenusa.
5. Em um triângulo retângulo, \(b=15\), \(c=20\) e \(a=25\). Determine \(h\).
6. A hipotenusa mede 18 cm e a projeção de um cateto mede 8 cm. Determine esse cateto.
7. A altura relativa à hipotenusa mede 10 cm e uma projeção mede 4 cm. Determine a outra projeção.
8. As projeções medem 9 cm e 16 cm. Determine a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.
9. Em um triângulo retângulo, \(a=25\) e \(m=16\). Determine o cateto correspondente.
10. Um triângulo retângulo possui catetos de 9 cm e 12 cm. Determine a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.
19. Relações métricas e semelhança de triângulos
As relações métricas decorrem da semelhança dos três triângulos formados pela altura relativa à hipotenusa.
20. Obtendo o Teorema de Pitágoras pelas relações métricas
21. Calculando várias medidas no mesmo triângulo
Exemplo resolvido 18. Considere \(n=4\) e \(c=6\).
22. Triângulo equilátero e Teorema de Pitágoras
Exemplo resolvido 19. Um triângulo equilátero possui lado de 10 cm.
A altura mede \(5\sqrt3\) cm.
23. Área do triângulo equilátero
Exemplo resolvido 20. Para lado de 8 cm:
A área é \(16\sqrt3\text{ cm}^2\).
24. Aplicação em figuras compostas
Exemplo resolvido 21. Um terreno retangular mede 24 m por 32 m.
Serão necessários 40 m de cabo para ligar dois vértices opostos.
25. Erros frequentes
1. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de \(90^\circ\).
2. O Teorema de Pitágoras é \(a^2=b^2+c^2\), e não \(a=b+c\).
3. As projeções \(m\) e \(n\) são segmentos da hipotenusa, não catetos.
4. Em \(b^2=am\), a projeção \(m\) deve corresponder ao cateto \(b\); em \(c^2=an\), \(n\) corresponde ao cateto \(c\).
26. Síntese
No triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras é:
Quando traçamos a altura relativa à hipotenusa, obtemos:
▶ Pratique 3 — Aplicações
1. Um triângulo retângulo possui catetos de 10 cm e 24 cm. Determine a hipotenusa.
2. A hipotenusa mede 25 cm e um cateto mede 15 cm. Determine o outro cateto.
3. As projeções dos catetos medem 9 cm e 16 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
4. A hipotenusa mede 20 cm e a projeção de um dos catetos mede 5 cm. Determine esse cateto.
5. Em um triângulo retângulo, \(b=12\), \(c=16\) e \(a=20\). Determine a altura relativa à hipotenusa.
6. Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede, com a base a 5 m da parede. Determine a altura alcançada.
7. Um terreno retangular mede 18 m por 24 m. Determine a diagonal.
8. Uma rampa possui 1,2 m de altura e 1,6 m de avanço horizontal. Determine seu comprimento.
9. Um triângulo equilátero possui lado de 12 cm. Determine sua altura na forma exata.
10. Um triângulo equilátero possui lado de 6 cm. Determine sua área na forma exata.
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Um triângulo retângulo possui catetos de 7 cm e 24 cm. Determine a hipotenusa.
2. A hipotenusa mede 29 cm e um cateto mede 20 cm. Determine o outro cateto.
3. Verifique se um triângulo de lados 9 cm, 40 cm e 41 cm é retângulo.
4. Verifique se um triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 11 cm é retângulo.
5. Determine a diagonal de um retângulo de lados 15 cm e 20 cm.
6. Determine a diagonal de um quadrado de lado 9 cm, mantendo a forma exata.
7. Em um triângulo retângulo, \(a=25\) e \(m=9\). Determine \(b\).
8. Em um triângulo retângulo, \(a=16\) e \(n=4\). Determine \(c\).
9. As projeções medem 4 cm e 25 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
10. As projeções medem 7 cm e 18 cm. Determine a hipotenusa.
11. Um triângulo retângulo possui catetos de 15 cm e 20 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
12. A altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e uma projeção mede 9 cm. Determine a outra projeção.
13. Um cabo de 26 m liga o topo de um poste ao chão em um ponto situado a 10 m da base. Determine a altura do poste.
14. Um campo retangular mede 45 m por 60 m. Determine a distância entre dois vértices opostos.
15. Uma rampa sobe 2,4 m e avança 3,2 m horizontalmente. Determine seu comprimento.
16. Um triângulo equilátero possui lado de 14 cm. Determine sua altura na forma exata.
17. Determine a área de um triângulo equilátero de lado 10 cm na forma exata.
18. Em um triângulo retângulo, \(n=4\) e \(c=6\). Determine \(a\), \(m\), \(h\) e \(b\).
19. Explique por que a altura relativa à hipotenusa forma três triângulos semelhantes.
20. Explique como o Teorema de Pitágoras pode ser obtido a partir de \(b^2=am\) e \(c^2=an\).
▶ Gabarito do Pratique 1
1. 15 cm.
2. 15 cm.
3. 20 cm.
4. \(5\sqrt2\) cm.
5. Sim.
6. 8 m.
7. 15 m.
8. 40 cm.
9. 50 m.
10. 5 m.
▶ Gabarito do Pratique 2
1. \(b=10\).
2. \(c=15\).
3. \(h=6\).
4. \(a=25\).
5. \(h=12\).
6. 12 cm.
7. 25 cm.
8. \(a=25\) cm e \(h=12\) cm.
9. 20 cm.
10. Hipotenusa de 15 cm e altura de 7,2 cm.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. 26 cm.
2. 20 cm.
3. 12 cm.
4. 10 cm.
5. 9,6 cm.
6. 12 m.
7. 30 m.
8. 2 m.
9. \(6\sqrt3\) cm.
10. \(9\sqrt3\text{ cm}^2\).
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 25 cm.
2. 21 cm.
3. Sim.
4. Não.
5. 25 cm.
6. \(9\sqrt2\) cm.
7. 15 cm.
8. 8 cm.
9. 10 cm.
10. 25 cm.
11. 12 cm.
12. 16 cm.
13. 24 m.
14. 75 m.
15. 4 m.
16. \(7\sqrt3\) cm.
17. \(25\sqrt3\text{ cm}^2\).
18. \(a=9\), \(m=5\), \(h=2\sqrt5\), \(b=3\sqrt5\).
19. Pelo caso AA, pois os três triângulos são retângulos e possuem ângulos agudos correspondentes congruentes.
20. Somando \(b^2=am\) e \(c^2=an\), temos \(b^2+c^2=a(m+n)=a^2\).
Para lembrar: as relações métricas não devem ser decoradas isoladamente. Elas surgem da semelhança dos triângulos formados pela altura relativa à hipotenusa.