Razões trigonométricas no triângulo retângulo
A trigonometria estabelece relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. No 9º ano, nosso estudo se concentra no triângulo retângulo, utilizando seno, cosseno e tangente.
Habilidade da BNCC
EF09MA13: demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o Teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Observação: as razões trigonométricas articulam-se ao estudo das relações entre lados e ângulos do triângulo retângulo e à resolução de problemas geométricos.
1. Retomando o triângulo retângulo
2. Cateto oposto e cateto adjacente
Em relação a um ângulo agudo \(\alpha\), chamamos de cateto oposto o lado que está à frente do ângulo e de cateto adjacente o cateto que forma o ângulo juntamente com a hipotenusa.
3. O que são razões trigonométricas?
As três razões que estudaremos são seno, cosseno e tangente.
4. Seno de um ângulo
Exemplo resolvido 1. Se o cateto oposto mede 3 cm e a hipotenusa 5 cm:
5. Cosseno de um ângulo
Exemplo resolvido 2. Se o cateto adjacente mede 4 cm e a hipotenusa 5 cm:
6. Tangente de um ângulo
Exemplo resolvido 3. No triângulo 3-4-5:
7. Comparando as três razões
| Razão | Relação |
|---|---|
| Seno | \(\frac{CO}{H}\) |
| Cosseno | \(\frac{CA}{H}\) |
| Tangente | \(\frac{CO}{CA}\) |
8. A razão depende do ângulo
Os papéis de cateto oposto e adjacente mudam conforme o ângulo de referência, mas a hipotenusa permanece a mesma.
9. Ângulos complementares
10. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
| Ângulo | Seno | Cosseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac12\) | \(\sqrt3\) |
11. Obtendo seno e cosseno de 30° e 60°
12. Obtendo as razões de 45°
▶ Pratique 1 — Razões trigonométricas
1. Em um triângulo retângulo, o cateto oposto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm. Determine \(\operatorname{sen}\alpha\).
2. O cateto adjacente mede 12 cm e a hipotenusa 13 cm. Determine \(\cos\beta\).
3. O cateto oposto mede 8 cm e o adjacente 15 cm. Determine a tangente.
4. Em um triângulo de lados 5, 12 e 13, determine o seno do ângulo oposto ao lado 5.
5. Determine \(\operatorname{sen}30^\circ\), \(\cos60^\circ\) e \(\tan45^\circ\).
6. Em uma escada apoiada em uma parede, em relação ao ângulo com o chão, qual lado representa o cateto oposto?
7. Uma rampa mede 10 m e alcança altura de 6 m. Determine o seno do ângulo com o chão.
8. Um cabo mede 17 m e sua base está a 15 m da torre. Determine a altura e o seno do ângulo com o chão.
9. Em uma situação de ângulo de elevação, identifique o cateto oposto e o adjacente.
10. Um telhado forma um triângulo retângulo com catetos de 9 m e 12 m. Determine a hipotenusa e seno, cosseno e tangente do ângulo oposto ao cateto 9.
13. Escolhendo a razão adequada
| Medidas envolvidas | Razão |
|---|---|
| Cateto oposto e hipotenusa | Seno |
| Cateto adjacente e hipotenusa | Cosseno |
| Cateto oposto e cateto adjacente | Tangente |
14. Determinando um cateto com o seno
Exemplo resolvido 4. Hipotenusa 10 cm e ângulo de \(30^\circ\).
15. Determinando um cateto com o cosseno
Exemplo resolvido 5. Hipotenusa 12 cm e ângulo de \(60^\circ\).
16. Determinando um cateto com a tangente
Exemplo resolvido 6. Ângulo de \(45^\circ\) e cateto adjacente 7 cm.
17. Quando o ângulo não é notável
Podemos utilizar uma calculadora científica configurada em graus.
18. Exemplo com ângulo não notável
Exemplo resolvido 7. Um cabo de 20 m forma \(50^\circ\) com o chão.
19. Determinando a hipotenusa
Exemplo resolvido 8. Uma rampa forma \(30^\circ\) com o chão e alcança altura de 1,5 m.
20. Determinando a hipotenusa com o cosseno
Exemplo resolvido 9. Uma escada forma \(60^\circ\) com o chão e sua base está a 2 m da parede.
21. Altura de objetos
22. Considerando a altura do observador
Se a razão trigonométrica fornece apenas a diferença entre a altura dos olhos e o topo, devemos acrescentar a altura do observador ao final.
23. Ângulo de elevação
É o ângulo formado entre a horizontal e a linha de visão quando o objeto observado está acima do observador.
24. Ângulo de depressão
25. Problema com ângulo de depressão
Exemplo resolvido 10. Do alto de uma torre de 30 m, um objeto é observado sob \(45^\circ\).
26. Inclinação de rampas
27. Determinando um ângulo desconhecido
28. Funções inversas na calculadora
29. Escolhendo entre seno, cosseno e tangente
Observe os lados conhecidos e a medida procurada antes de escolher a razão.
30. Trigonometria e Teorema de Pitágoras
Exemplo resolvido 11. Se \(CO=5\) e \(CA=12\):
▶ Pratique 2 — Determinação de lados e ângulos
1. A hipotenusa mede 16 cm e um ângulo mede \(30^\circ\). Determine o cateto oposto.
2. Um triângulo possui ângulo de \(60^\circ\) e hipotenusa de 18 cm. Determine o cateto adjacente.
3. Um ângulo de \(45^\circ\) possui cateto adjacente de 11 cm. Determine o oposto.
4. O cateto oposto mede 9 cm e o adjacente 12 cm. Determine aproximadamente o ângulo.
5. Se \(\operatorname{sen}\alpha=0{,}5\), determine \(\alpha\).
6. Uma escada de 8 m forma \(60^\circ\) com o chão. Determine a altura alcançada.
7. Uma pessoa está a 15 m de uma árvore e observa seu topo sob \(45^\circ\). Seus olhos estão a 1,7 m do chão. Determine a altura da árvore.
8. Uma rampa de 5 m forma \(30^\circ\) com o chão. Determine a altura alcançada.
9. Do alto de um prédio de 40 m, um veículo é observado sob ângulo de depressão de \(45^\circ\). Determine a distância horizontal.
10. Um cabo forma \(60^\circ\) com o chão e sua base está a 10 m do poste. Determine a altura do poste em forma exata e aproximada.
31. Interpretando problemas de trigonometria
Antes de calcular, identifique o ângulo reto, o ângulo de referência, a medida conhecida e a medida procurada.
32. Quando utilizar a tangente
A tangente é especialmente útil em problemas envolvendo altura e distância horizontal.
33. Quando utilizar o seno
O seno relaciona cateto oposto e hipotenusa.
34. Quando utilizar o cosseno
O cosseno relaciona cateto adjacente e hipotenusa.
35. Uma mesma situação pode permitir diferentes estratégias
Podemos combinar razões trigonométricas e Teorema de Pitágoras.
36. Distância entre dois pontos inacessíveis
A trigonometria pode ser usada para determinar larguras de rios ou outras distâncias difíceis de medir diretamente.
37. Determinando a altura por meio da sombra
38. Problemas com dois triângulos
39. Atenção à medida solicitada
Nem sempre a medida calculada é exatamente a pedida; pode ser necessário somar ou subtrair distâncias.
40. Problemas com altura total
Se a construção possui uma base elevada, verifique se a altura obtida inclui ou não essa base.
41. Comparando inclinações
Para o mesmo avanço horizontal, maior tangente corresponde a maior inclinação.
42. Razões trigonométricas em triângulos semelhantes
43. Por que seno, cosseno e tangente dependem apenas do ângulo?
Porque triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes, e seus lados correspondentes são proporcionais.
44. Verificando se o resultado é coerente
Para ângulos agudos, seno e cosseno são maiores que 0 e menores que 1. A tangente pode ser menor, igual ou maior que 1.
45. Erro comum: trocar cateto oposto e adjacente
Identifique sempre o ângulo de referência antes de escrever a razão.
46. Erro comum: utilizar a hipotenusa na tangente
47. Erro comum: esquecer uma altura adicional
Se a medida trigonométrica parte da altura dos olhos, some essa altura ao final quando necessário.
48. Erro comum: calculadora em configuração inadequada
Para ângulos em graus, use o modo DEG.
49. Estratégia para resolver problemas
Desenhe ou interprete a figura, identifique os lados, escolha a razão, resolva a equação e confira se o resultado responde exatamente ao que foi pedido.
▶ Pratique 3 — Aplicações das razões trigonométricas
1. O cateto oposto mede 12 cm e o adjacente 16 cm. Determine \(\tan\alpha\).
2. A hipotenusa mede 20 cm e um ângulo mede \(30^\circ\). Determine o cateto oposto.
3. A hipotenusa mede 14 cm e um ângulo mede \(60^\circ\). Determine o cateto adjacente.
4. Se \(CO=7\) e \(CA=7\), determine o ângulo agudo correspondente.
5. Um triângulo possui catetos de 9 cm e 12 cm. Determine a hipotenusa e seno, cosseno e tangente do ângulo oposto ao cateto 9.
6. Uma árvore projeta sombra de 12 m quando os raios solares formam \(45^\circ\) com o solo. Determine a altura.
7. Uma pessoa está a 20 m de um prédio, observa o topo sob \(45^\circ\) e seus olhos estão a 1,6 m do chão. Determine a altura do prédio.
8. Uma escada de 6 m forma \(60^\circ\) com o chão. Determine a distância entre a base e a parede.
9. Duas pessoas observam a mesma torre sob \(60^\circ\) e \(30^\circ\). A mais próxima está a 10 m da torre. Determine a distância entre elas.
10. Um observador está no alto de um edifício de 50 m e observa um veículo no solo sob ângulo de depressão de \(45^\circ\). Determine a distância horizontal.
50. Revisão das razões trigonométricas
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Escreva as razões que definem seno, cosseno e tangente.
2. Em um triângulo de lados 8, 15 e 17, determine seno, cosseno e tangente do ângulo oposto ao lado 8.
3. Determine seno, cosseno e tangente de \(30^\circ\).
4. Determine seno, cosseno e tangente de \(45^\circ\).
5. Determine seno, cosseno e tangente de \(60^\circ\).
6. Hipotenusa 24 cm e ângulo \(30^\circ\). Determine o cateto oposto.
7. Hipotenusa 30 cm e ângulo \(60^\circ\). Determine o cateto adjacente.
8. O cateto adjacente a \(45^\circ\) mede 13 cm. Determine o oposto.
9. O cateto oposto mede 5 cm e o adjacente 12 cm. Determine \(\tan\alpha\).
10. Se \(\cos\alpha=0{,}5\), determine \(\alpha\).
11. Uma escada de 10 m forma \(30^\circ\) com o chão. Determine a altura alcançada.
12. Um cabo de 16 m forma \(30^\circ\) com o chão. Determine a altura em que está preso.
13. Uma pessoa está a 25 m de uma árvore, observa o topo sob \(45^\circ\) e seus olhos estão a 1,5 m do chão. Determine a altura da árvore.
14. Uma torre projeta sombra de 15 m quando os raios solares formam \(45^\circ\) com o solo. Determine sua altura.
15. Uma rampa de 8 m forma \(30^\circ\) com o chão. Determine a altura alcançada.
16. Uma escada de 12 m forma \(60^\circ\) com o chão. Determine a distância entre a base e a parede.
17. Do alto de uma torre de 35 m, um objeto é observado sob \(45^\circ\). Determine a distância horizontal.
18. Uma pessoa está a 12 m de uma torre e observa o topo sob \(60^\circ\). Determine a altura exata e aproximada.
19. Duas pessoas observam uma torre sob \(60^\circ\) e \(30^\circ\). A primeira está a 8 m da torre. Determine a distância entre elas.
20. Uma rampa vence altura de 3 m em 12 m de avanço horizontal. Determine a tangente e o ângulo aproximado.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. 0,6.
2. \(\frac{12}{13}\approx0{,}923\).
3. \(\frac8{15}\approx0{,}533\).
4. \(\frac5{13}\).
5. \(\frac12\), \(\frac12\), \(1\).
6. A altura alcançada na parede.
7. 0,6.
8. Altura 8 m; seno \(\frac8{17}\).
9. Oposto: altura até o topo; adjacente: distância horizontal.
10. Hipotenusa 15; seno \(\frac35\), cosseno \(\frac45\), tangente \(\frac34\).
▶ Gabarito do Pratique 2
1. 8 cm.
2. 9 cm.
3. 11 cm.
4. Aproximadamente 37°.
5. 30°.
6. \(4\sqrt3\) m, aproximadamente 6,92 m.
7. 16,7 m.
8. 2,5 m.
9. 40 m.
10. \(10\sqrt3\) m, aproximadamente 17,3 m.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. 0,75.
2. 10 cm.
3. 7 cm.
4. 45°.
5. Hipotenusa 15; seno \(\frac35\), cosseno \(\frac45\), tangente \(\frac34\).
6. 12 m.
7. 21,6 m.
8. 3 m.
9. 20 m.
10. 50 m.
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(\operatorname{sen}\alpha=\frac{CO}{H}\), \(\cos\alpha=\frac{CA}{H}\), \(\tan\alpha=\frac{CO}{CA}\).
2. \(\frac8{17}\), \(\frac{15}{17}\), \(\frac8{15}\).
3. \(\frac12\), \(\frac{\sqrt3}{2}\), \(\frac{\sqrt3}{3}\).
4. \(\frac{\sqrt2}{2}\), \(\frac{\sqrt2}{2}\), \(1\).
5. \(\frac{\sqrt3}{2}\), \(\frac12\), \(\sqrt3\).
6. 12 cm.
7. 15 cm.
8. 13 cm.
9. \(\frac5{12}\).
10. 60°.
11. 5 m.
12. 8 m.
13. 26,5 m.
14. 15 m.
15. 4 m.
16. 6 m.
17. 35 m.
18. \(12\sqrt3\) m, aproximadamente 20,76 m.
19. 16 m.
20. Tangente 0,25; ângulo aproximadamente 14°.
Para lembrar: identifique primeiro o ângulo de referência. Só depois determine cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa. Essa ordem evita a maioria dos erros em trigonometria.