Triângulos, polígonos e construções geométricas
Triângulos e outros polígonos aparecem em construções, estruturas, objetos, desenhos e projetos geométricos. Nesta postagem estudaremos a construção e a condição de existência de triângulos, a soma dos ângulos internos, a rigidez dos triângulos, os ângulos internos e externos de polígonos regulares e construções geométricas com régua e compasso. Também veremos como organizar procedimentos por meio de algoritmos e fluxogramas.
Habilidades da BNCC
EF07MA24: construir triângulos, utilizando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
EF07MA25: reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas.
EF07MA26: descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.
EF07MA27: calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos.
EF07MA28: descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular, como quadrado e triângulo equilátero, conhecidas as medidas dos lados.
1. Construindo um triângulo
Considere três segmentos com medidas 5 cm, 6 cm e 7 cm. Podemos construir um triângulo utilizando régua e compasso.
- Traçar AB = 7 cm.
- Com centro em A, traçar um arco de raio 5 cm.
- Com centro em B, traçar um arco de raio 6 cm.
- Marcar o encontro dos arcos como C e ligar A a C e B a C.
2. É possível formar qualquer triângulo?
Não. Três segmentos quaisquer nem sempre conseguem formar um triângulo. Por exemplo, 2 cm, 3 cm e 7 cm não formam um triângulo, pois os dois lados menores juntos não alcançam o maior lado.
|a − b| < c < a + b
Pratique — Construção e condição de existência de triângulos
1. Verifique se é possível construir um triângulo com lados de 5 cm, 6 cm e 8 cm.
2. Os segmentos de 2 cm, 4 cm e 7 cm podem formar um triângulo? Justifique.
3. Verifique se os segmentos de 6 cm, 10 cm e 16 cm formam um triângulo.
4. Um triângulo possui dois lados medindo 7 cm e 9 cm. Determine o intervalo de valores possíveis para o terceiro lado \(x\).
5. Se o terceiro lado da questão anterior possuir medida inteira, escreva todos os valores possíveis.
6. Um estudante afirmou que 4 cm, 5 cm e 9 cm formam um triângulo porque \(4+5=9\). Ele está correto?
7. Dois lados medem 12 cm e 7 cm. O terceiro lado pode medir 20 cm?
8. Dois lados medem 6 cm e 11 cm. Entre 4, 5, 6, 12, 16, 17 e 18, indique quais podem representar o terceiro lado.
9. Explique por que os arcos construídos a partir das extremidades de um segmento precisam se encontrar para obter o terceiro vértice.
10. Um triângulo possui lados \(x\), 8 cm e 13 cm. Determine o intervalo de valores possíveis para \(x\).
6. Soma dos ângulos internos de um triângulo
A soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer triângulo é sempre:
Exemplo
Se dois ângulos medem 50° e 65°:
Podemos justificar essa propriedade traçando por um vértice uma reta paralela ao lado oposto. Os três ângulos aparecem lado a lado formando um ângulo raso.
7. Rigidez dos triângulos
Se os comprimentos das três barras forem mantidos, a forma de um triângulo não pode ser alterada sem modificar algum lado ou romper uma ligação. Essa característica é chamada rigidez.
Uma estrutura quadrilateral articulada pode mudar de forma mesmo mantendo os lados.
Ao acrescentar uma diagonal, o quadrilátero fica dividido em dois triângulos e a estrutura se torna mais rígida.
Pratique — Ângulos internos e rigidez dos triângulos
1. Dois ângulos medem 48° e 72°. Determine o terceiro.
2. Um triângulo possui ângulos de 35°, \(x\) e 85°. Determine \(x\).
3. Os ângulos medem \(x\), \(x\) e 40°. Determine \(x\).
4. Os ângulos medem \(x\), \(2x\) e \(2x\). Determine as três medidas.
5. Um ângulo mede o dobro de outro e o terceiro mede 60°. Determine os outros dois.
6. É possível construir um triângulo com ângulos de 70°, 60° e 55°? Justifique.
7. Explique por que uma estrutura triangular apresenta maior rigidez que uma estrutura quadrilateral articulada.
8. Uma armação retangular está se deformando. Que modificação pode aumentar sua rigidez?
9. Um triângulo possui dois ângulos iguais e o terceiro mede 44°. Determine os outros dois.
10. Os ângulos são \(x+10^\circ\), \(2x\) e 50°. Determine \(x\) e as três medidas.
8. Polígonos
Observe alguns elementos que podemos identificar em um polígono:
| Número de lados | Nome |
|---|---|
| 3 | Triângulo |
| 4 | Quadrilátero |
| 5 | Pentágono |
| 6 | Hexágono |
| 7 | Heptágono |
| 8 | Octógono |
| 9 | Eneágono |
| 10 | Decágono |
9. Polígonos regulares
Um polígono é regular quando possui todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos com a mesma medida.
10. Soma dos ângulos internos de um polígono
Traçando diagonais a partir de um único vértice, podemos dividir o polígono em triângulos.
Si = (n − 2) · 180°
11. Ângulo interno de um polígono regular
ai = ((n − 2) · 180°) / n
12. Ângulos externos de um polígono regular
O ângulo interno e o ângulo externo adjacente formam um ângulo raso.
Escolhendo um ângulo externo em cada vértice, todos no mesmo sentido, a soma é 360°.
Pratique — Polígonos e ângulos
1. Calcule a soma dos ângulos internos de um hexágono.
2. Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono.
3. Determine cada ângulo interno de um pentágono regular.
4. Determine cada ângulo interno de um octógono regular.
5. Qual é cada ângulo externo de um hexágono regular?
6. Um polígono regular possui ângulo externo de 40°. Quantos lados possui?
7. A soma dos ângulos internos é 1260°. Quantos lados possui?
8. Cada ângulo interno mede 150°. Determine o ângulo externo e a quantidade de lados.
9. Uma praça tem formato de octógono regular. Determine cada ângulo interno.
10. Explique por que um ângulo interno e o externo adjacente somam 180°.
Revisão e aprofundamento
1. Verifique se 7 cm, 9 cm e 12 cm formam um triângulo.
2. É possível construir um triângulo de lados 4 cm, 6 cm e 11 cm?
3. 5 cm, 8 cm e 13 cm formam um triângulo? Justifique.
4. Dois lados medem 6 cm e 10 cm. Determine o intervalo do terceiro lado.
5. Dois lados medem 5 cm e 9 cm. Liste os valores inteiros possíveis do terceiro lado.
6. Dois ângulos medem 47° e 68°. Determine o terceiro.
7. Os ângulos são \(x\), \(x+20^\circ\) e \(2x\). Determine-os.
8. Dois ângulos são iguais e o terceiro mede 38°. Determine os dois iguais.
9. Explique como uma diagonal aumenta a rigidez de um quadrilátero articulado.
10. Calcule a soma dos ângulos internos de um heptágono.
11. Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de 12 lados?
12. Determine cada ângulo interno de um hexágono regular.
13. Determine cada ângulo externo de um decágono regular.
14. Cada ângulo externo mede 30°. Quantos lados possui?
15. Cada ângulo interno mede 144°. Determine o ângulo externo e a quantidade de lados.
16. A soma dos ângulos internos é 1800°. Quantos lados possui?
17. Um pentágono regular possui cinco ângulos internos iguais. Determine a medida de cada um.
18. Um polígono regular possui cada ângulo externo medindo 24°. Quantos lados ele possui?
19. A soma dos ângulos internos de um polígono é 1440°. Determine a quantidade de lados.
20. Um polígono regular possui 12 lados. Determine a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.
Gabaritos
Gabarito — Construção e condição de existência de triângulos
1. Sim. 5+6=11>8.
2. Não. 2+4=6<7.
3. Não. 6+10=16, e a soma precisa ser maior.
4. 2<x<16.
5. 3 a 15.
6. Não; 4+5=9.
7. Não; 12+7=19<20.
8. 6, 12 e 16.
9. O encontro dos arcos determina o terceiro vértice.
10. 5<x<21.
Gabarito — Ângulos internos e rigidez dos triângulos
1. 60°. 2. 60°. 3. 70°. 4. 36°, 72° e 72°. 5. 40° e 80°.
6. Não, pois a soma é 185°. 7. O triângulo mantém a forma quando seus lados permanecem fixos. 8. Acrescentar uma diagonal. 9. 68° e 68°. 10. x=40; ângulos 50°, 80° e 50°.
Gabarito — Polígonos e ângulos
1. 720°. 2. 1260°. 3. 108°. 4. 135°. 5. 60°.
6. 9 lados. 7. 9 lados. 8. 30° e 12 lados. 9. 135°. 10. Formam um ângulo raso.
Gabarito — Revisão geral
1. Sim. 2. Não. 3. Não. 4. 4<x<16. 5. 5 a 13.
6. 65°. 7. 40°, 60° e 80°. 8. 71° e 71°. 9. A diagonal forma dois triângulos. 10. 900°.
11. 1800°. 12. 120°. 13. 36°. 14. 12 lados. 15. 36° e 10 lados.
16. 12 lados.
17. 108°.
18. 360÷24=15. Portanto, 15 lados.
19. (n-2)·180=1440, então n=10.
20. Ângulo externo: 360÷12=30°. Ângulo interno: 180°-30°=150°.
Para lembrar
- A soma de dois lados de um triângulo deve ser maior que o terceiro.
- |a-b|<c<a+b.
- A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
- Triângulos apresentam rigidez.
- Si=(n-2)·180°.
- Em polígonos regulares, ai = ((n − 2) · 180°) / n e ae = 360° / n.