Circunferência, ângulos, polígonos e relações métricas
A geometria permite estudar formas, posições, medidas e relações presentes em diferentes situações do cotidiano. Nesta postagem, vamos aprofundar o estudo da circunferência, dos ângulos relacionados a ela, dos polígonos regulares e de algumas relações métricas importantes.
Habilidades da BNCC
EF09MA11: resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
EF09MA15: descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
1. Circunferência e círculo
A circunferência é a linha curva fechada formada pelos pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado centro. O círculo corresponde à região interna limitada pela circunferência, incluindo a própria circunferência.
2. Centro, raio e diâmetro
Exemplo resolvido 1. Uma circunferência possui raio de 7 cm.
3. Corda
Uma corda é um segmento cujas duas extremidades pertencem à circunferência. Todo diâmetro é uma corda, mas nem toda corda é um diâmetro.
4. Arco de circunferência
Dois pontos distintos da circunferência determinam arcos. Uma volta completa corresponde a \(360^\circ\).
Exemplo resolvido 2. Uma circunferência foi dividida em 8 arcos de mesma medida.
Cada arco mede 45°.
5. Semicircunferência
6. Ângulo central
Exemplo resolvido 3. Se o arco \(AB\) mede \(125^\circ\), o ângulo central correspondente também mede 125°.
7. Ângulo inscrito
Exemplo resolvido 4. Um ângulo inscrito intercepta um arco de \(100^\circ\).
8. Relação entre ângulo central e ângulo inscrito
Exemplo resolvido 5. Se o ângulo central mede \(140^\circ\):
9. Ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco
Ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco possuem a mesma medida.
10. Ângulo inscrito em uma semicircunferência
Exemplo resolvido 6. Se \(AB\) é diâmetro e \(C\) pertence à circunferência, então \(\widehat{ACB}=90^\circ\).
11. Determinando um arco a partir de um ângulo inscrito
Exemplo resolvido 7. Se o ângulo inscrito mede \(35^\circ\):
12. Soma dos arcos de uma circunferência
Exemplo resolvido 8. Arcos de \(80^\circ\), \(110^\circ\), \(70^\circ\) e \(x\).
13. Polígonos inscritos em uma circunferência
Um polígono é inscrito quando todos os seus vértices pertencem à circunferência.
14. Ângulo central de um polígono regular
Exemplo resolvido 9. Pentágono regular:
Exemplo resolvido 10. Hexágono regular:
15. Relação entre o lado do hexágono regular e o raio
No hexágono regular inscrito, o lado possui a mesma medida do raio da circunferência.
Exemplo resolvido 11. Se o raio mede 5 cm:
16. Ângulo interno de um polígono regular
Exemplo resolvido 12. Hexágono regular:
17. Ângulo externo de um polígono regular
Exemplo resolvido 13. Octógono regular:
18. Número de lados a partir do ângulo externo
Exemplo resolvido 14. Se \(E=30^\circ\):
▶ Pratique 1 — Circunferência, arcos e polígonos
1. Uma circunferência possui raio de 9 cm. Determine seu diâmetro.
2. Uma circunferência possui diâmetro de 24 cm. Determine seu raio.
3. Um arco mede \(135^\circ\). Determine o ângulo central correspondente.
4. Um ângulo inscrito intercepta um arco de \(150^\circ\). Determine sua medida.
5. Um ângulo inscrito mede \(42^\circ\). Determine o arco interceptado.
6. Uma roda foi dividida em 12 setores iguais. Determine cada ângulo central.
7. Três arcos medem \(80^\circ\), \(95^\circ\) e \(105^\circ\). Determine o arco restante.
8. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio 7 cm. Determine lado e perímetro.
9. Um octógono regular é usado em um piso decorativo. Determine seus ângulos interno e externo.
10. Um polígono regular possui ângulo externo de \(24^\circ\). Quantos lados possui?
19. Quadriláteros inscritos
Exemplo resolvido 15. Se um ângulo mede \(68^\circ\), seu oposto mede:
20. Por que os ângulos opostos são suplementares?
Os arcos interceptados pelos ângulos opostos completam \(360^\circ\); como cada ângulo inscrito mede metade do arco, a soma dos ângulos opostos é \(180^\circ\).
21. Determinando ângulos em quadriláteros inscritos
Exemplo resolvido 16. \(A=3x+10^\circ\) e \(C=2x+20^\circ\).
22. Reta tangente a uma circunferência
23. Relação métrica envolvendo tangente
Exemplo resolvido 17. \(r=5\) cm e \(PO=13\) cm.
24. Segmentos tangentes de um mesmo ponto
Exemplo resolvido 18. \(PA=3x+2\) e \(PB=5x-8\).
25. Ângulo formado por tangente e corda
Exemplo resolvido 19. Para arco de \(124^\circ\):
26. Duas cordas que se cruzam no interior
Exemplo resolvido 20. Arcos de \(110^\circ\) e \(50^\circ\).
27. Ângulo com vértice no exterior
Exemplo resolvido 21. Arcos de \(170^\circ\) e \(70^\circ\).
28. Relações métricas entre cordas
Exemplo resolvido 22. \(PA=4\), \(PB=6\), \(PC=3\).
29. Relação métrica entre duas secantes
Exemplo resolvido 23. \(PA=4\), \(PB=12\), \(PC=6\).
30. Relação métrica entre tangente e secante
Exemplo resolvido 24. \(PA=4\) e \(PB=9\).
31. Parte externa e secante inteira
Exemplo resolvido 25. Parte externa 3 cm e interna 9 cm.
32. Reunindo as principais relações métricas
| Situação | Relação |
|---|---|
| Duas cordas internas | \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\) |
| Duas secantes externas | \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\) |
| Tangente e secante | \(PT^2=PA\cdot PB\) |
| Raio e tangente | \(OT\perp PT\) |
▶ Pratique 2 — Ângulos e relações métricas
1. Em um quadrilátero inscrito, um ângulo mede \(74^\circ\). Determine o oposto.
2. Dois ângulos opostos medem \(3x+15^\circ\) e \(2x+25^\circ\). Determine \(x\) e os ângulos.
3. Qual é o ângulo formado entre uma tangente e o raio no ponto de tangência?
4. Uma circunferência possui raio de 8 cm e um ponto externo está a 17 cm do centro. Determine a tangente.
5. Duas cordas se cruzam; os arcos associados medem \(130^\circ\) e \(50^\circ\). Determine o ângulo.
6. Dois arcos externos medem \(190^\circ\) e \(70^\circ\). Determine o ângulo exterior.
7. Uma corda é dividida em 6 cm e 8 cm; na outra, um segmento mede 4 cm. Determine o outro.
8. Duas secantes partem de um ponto exterior. Na primeira, parte externa 3 m e total 12 m. Na segunda, parte externa 4 m. Determine o total.
9. Uma tangente e uma secante partem do mesmo ponto. Parte externa 5 m e total 20 m. Determine a tangente.
10. Uma secante tem parte externa 4 cm e interna 12 cm. Determine a tangente correspondente.
33. Polígonos regulares
Um polígono é regular quando possui todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.
34. Construção de um hexágono regular
Trace uma circunferência, mantenha no compasso a mesma abertura do raio, marque seis pontos consecutivos e ligue-os com a régua.
35. Por que a construção do hexágono funciona?
36. Construção de um triângulo equilátero
Trace um segmento, use-o como raio em dois arcos com centros nas extremidades e ligue a interseção às extremidades.
37. Construção de um quadrado a partir do lado
Trace o lado, construa perpendiculares nas extremidades, transporte a medida do lado e feche o quadrado.
38. Construção de polígonos regulares com softwares
Softwares de geometria dinâmica permitem repetir as mesmas construções e verificar invariantes geométricos.
39. Construção a partir do ângulo central
Exemplo resolvido 26. Para um octógono regular:
40. Apótema de um polígono regular
O apótema é o segmento perpendicular traçado do centro até o ponto médio de um lado.
41. Relação entre raio, apótema e lado
Exemplo resolvido 27. \(R=5\) cm e \(l=6\) cm.
42. Área de um polígono regular
Exemplo resolvido 28. \(P=36\) cm e \(a=3\sqrt3\) cm.
43. Área do hexágono regular
Exemplo resolvido 29. Para \(l=4\) cm:
44. Diagonais de um polígono
Exemplo resolvido 30. Para um octógono:
▶ Pratique 3 — Polígonos, construções e relações métricas
1. Determine o ângulo central de um decágono regular.
2. Determine os ângulos interno e externo de um dodecágono regular.
3. Um polígono regular possui ângulo externo de \(20^\circ\). Determine o número de lados.
4. Determine o número de diagonais de um decágono.
5. Um polígono regular possui raio de 13 cm e lado de 10 cm. Determine o apótema.
6. Um hexágono regular de lado 6 cm. Determine perímetro e área.
7. Um jardim possui perímetro de 60 m e apótema de 8 m. Determine a área.
8. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio 9 cm. Determine lado e perímetro.
9. Qual deve ser o ângulo central para construir um octógono regular inscrito?
10. Descreva como construir um triângulo equilátero de lado 7 cm com régua e compasso.
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Uma circunferência possui raio de 12 cm. Determine o diâmetro.
2. Um arco mede \(148^\circ\). Determine o ângulo central correspondente.
3. Um ângulo inscrito intercepta arco de \(132^\circ\). Determine o ângulo.
4. Um ângulo inscrito mede \(47^\circ\). Determine o arco.
5. Em um quadrilátero inscrito, um ângulo mede \(105^\circ\). Determine o oposto.
6. Qual o ângulo entre uma tangente e o raio no ponto de tangência?
7. Duas cordas se cruzam: 6 cm e 10 cm em uma; 5 cm e \(x\) na outra. Determine \(x\).
8. Duas secantes: externa 4 cm e total 15 cm; outra externa 6 cm. Determine o total.
9. Tangente e secante: externa 9 cm e total 16 cm. Determine a tangente.
10. Tangente 12 cm e parte externa da secante 8 cm. Determine o total da secante.
11. Determine a soma dos ângulos internos de um eneágono.
12. Determine os ângulos interno e externo de um decágono regular.
13. Um polígono regular possui ângulo externo de \(15^\circ\). Determine o número de lados.
14. Determine o ângulo central de um polígono regular de 18 lados.
15. Um hexágono regular está inscrito em circunferência de raio 8 cm. Determine lado e perímetro.
16. Um polígono regular possui raio de 10 cm e lado 12 cm. Determine o apótema.
17. Um polígono possui perímetro 72 cm e apótema 9 cm. Determine a área.
18. Determine a área exata de um hexágono regular de lado 8 cm.
19. Determine o número de diagonais de um polígono de 12 lados.
20. Explique por que o lado de um hexágono regular inscrito possui a mesma medida do raio.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. 18 cm.
2. 12 cm.
3. 135°.
4. 75°.
5. 84°.
6. 30°.
7. 80°.
8. Lado 7 cm; perímetro 42 cm.
9. Interno 135°; externo 45°.
10. 15 lados.
▶ Gabarito do Pratique 2
1. 106°.
2. \(x=28\); ângulos 99° e 81°.
3. 90°.
4. 15 cm.
5. 90°.
6. 60°.
7. 12 cm.
8. 9 m.
9. 10 m.
10. 8 cm.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. 36°.
2. Interno 150°; externo 30°.
3. 18 lados.
4. 35 diagonais.
5. 12 cm.
6. Perímetro 36 cm; área \(54\sqrt3\text{ cm}^2\).
7. 240 m².
8. Lado 9 cm; perímetro 54 cm.
9. 45°.
10. Traçar um segmento de 7 cm, dois arcos de raio 7 cm com centros nas extremidades e ligar a interseção às extremidades.
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 24 cm.
2. 148°.
3. 66°.
4. 94°.
5. 75°.
6. 90°.
7. 12 cm.
8. 10 cm.
9. 12 cm.
10. 18 cm.
11. 1260°.
12. Interno 144°; externo 36°.
13. 24 lados.
14. 20°.
15. Lado 8 cm; perímetro 48 cm.
16. 8 cm.
17. 324 cm².
18. \(96\sqrt3\text{ cm}^2\).
19. 54 diagonais.
20. Os seis ângulos centrais medem 60°, formando seis triângulos equiláteros; por isso, o lado do hexágono é igual ao raio.
Para lembrar: identifique primeiro onde está o vértice do ângulo e quais segmentos participam da situação. Isso determina a relação correta a ser utilizada.