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Circunferência, ângulos e retas paralelas

A circunferência aparece em muitas situações do cotidiano. Nesta postagem vamos distinguir circunferência e círculo, estudar seus elementos, a construção com compasso, a ideia de lugar geométrico e as relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Habilidades da BNCC

EF07MA22: Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

EF07MA23: Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

1. Circunferência e círculo

A circunferência é a linha curva fechada formada pelos pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado centro.

O A raio

O círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos localizados em seu interior.

O r círculo

2. Elementos da circunferência

O centro é o ponto fixo. O raio liga o centro a qualquer ponto da circunferência. O diâmetro liga dois pontos da circunferência e passa pelo centro.

O diâmetro raio
\(\mathbf{d=2r}\)
\(\mathbf{r=\frac{d}{2}}\)

3. Construção de uma circunferência com compasso

  1. Marque o ponto que será o centro.
  2. Abra o compasso com a medida do raio.
  3. Fixe a ponta seca no centro.
  4. Gire o compasso mantendo a abertura constante.
O raio giro

O compasso constrói uma circunferência porque a ponta que desenha permanece sempre à mesma distância do centro.

4. Circunferência como lugar geométrico

Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada condição. A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo.

O A B C D

Se OP < r, o ponto está no interior. Se OP = r, está sobre a circunferência. Se OP > r, está no exterior.

Pratique — Circunferência e círculo

1. Explique a diferença entre circunferência e círculo.

2. Uma circunferência possui raio de 7 cm. Determine seu diâmetro.

3. Uma circunferência possui diâmetro de 24 cm. Determine seu raio.

4. Se \(OA\), \(OB\) e \(OC\) são raios da mesma circunferência e \(OA=5\) cm, determine \(OB\) e \(OC\).

5. Uma circunferência possui raio 6 cm. Classifique: a) \(OA=4\); b) \(OB=6\); c) \(OC=9\).

6. Explique por que a abertura do compasso não deve mudar durante a construção.

7. Uma circunferência possui diâmetro de 30 cm. Qual é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência?

8. “Todo ponto que pertence ao círculo também pertence à circunferência.” A afirmação está correta? Explique.

9. Uma circunferência possui centro \(O\) e raio 8 cm. Se \(OP=8\) cm, onde está \(P\)?

10. Explique por que a circunferência é um lugar geométrico.

5. Retas paralelas e transversal

Duas retas são paralelas quando não possuem pontos em comum, mesmo prolongadas. Na figura, essa relação é indicada por r ∥ s.

r s t r ∥ s duas retas paralelas

Uma terceira reta que corta as duas é chamada transversal.

r s t r ∥ s reta t é transversal

Quando uma transversal corta duas retas paralelas, são formados oito ângulos.

r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8

6. Ângulos internos e externos

Ângulos internos ficam entre as duas paralelas.

região interna r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8

Ângulos externos ficam fora da região entre as paralelas.

região externa r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8

7. Ângulos correspondentes

Ocupam a mesma posição relativa nos dois cruzamentos e, quando as retas são paralelas, possuem a mesma medida.

r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8
r s t r ∥ s 65° 65°

8. Ângulos alternos internos

Ficam entre as paralelas e em lados opostos da transversal. São congruentes.

r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8
r s t r ∥ s 72° 72°

9. Ângulos alternos externos

Ficam fora das paralelas e em lados opostos da transversal. São congruentes.

r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8
r s t r ∥ s 118° 118°

10. Ângulos colaterais internos

Ficam entre as paralelas e do mesmo lado da transversal. São suplementares:

\(\mathbf{\alpha+\beta=180^\circ}\)
r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8
r s t r ∥ s 68° 112°

11. Ângulos colaterais externos

Ficam fora das paralelas e do mesmo lado da transversal. Também são suplementares.

r s t r ∥ s 1 2 3 4 5 6 7 8
r s t r ∥ s 125° 55°

12. Opostos pelo vértice e adjacentes

Ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida.

70° 70° opostos pelo vértice

Ângulos adjacentes que formam um ângulo raso somam \(180^\circ\).

70° 110° adjacentes suplementares

13. Descobrindo todos os ângulos a partir de um

Se um dos oito ângulos mede \(65^\circ\), os opostos e correspondentes permitem determinar os demais.

r s t r ∥ s 65°

Os suplementares medem \(115^\circ\).

r s t r ∥ s 65° 115° 65° 115° 65° 115° 65° 115°
Pratique — Retas paralelas e ângulos

1. Um ângulo mede \(48^\circ\). Qual é a medida de seu correspondente?

2. Um alterno interno mede \(73^\circ\). Determine o outro.

3. Um colateral interno mede \(105^\circ\). Determine o outro.

4. Correspondentes medem \(3x+5^\circ\) e \(80^\circ\). Determine \(x\).

5. Alternos internos medem \(4x-8^\circ\) e \(60^\circ\). Determine \(x\).

6. Colaterais externos medem \(2x+20^\circ\) e \(4x+10^\circ\). Determine \(x\) e os ângulos.

7. Duas retas se cruzam. Um ângulo mede \(126^\circ\). Determine o oposto e os adjacentes.

8. Um dos oito ângulos mede \(38^\circ\). Quantos medem \(38^\circ\) e quantos medem \(142^\circ\)?

9. Colaterais internos sempre possuem a mesma medida? Explique.

10. Um ângulo mede \(x+30^\circ\) e seu colateral interno mede \(2x^\circ\). Determine \(x\) e os ângulos.

14. Como reconhecer a relação entre dois ângulos

Observe se os ângulos estão entre ou fora das paralelas, no mesmo lado ou em lados opostos da transversal, ou na mesma posição relativa.

Correspondentes mesma posição iguais Alternos internos internos / lados opostos iguais Alternos externos externos / lados opostos iguais Colaterais internos internos / mesmo lado somam 180° Colaterais externos externos / mesmo lado somam 180°
r s t r ∥ s 58° 58°
r s t r ∥ s 56° 124°

15. Situações com mais de uma relação

Às vezes é necessário encontrar um ângulo intermediário antes de chegar ao ângulo pedido.

r s t r ∥ s 130° 50° x

16. Problemas com expressões algébricas

As relações entre ângulos podem aparecer por meio de expressões. Para ângulos congruentes, igualamos as expressões; para suplementares, somamos e igualamos a \(180^\circ\).

r s t r ∥ s 5x−20° 3x+30°

17. Quando as retas não são paralelas

As propriedades estudadas dependem da condição de paralelismo.

Retas paralelas r ∥ s Retas não paralelas Sem paralelismo, as relações estudadas não são garantidas.

18. Utilizando as relações para verificar o paralelismo

Se uma transversal forma pares correspondentes congruentes, alternos congruentes ou colaterais suplementares, podemos concluir que as retas são paralelas.

r s t r ∥ s 72° 72° ângulos correspondentes iguais ⇒ retas paralelas
Pratique — Relações entre ângulos e resolução de problemas

1. Correspondentes medem \(4x+12^\circ\) e \(100^\circ\). Determine \(x\).

2. Alternos internos medem \(6x-18^\circ\) e \(90^\circ\). Determine \(x\).

3. Colaterais internos medem \(72^\circ\) e \(x\). Determine \(x\).

4. Alternos externos medem \(3x+20^\circ\) e \(5x-30^\circ\). Determine \(x\).

5. Colaterais externos medem \(2x+10^\circ\) e \(3x+20^\circ\). Determine \(x\) e os ângulos.

6. Um dos oito ângulos mede \(135^\circ\). Determine as duas medidas diferentes que aparecem.

7. Um ângulo mede \(42^\circ\). Determine seu oposto, um correspondente e um colateral interno.

8. Correspondentes são \(7x-15^\circ\) e \(5x+25^\circ\). Determine \(x\).

9. Alternos internos são congruentes. O que podemos concluir sobre as retas?

10. Colaterais internos são \(4x^\circ\) e \(2x+30^\circ\). Determine \(x\).

19. Organizando as relações

Correspondentes mesma posição relativa iguais Alternos internos entre as paralelas, lados opostos iguais Alternos externos fora das paralelas, lados opostos iguais Colaterais internos entre as paralelas, mesmo lado somam 180° Colaterais externos fora das paralelas, mesmo lado somam 180°

20. Estratégia para resolver problemas

  1. Verifique se as retas são paralelas.
  2. Localize os ângulos.
  3. Identifique a relação.
  4. Escolha entre igualdade ou soma igual a \(180^\circ\).
  5. Resolva e verifique.

21. Situações-problema

r s t r ∥ s 64° x ruas paralelas
r s t r ∥ s x 118° barras paralelas
r s t r ∥ s 146° 34° x

22. Construção geométrica e relações entre os conteúdos

Na circunferência, o compasso mantém uma distância constante em relação ao centro. Nas retas paralelas, determinadas posições produzem relações constantes entre ângulos. Em ambos os casos, trabalhamos com propriedades geométricas.

Pratique — Circunferência, paralelismo e resolução de problemas

1. Uma circunferência possui raio de 9 cm. Determine o diâmetro.

2. Uma circunferência tem raio 7 cm. Classifique pontos com distâncias 5 cm, 7 cm e 10 cm do centro.

3. Explique por que todos os pontos traçados pelo compasso ficam à mesma distância do centro.

4. Um ângulo mede \(67^\circ\). Determine seu alterno interno.

5. Um ângulo mede \(128^\circ\). Determine seu colateral interno.

6. Correspondentes são \(5x-10^\circ\) e \(3x+30^\circ\). Determine \(x\).

7. Colaterais internos são \(3x+20^\circ\) e \(2x+10^\circ\). Determine \(x\).

8. Um dos oito ângulos mede \(112^\circ\). Determine os outros sete.

9. Correspondentes medem \(75^\circ\). O que podemos concluir sobre as retas?

10. Um ângulo mede \(140^\circ\). O ângulo \(x\) é correspondente ao adjacente dele. Determine \(x\).

23. Revisão geral

Revisão e aprofundamento

1. Explique a diferença entre círculo e circunferência.

2. Uma circunferência possui raio de 12 cm. Determine o diâmetro.

3. O diâmetro mede 34 cm. Determine o raio.

4. Para raio 8 cm, classifique pontos a 6 cm, 8 cm e 11 cm do centro.

5. Por que a circunferência é um lugar geométrico?

6. Um compasso está aberto em 5 cm. Qual é o raio da circunferência?

7. Um ângulo mede \(54^\circ\). Determine o correspondente.

8. Um alterno interno mede \(83^\circ\). Determine o outro.

9. Um alterno externo mede \(121^\circ\). Determine o outro.

10. Um colateral interno mede \(74^\circ\). Determine o outro.

11. Um colateral externo mede \(132^\circ\). Determine o outro.

12. Duas retas se cruzam e um ângulo mede \(47^\circ\). Determine o oposto e os adjacentes.

13. Correspondentes são \(4x+18^\circ\) e \(102^\circ\). Determine \(x\).

14. Alternos internos são \(5x-12^\circ\) e \(3x+30^\circ\). Determine \(x\).

15. Colaterais internos são \(3x+15^\circ\) e \(2x+40^\circ\). Determine \(x\).

16. Um dos oito ângulos mede \(72^\circ\). Quantos medem \(72^\circ\) e quantos medem \(108^\circ\)?

17. Um ângulo mede \(136^\circ\). Determine seu adjacente.

18. Correspondentes possuem a mesma medida de \(68^\circ\). O que concluir sobre as retas?

19. Colaterais externos são \(4x+8^\circ\) e \(2x+28^\circ\). Determine \(x\).

20. Resolva a situação da figura abaixo, identificando cada relação utilizada.

r s t r ∥ s 125° 55° x

Gabaritos

Gabarito — Circunferência e círculo

1. Circunferência é o contorno; círculo inclui o contorno e a região interna.

2. 14 cm.

3. 12 cm.

4. 5 cm e 5 cm.

5. interior; sobre; exterior.

6. Porque a abertura representa o raio.

7. 15 cm.

8. Não.

9. Sobre a circunferência.

10. Porque todos os seus pontos satisfazem a mesma condição de distância ao centro.

Gabarito — Retas paralelas e ângulos

1. 48°. 2. 73°. 3. 75°. 4. \(x=25\). 5. \(x=17\).

6. \(x=25\); 70° e 110°. 7. 126° e 54°. 8. quatro de 38° e quatro de 142°.

9. Não; são suplementares. 10. \(x=50\); 80° e 100°.

Gabarito — Relações entre ângulos e resolução de problemas

1. \(x=22\). 2. \(x=18\). 3. 108°. 4. \(x=25\), ângulos de 95°.

5. \(x=30\), 70° e 110°. 6. 135° e 45°. 7. 42°, 42° e 138°.

8. \(x=20\), ângulos de 125°. 9. As retas são paralelas. 10. \(x=25\), 100° e 80°.

Gabarito — Circunferência, paralelismo e resolução de problemas

1. 18 cm. 2. interior, sobre, exterior. 3. Porque a abertura do compasso permanece constante.

4. 67°. 5. 52°. 6. \(x=20\), ângulos de 90°. 7. \(x=30\), 110° e 70°.

8. três outros de 112° e quatro de 68°. 9. As retas são paralelas. 10. 40°.

Gabarito — Revisão geral

1. Contorno versus contorno e região interna. 2. 24 cm. 3. 17 cm.

4. interior, sobre, exterior. 5. Mesma condição de distância. 6. 5 cm.

7. 54°. 8. 83°. 9. 121°. 10. 106°. 11. 48°.

12. 47° e 133°. 13. \(x=21\). 14. \(x=21\), ângulos de 93°.

15. \(x=25\), ambos 90°. 16. quatro de 72° e quatro de 108°. 17. 44°.

18. As retas são paralelas. 19. \(x=24\), 104° e 76°. 20. 55°.

Para lembrar

  • Circunferência é o conjunto de pontos à mesma distância do centro.
  • Círculo inclui a circunferência e sua região interna.
  • \(d=2r\).
  • Correspondentes, alternos internos e alternos externos são congruentes.
  • Colaterais internos e externos são suplementares.
  • Opostos pelo vértice são congruentes.
  • Adjacentes que formam ângulo raso somam 180°.
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