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Produtos notáveis e fatoração

Na Álgebra, algumas multiplicações aparecem com tanta frequência que seus resultados podem ser reconhecidos por padrões. Elas são chamadas de produtos notáveis.

Nesta postagem, vamos compreender esses padrões, relacioná-los à representação geométrica e utilizá-los no processo inverso, chamado fatoração. Ao final, veremos como a fatoração pode ajudar a resolver algumas equações do segundo grau.

Habilidade da BNCC

EF09MA09: compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.

1. Retomando a multiplicação algébrica

Antes dos produtos notáveis, vamos retomar a propriedade distributiva.

Exemplo resolvido 1. Desenvolva \(3x(x+4)\).

\[3x(x+4)=3x\cdot x+3x\cdot4\]

\[=3x^2+12x\]

Quando multiplicamos dois binômios, cada termo do primeiro deve multiplicar cada termo do segundo.

Exemplo resolvido 2. Desenvolva \((x+2)(x+5)\).

\[(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10\]

\[=x^2+7x+10\]

2. O que são produtos notáveis?

Produtos notáveis são multiplicações algébricas que apresentam padrões recorrentes. Conhecer esses padrões facilita cálculos, desenvolvimentos e fatorações.

Vamos estudar três casos fundamentais:

• quadrado da soma de dois termos;
• quadrado da diferença de dois termos;
• produto da soma pela diferença de dois termos.

3. Quadrado da soma de dois termos

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)\]

Aplicando a distributiva:

\[(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2\]

\[\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\]

Em palavras: quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto dos termos, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo resolvido 3. Desenvolva \((x+5)^2\).

\[(x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2\]

\[=x^2+10x+25\]

Interpretação geométrica

Considere um quadrado de lado \(a+b\). Sua área total é \((a+b)^2\). Dividindo-o em partes, obtemos um quadrado de área \(a^2\), dois retângulos de área \(ab\) e um quadrado de área \(b^2\).

\((a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)

Erro frequente:

\[(a+b)^2\neq a^2+b^2\]

O termo \(2ab\) não pode ser esquecido.

4. Quadrado da diferença de dois termos

\[(a-b)^2=(a-b)(a-b)\]

Aplicando a distributiva:

\[(a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2\]

\[\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\]

Exemplo resolvido 4. Desenvolva \((x-4)^2\).

\[(x-4)^2=x^2-2\cdot x\cdot4+4^2\]

\[=x^2-8x+16\]

Observe que o último termo continua positivo, pois \(b^2\) é positivo:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

5. Produto da soma pela diferença

\[(a+b)(a-b)\]

Aplicando a distributiva:

\[a^2-ab+ab-b^2\]

Os termos \(-ab\) e \(+ab\) se anulam:

\[\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}\]

Exemplo resolvido 5. Desenvolva \((x+7)(x-7)\).

\[(x+7)(x-7)=x^2-49\]

▶Pratique 1 — Produtos notáveis

1. Desenvolva \((x+3)^2\).

2. Desenvolva \((x-6)^2\).

3. Desenvolva \((x+8)(x-8)\).

4. Desenvolva \((2x+5)^2\).

5. Desenvolva \((3x-2)^2\).

6. Um quadrado possui lado \(x+4\). Escreva sua área na forma desenvolvida.

7. Um quadrado possui lado \(x-3\). Escreva sua área na forma desenvolvida.

8. As dimensões de um retângulo são \(y+5\) e \(y-5\). Escreva sua área na forma desenvolvida.

9. Explique por que \((a+b)^2\) não é igual a \(a^2+b^2\).

10. Calcule \(51^2\) usando o produto notável \((50+1)^2\).

6. Reconhecendo produtos notáveis

Também precisamos reconhecer o padrão quando a expressão já está desenvolvida.

Exemplo resolvido 6. Reconheça o produto notável:

\[x^2+10x+25\]

Temos:

\[x^2=(x)^2,\qquad25=5^2\]

O termo central é:

\[2\cdot x\cdot5=10x\]

Logo:

\[x^2+10x+25=(x+5)^2\]

7. O que significa fatorar?

Fatorar significa escrever uma soma ou diferença algébrica na forma de um produto de fatores. É, portanto, um processo inverso da multiplicação.

\[3x(x+2)\longrightarrow3x^2+6x\]

Desenvolver é seguir da esquerda para a direita. Fatorar é fazer o caminho inverso:

\[3x^2+6x\longrightarrow3x(x+2)\]

8. Fator comum em evidência

Quando todos os termos possuem um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.

Exemplo resolvido 7. Fatore \(6x^2+9x\).

O maior fator comum aos dois termos é \(3x\):

\[6x^2+9x=3x(2x+3)\]

Podemos conferir pela distributiva:

\[3x(2x+3)=6x^2+9x\]

Exemplo resolvido 8. Fatore \(12a^3-8a^2\).

O fator comum é \(4a^2\):

\[12a^3-8a^2=4a^2(3a-2)\]

9. Fatoração por agrupamento

Em algumas expressões, não há um fator comum a todos os termos, mas podemos agrupá-los.

Exemplo resolvido 9. Fatore:

\[ax+ay+bx+by\]

Agrupamos:

\[(ax+ay)+(bx+by)\]

Colocamos o fator comum em cada grupo:

\[a(x+y)+b(x+y)\]

Agora \((x+y)\) é comum:

\[\boxed{(a+b)(x+y)}\]

10. Diferença de dois quadrados

O produto da soma pela diferença pode ser usado no sentido inverso:

\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]

Exemplo resolvido 10. Fatore \(x^2-25\).

\[x^2-25=x^2-5^2\]

\[=(x+5)(x-5)\]

Exemplo resolvido 11. Fatore \(9x^2-16\).

\[9x^2-16=(3x)^2-4^2\]

\[=(3x+4)(3x-4)\]

11. Trinômio quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é obtido pelo quadrado de uma soma ou pelo quadrado de uma diferença.

\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]

\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]

Exemplo resolvido 12. Fatore \(x^2+6x+9\).

Os extremos são quadrados:

\[x^2=(x)^2,\qquad9=3^2\]

E o termo central é:

\[2\cdot x\cdot3=6x\]

Logo:

\[x^2+6x+9=(x+3)^2\]

Exemplo resolvido 13. Fatore \(x^2-10x+25\).

\[x^2-10x+25=(x-5)^2\]

Não basta que o primeiro e o último termos sejam quadrados perfeitos. O termo central precisa ser exatamente o dobro do produto das bases desses quadrados.

▶Pratique 2 — Fatoração

1. Fatore \(4x+12\).

2. Fatore \(10x^2+15x\).

3. Fatore \(x^2-36\).

4. Fatore \(4x^2-25\).

5. Fatore \(x^2+8x+16\).

6. A área de um retângulo é \(x^2+5x\). Fatore a expressão e indique duas expressões que podem representar suas dimensões.

7. A área de uma figura é \(x^2-49\). Escreva a área como produto de dois fatores.

8. Fatore \(ax+ay+3x+3y\).

9. Verifique se \(x^2+12x+36\) é um trinômio quadrado perfeito e, em caso afirmativo, fatore-o.

10. Um aluno escreveu \(x^2-16=(x-4)^2\). Explique o erro e apresente a fatoração correta.

12. Como reconhecer a estratégia de fatoração

Expressão	O que observar	Estratégia
\(6x^2+12x\)	Há fator comum	Fator comum em evidência
\(x^2-49\)	Diferença de dois quadrados	\((x+7)(x-7)\)
\(x^2+8x+16\)	Trinômio quadrado perfeito	\((x+4)^2\)
\(ax+ay+bx+by\)	Termos podem ser agrupados	Agrupamento

13. Fatorações em mais de uma etapa

Algumas expressões exigem mais de um procedimento.

Exemplo resolvido 14. Fatore completamente \(2x^3-18x\).

Primeiro colocamos \(2x\) em evidência:

\[2x^3-18x=2x(x^2-9)\]

Dentro dos parênteses há uma diferença de quadrados:

\[x^2-9=(x+3)(x-3)\]

Portanto:

\[\boxed{2x(x+3)(x-3)}\]

14. Verificando uma fatoração

Uma maneira segura de verificar se uma fatoração está correta é desenvolver novamente o produto.

Exemplo resolvido 15. Verifique:

\[x^2-9=(x+3)(x-3)\]

Desenvolvendo:

\[(x+3)(x-3)=x^2-3x+3x-9=x^2-9\]

Portanto, a fatoração está correta.

15. Fatoração e áreas

A fatoração também pode ajudar a interpretar dimensões de figuras.

Exemplo resolvido 16. Um retângulo possui área:

\[A=x^2+7x\]

Fatorando:

\[A=x(x+7)\]

Assim, duas expressões que podem representar as dimensões do retângulo são:

\[x\quad\text{e}\quad x+7\]

16. Fatoração e equações do segundo grau

A fatoração também permite resolver algumas equações do segundo grau. Esse assunto será aprofundado na próxima postagem, mas já podemos compreender a ideia principal.

Usaremos a propriedade do produto nulo:

\[A\cdot B=0\]

Então:

\[A=0\quad\text{ou}\quad B=0\]

Exemplo resolvido 17. Resolva:

\[x^2-9=0\]

Fatoramos a diferença de quadrados:

\[(x+3)(x-3)=0\]

Então:

\[x+3=0\quad\text{ou}\quad x-3=0\]

\[x=-3\quad\text{ou}\quad x=3\]

Exemplo resolvido 18. Resolva:

\[x^2+6x+9=0\]

Fatorando o trinômio quadrado perfeito:

\[(x+3)^2=0\]

Logo:

\[x+3=0\]

\[x=-3\]

▶Pratique 3 — Produtos notáveis, fatoração e primeiras equações

1. Fatore completamente \(3x^2-27\).

2. Fatore completamente \(2x^3+8x^2+8x\).

3. Resolva por fatoração \(x^2-16=0\).

4. Resolva por fatoração \(x^2-10x+25=0\).

5. Resolva \(x(x+7)=0\).

6. A área de um retângulo é \(x^2+9x\). Escreva a expressão na forma fatorada e identifique possíveis dimensões.

7. A área de uma região é \(x^2-64\). Escreva-a como produto de dois fatores.

8. Um quadrado possui área \(x^2+14x+49\). Escreva uma expressão para a medida de seu lado.

9. Um aluno afirmou que \((x-5)^2=x^2-25\). Mostre o desenvolvimento correto.

10. Explique por que multiplicar e fatorar podem ser considerados processos inversos.

17. Erros frequentes

1. No quadrado da soma:

\[(a+b)^2\neq a^2+b^2\]

2. No quadrado da diferença:

\[(a-b)^2\neq a^2-b^2\]

3. Diferença de quadrados:

\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]

Não é um quadrado da diferença.

4. Antes de escolher uma técnica de fatoração, verifique se existe fator comum em todos os termos.

18. Multiplicar e fatorar: caminhos inversos

Observe:

\[(x+4)^2\longrightarrow x^2+8x+16\]

Esse é o desenvolvimento de um produto notável.

No sentido contrário:

\[x^2+8x+16\longrightarrow(x+4)^2\]

temos uma fatoração.

Compreender essa relação é mais importante do que memorizar regras isoladas.

▶Revisão e aprofundamento — 20 questões

1. Desenvolva \((x+7)^2\).

2. Desenvolva \((x-9)^2\).

3. Desenvolva \((2x+3)(2x-3)\).

4. Fatore \(8x^2+12x\).

5. Fatore \(x^2-81\).

6. Fatore \(x^2+18x+81\).

7. Fatore \(4x^2-12x+9\).

8. Fatore por agrupamento \(ax+ay+5x+5y\).

9. Fatore completamente \(5x^3-45x\).

10. Resolva por fatoração \(x^2-25=0\).

11. Um terreno quadrado possui lado \(x+6\) metros. Escreva a expressão desenvolvida de sua área.

12. Um quadrado possui área \(x^2-12x+36\). Qual expressão representa seu lado?

13. Um retângulo possui área \(3x^2+12x\). Fatore a expressão e indique duas possíveis dimensões.

14. Uma região retangular tem dimensões \(x+10\) e \(x-10\). Escreva sua área na forma desenvolvida.

15. Uma praça quadrada possui lado \(x+2\). Um estudante afirmou que sua área é \(x^2+4\). Explique o erro e apresente a expressão correta.

16. A expressão \(x^2+16x+64\) representa a área de um quadrado. Determine a expressão que representa o lado.

17. Resolva por fatoração \(x^2+8x+16=0\).

18. Resolva por fatoração \(4x^2-36=0\).

19. Uma área é representada por \(2x^3-32x\). Fatore completamente a expressão.

20. Explique como a relação entre produtos notáveis e fatoração pode ser utilizada para resolver uma equação do segundo grau.

▶Gabarito do Pratique 1

1. \(x^2+6x+9\). 2. \(x^2-12x+36\). 3. \(x^2-64\). 4. \(4x^2+20x+25\). 5. \(9x^2-12x+4\).

6. \(x^2+8x+16\). 7. \(x^2-6x+9\). 8. \(y^2-25\). 9. Porque o desenvolvimento produz também os dois termos \(ab\), totalizando \(2ab\). 10. \(2601\).

▶Gabarito do Pratique 2

1. \(4(x+3)\). 2. \(5x(2x+3)\). 3. \((x+6)(x-6)\). 4. \((2x+5)(2x-5)\). 5. \((x+4)^2\).

6. \(x(x+5)\); dimensões \(x\) e \(x+5\). 7. \((x+7)(x-7)\). 8. \((a+3)(x+y)\). 9. Sim; \((x+6)^2\). 10. O correto é \(x^2-16=(x+4)(x-4)\).

▶Gabarito do Pratique 3

1. \(3(x+3)(x-3)\). 2. \(2x(x+2)^2\). 3. \(x=-4\) ou \(x=4\). 4. \(x=5\). 5. \(x=0\) ou \(x=-7\).

6. \(x(x+9)\); dimensões \(x\) e \(x+9\). 7. \((x+8)(x-8)\). 8. \(x+7\). 9. \((x-5)^2=x^2-10x+25\). 10. Porque o desenvolvimento transforma um produto em uma soma algébrica e a fatoração faz o caminho inverso.

▶Gabarito da revisão e do aprofundamento

1. \(x^2+14x+49\). 2. \(x^2-18x+81\). 3. \(4x^2-9\). 4. \(4x(2x+3)\). 5. \((x+9)(x-9)\).

6. \((x+9)^2\). 7. \((2x-3)^2\). 8. \((a+5)(x+y)\). 9. \(5x(x+3)(x-3)\). 10. \(x=-5\) ou \(x=5\).

11. \(x^2+12x+36\). 12. \(x-6\). 13. \(3x(x+4)\); por exemplo, dimensões \(3x\) e \(x+4\). 14. \(x^2-100\).

15. O termo central foi omitido; a área correta é \(x^2+4x+4\). 16. \(x+8\). 17. \(x=-4\). 18. \(x=-3\) ou \(x=3\).

19. \(2x(x+4)(x-4)\). 20. Ao fatorar o polinômio, podemos usar a propriedade do produto nulo e igualar cada fator a zero para encontrar as soluções.

Para lembrar

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Fatorar é escrever uma expressão algébrica como produto de fatores.

Antes de fatorar, observe se há fator comum, agrupamento, diferença de quadrados ou trinômio quadrado perfeito.

A fatoração pode ser utilizada na resolução de algumas equações do segundo grau.

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