Equações do segundo grau
Uma equação do segundo grau é uma equação que pode ser escrita na forma
Esse tipo de equação aparece em diferentes situações matemáticas, como problemas envolvendo áreas, medidas e relações entre números.
Nesta postagem, vamos reconhecer equações completas e incompletas, resolver equações por diferentes estratégias e compreender que a fatoração estudada anteriormente é uma importante ferramenta para encontrar suas soluções.
Habilidade da BNCC
EF09MA09: compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
1. O que é uma equação do segundo grau?
A forma geral de uma equação do segundo grau com uma incógnita é:
Os números \(a\), \(b\) e \(c\) são os coeficientes da equação.
Exemplo resolvido 1. Identifique os coeficientes de:
Comparando com \(ax^2+bx+c=0\):
Atenção: o coeficiente \(a\) nunca pode ser zero. Se \(a=0\), o termo \(x^2\) desaparece e a equação deixa de ser do segundo grau.
2. Equações completas e incompletas
Uma equação do segundo grau é completa quando \(a\), \(b\) e \(c\) são diferentes de zero.
Por exemplo:
Ela é incompleta quando \(b=0\), \(c=0\) ou ambos.
| Equação | Coeficientes | Classificação |
|---|---|---|
| \(x^2-5x+6=0\) | \(a=1,\ b=-5,\ c=6\) | Completa |
| \(x^2-16=0\) | \(a=1,\ b=0,\ c=-16\) | Incompleta |
| \(3x^2+12x=0\) | \(a=3,\ b=12,\ c=0\) | Incompleta |
| \(5x^2=0\) | \(a=5,\ b=0,\ c=0\) | Incompleta |
3. Equações incompletas do tipo \(ax^2+c=0\)
Quando não existe termo em \(x\), podemos isolar \(x^2\).
Exemplo resolvido 2.
Como \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\):
Logo:
Exemplo resolvido 3.
Portanto:
4. Equações incompletas do tipo \(ax^2+bx=0\)
Nesse caso, os termos possuem \(x\) como fator comum.
Exemplo resolvido 4.
Colocando \(x\) em evidência:
Pela propriedade do produto nulo:
Portanto:
Exemplo resolvido 5.
▶ Pratique 1 — Reconhecimento e equações incompletas
1. Identifique \(a\), \(b\) e \(c\) em \(3x^2-7x+2=0\).
2. Classifique \(x^2+9x-10=0\) como completa ou incompleta.
3. Classifique \(4x^2-36=0\) como completa ou incompleta.
4. Resolva \(x^2-49=0\).
5. Resolva \(2x^2-32=0\).
6. A área de um quadrado é \(81\text{ cm}^2\). Utilizando uma equação do segundo grau, determine a medida positiva do lado.
7. O produto de um número por ele mesmo é 144. Quais números reais satisfazem essa condição?
8. Resolva \(x^2+8x=0\).
9. Resolva \(5x^2-15x=0\).
10. Uma expressão para a área de um retângulo é \(x(x+5)\). Para quais valores de \(x\) essa expressão é igual a zero?
5. Equações completas do segundo grau
As equações completas possuem os três termos:
Algumas podem ser resolvidas facilmente por fatoração.
Exemplo resolvido 6.
Procuramos dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja \(-5\). Esses números são \(-2\) e \(-3\).
Assim:
Logo:
6. Completamento de quadrados
Uma expressão do segundo grau pode, em alguns casos, ser transformada em um quadrado perfeito. Esse procedimento é chamado de completamento de quadrados.
Exemplo resolvido 7.
Passamos o termo constante para o outro lado:
Para completar o quadrado, tomamos a metade de 6 e elevamos ao quadrado:
Somamos 9 aos dois membros:
Assim:
7. Da equação geral à fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara pode ser obtida a partir da equação geral do segundo grau por meio do completamento de quadrados.
Dividindo todos os termos por \(a\):
Passando o termo constante para o outro membro:
A metade do coeficiente de \(x\) é:
Seu quadrado é:
Somamos esse valor aos dois membros:
O primeiro membro torna-se um quadrado perfeito:
Extraindo a raiz quadrada:
Isolando \(x\):
8. O discriminante
Na fórmula de Bhaskara aparece a expressão:
Essa expressão recebe o nome de discriminante e é representada pela letra grega delta:
Com isso, a fórmula de Bhaskara pode ser escrita como:
O valor de \(\Delta\) indica o número de raízes reais da equação.
Se \(\Delta>0\): existem duas raízes reais diferentes.
Se \(\Delta=0\): existe uma raiz real dupla.
Se \(\Delta<0\): não existem raízes reais.
9. Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
Exemplo resolvido 8.
Identificamos os coeficientes:
Calculamos o discriminante:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim:
Exemplo resolvido 9.
Exemplo resolvido 10.
Como \(\Delta=0\), existe uma raiz real dupla:
Exemplo resolvido 11.
Como \(\Delta<0\), a equação não possui raízes reais.
Ao identificar os coeficientes, o sinal faz parte do coeficiente. Em \(2x^2-7x-4=0\), temos \(a=2\), \(b=-7\) e \(c=-4\).
▶ Pratique 2 — Equações completas e fórmula de Bhaskara
1. Calcule o discriminante de \(x^2-8x+12=0\).
2. Calcule o discriminante de \(x^2+6x+9=0\).
3. Sem calcular as raízes, determine quantas raízes reais possui \(x^2+4x+8=0\).
4. Resolva \(x^2-7x+12=0\) pela fórmula de Bhaskara.
5. Resolva \(2x^2-5x-3=0\).
6. O produto de dois números inteiros consecutivos é 72. Determine esses números.
7. Um retângulo possui lados \(x\) e \(x+3\) e área \(40\text{ cm}^2\). Determine as medidas positivas dos lados.
8. O quadrado de um número, diminuído de cinco vezes esse número, é igual a 14. Determine os possíveis valores.
9. A soma do quadrado de um número com o dobro desse número é 15. Determine os possíveis valores.
10. Um terreno retangular possui largura \(x\) metros e comprimento \(x+5\) metros. Se a área é \(84\text{ m}^2\), determine suas dimensões.
10. Verificando as raízes
Depois de encontrar uma solução, podemos verificar se ela realmente satisfaz a equação original.
Exemplo resolvido 12. Verifique se \(x=3\) é raiz de:
Substituindo \(x\) por 3:
Como a igualdade é verdadeira, \(x=3\) é uma raiz.
11. Soma e produto das raízes
Se \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes de \(ax^2+bx+c=0\), então:
Exemplo resolvido 13. Considere:
De fato, as raízes são 2 e 5.
12. Construindo uma equação a partir das raízes
Exemplo resolvido 14. Construa uma equação de coeficiente \(a=1\) cujas raízes sejam 2 e 5.
Desenvolvendo:
13. Qual método utilizar?
Nem toda equação precisa ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Antes de escolher o método, observe sua estrutura.
| Situação | Método conveniente |
|---|---|
| \(x^2=25\) | Isolamento de \(x^2\) |
| \(x^2-6x=0\) | Fator comum e produto nulo |
| \(x^2-9=0\) | Diferença de quadrados |
| \(x^2-5x+6=0\) | Fatoração ou Bhaskara |
| Equação completa sem fatoração evidente | Completamento de quadrados ou Bhaskara |
14. Problemas com equações do segundo grau
Exemplo resolvido 15. Um retângulo tem comprimento 3 cm maior que a largura e área de \(40\text{ cm}^2\).
Como uma medida não pode ser negativa nesse contexto, as dimensões são 5 cm e 8 cm.
Exemplo resolvido 16. O produto de dois números inteiros consecutivos é 90.
Os pares são:
ou
Exemplo resolvido 17. A área de um quadrado é numericamente igual a 12 vezes a medida de seu lado mais 64.
Como buscamos uma medida positiva, o lado mede 16 unidades.
▶ Pratique 3 — Relações entre raízes e resolução de problemas
1. Determine a soma e o produto das raízes de \(x^2-9x+14=0\).
2. Determine a soma e o produto das raízes de \(2x^2+5x-3=0\).
3. Construa uma equação de coeficiente \(a=1\) cujas raízes sejam 3 e 8.
4. Construa uma equação de coeficiente \(a=1\) cujas raízes sejam \(-2\) e 5.
5. Verifique se \(x=-2\) é raiz de \(x^2+x-2=0\).
6. Um retângulo tem comprimento 4 cm maior que a largura e área de \(96\text{ cm}^2\). Determine suas dimensões.
7. O produto de dois números naturais consecutivos é 132. Quais são os números?
8. O quadrado de um número é igual a sete vezes esse número mais 18. Determine os possíveis valores.
9. Um quadrado possui área de \(169\text{ cm}^2\). Modele a situação com uma equação do segundo grau e determine a medida positiva do lado.
10. Uma área retangular é representada por \(x(x+6)=91\). Determine as medidas positivas representadas por \(x\) e \(x+6\).
15. Erros frequentes
1. Em \(x^2-6x+5=0\), temos \(b=-6\).
2. \((-6)^2=36\).
3. Na fórmula de Bhaskara, o denominador é \(2a\).
4. Quando \(\Delta>0\), o símbolo \(\pm\) permite encontrar duas raízes reais.
5. Em problemas, as soluções precisam ser interpretadas de acordo com o contexto.
16. Síntese dos métodos de resolução
| Método | Ideia principal |
|---|---|
| Isolamento de \(x^2\) | Usado em equações como \(x^2=25\) |
| Fator comum | Transforma \(ax^2+bx=0\) em um produto |
| Produtos notáveis | Permitem reconhecer padrões de fatoração |
| Completamento de quadrados | Transforma parte da expressão em um quadrado perfeito |
| Fórmula de Bhaskara | Método geral para resolver equações do segundo grau |
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Identifique \(a\), \(b\) e \(c\) em \(4x^2-3x-7=0\).
2. Classifique \(5x^2-20=0\) como completa ou incompleta.
3. Resolva \(x^2-64=0\).
4. Resolva \(2x^2+10x=0\).
5. Resolva por fatoração \(x^2-11x+30=0\).
6. Calcule \(\Delta\) em \(x^2-4x-5=0\).
7. Resolva \(x^2-4x-5=0\) pela fórmula de Bhaskara.
8. Determine quantas raízes reais possui \(x^2+2x+10=0\).
9. Determine a soma e o produto das raízes de \(3x^2-12x+6=0\).
10. Escreva uma equação de coeficiente \(a=1\) cujas raízes sejam 4 e \(-3\).
11. Um quadrado possui área de \(225\text{ cm}^2\). Modele a situação com uma equação e determine a medida positiva do lado.
12. O produto de dois números naturais consecutivos é 156. Determine os números.
13. Um retângulo tem largura \(x\), comprimento \(x+7\) e área \(60\text{ cm}^2\). Determine suas dimensões.
14. O quadrado de um número é igual a 10 vezes esse número menos 21. Determine os possíveis valores.
15. A soma do quadrado de um número com três vezes esse número é 28. Determine os possíveis valores.
16. Um terreno retangular possui comprimento 5 m maior que a largura e área de \(150\text{ m}^2\). Determine suas dimensões.
17. Resolva \(x^2-13x+40=0\) por fatoração e verifique as duas raízes.
18. Uma equação do segundo grau possui raízes 6 e 2. Construa uma equação de coeficiente \(a=1\) com essas raízes.
19. Um aluno resolveu \(x^2=36\) e escreveu apenas \(x=6\). Explique o erro e apresente a solução completa.
20. Explique por que a fórmula de Bhaskara não precisa ser o primeiro método escolhido para resolver toda equação do segundo grau.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. \(a=3,\ b=-7,\ c=2\).
2. Completa.
3. Incompleta.
4. \(S=\{-7,7\}\).
5. \(S=\{-4,4\}\).
6. 9 cm.
7. \(-12\) e 12.
8. \(S=\{-8,0\}\).
9. \(S=\{0,3\}\).
10. \(x=0\) ou \(x=-5\).
▶ Gabarito do Pratique 2
1. \(\Delta=16\).
2. \(\Delta=0\).
3. Nenhuma raiz real.
4. \(S=\{3,4\}\).
5. \(S=\{-\frac12,3\}\).
6. 8 e 9, ou \(-9\) e \(-8\).
7. 5 cm e 8 cm.
8. \(S=\{-2,7\}\).
9. \(S=\{-5,3\}\).
10. 7 m e 12 m.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. Soma 9 e produto 14.
2. Soma \(-\frac52\) e produto \(-\frac32\).
3. \(x^2-11x+24=0\).
4. \(x^2-3x-10=0\).
5. Sim.
6. 8 cm e 12 cm.
7. 11 e 12.
8. \(S=\{-2,9\}\).
9. \(x^2-169=0\); lado 13 cm.
10. 7 e 13.
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(a=4,\ b=-3,\ c=-7\).
2. Incompleta.
3. \(S=\{-8,8\}\).
4. \(S=\{-5,0\}\).
5. \(S=\{5,6\}\).
6. \(\Delta=36\).
7. \(S=\{-1,5\}\).
8. Nenhuma raiz real.
9. Soma 4 e produto 2.
10. \(x^2-x-12=0\).
11. 15 cm.
12. 12 e 13.
13. 5 cm e 12 cm.
14. \(S=\{3,7\}\).
15. \(S=\{-7,4\}\).
16. 10 m e 15 m.
17. \(S=\{5,8\}\).
18. \(x^2-8x+12=0\).
19. Faltou considerar a raiz negativa. \(S=\{-6,6\}\).
20. Algumas equações podem ser resolvidas de maneira mais simples por isolamento ou fatoração.
Para lembrar: antes de aplicar uma fórmula, observe a estrutura da equação. Em muitos casos, a fatoração ou o isolamento permite chegar à solução de maneira mais simples. Em situações-problema, as soluções encontradas também precisam ser interpretadas de acordo com o contexto.