Funções e suas representações
Em muitas situações, duas grandezas estão relacionadas de maneira que a alteração de uma provoca uma alteração na outra.
O valor pago por uma quantidade de produtos, a distância percorrida por um veículo ao longo do tempo e o perímetro de um quadrado em função da medida de seu lado são exemplos de relações entre grandezas.
Quando uma dessas grandezas depende da outra de maneira bem definida, podemos estudar essa relação por meio do conceito de função.
Habilidade da BNCC
EF09MA06: compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica, utilizando esse conceito na análise de situações envolvendo relações funcionais entre duas variáveis.
1. Relação entre duas grandezas
Considere uma loja que vende cadernos por R$ 8,00 cada.
| Quantidade de cadernos | Valor pago |
|---|---|
| 1 | R$ 8,00 |
| 2 | R$ 16,00 |
| 3 | R$ 24,00 |
| 4 | R$ 32,00 |
| 5 | R$ 40,00 |
Se representarmos a quantidade por \(x\) e o valor pago por \(y\), podemos escrever:
Exemplo resolvido 1. Qual será o valor pago por 7 cadernos?
Portanto, o valor pago será R$ 56,00.
2. Variável independente e variável dependente
Na relação \(y=8x\), a variável \(x\) é independente e \(y\) é dependente.
Exemplo resolvido 2. O perímetro \(P\) de um quadrado depende da medida \(l\) de seu lado:
Se \(l=6\) cm:
O perímetro é 24 cm.
3. O que é uma função?
Uma relação entre duas variáveis é uma função quando cada valor da variável independente está associado a um único valor da variável dependente.
Exemplo resolvido 3. Considere \(y=2x+1\). Para \(x=3\):
Existe um único valor de \(y\) correspondente a \(x=3\).
Quando uma relação não é função?
O valor 2 está relacionado a duas saídas diferentes. Logo, essa relação não representa uma função.
4. Representação de uma função por tabela
Considere \(y=2x+3\).
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 4 | 11 |
Exemplo resolvido 4. Para \(y=3x-2\):
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | -2 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 7 |
5. Lei de formação de uma função
A expressão matemática que determina o valor da variável dependente a partir da variável independente é chamada de lei de formação.
Exemplo resolvido 5. Uma corrida de táxi cobra R$ 6,00 mais R$ 4,00 por quilômetro.
Para 5 km:
Valor: R$ 26,00.
Exemplo resolvido 6. Uma empresa cobra R$ 15,00 de taxa de entrega mais R$ 3,00 por quilômetro.
Para 8 km:
Custo: R$ 39,00.
▶ Pratique 1 — Relações, variáveis e lei de formação
1. Na relação \(y=5x\), determine \(y\) quando \(x=7\).
2. Na relação \(y=3x+2\), calcule \(y\) para \(x=4\).
3. Na expressão \(P=4l\), identifique a variável independente e a variável dependente.
4. Escreva uma lei de formação para uma quantidade \(y\) que corresponde ao dobro de \(x\) acrescido de 5.
5. Determine se \(1\rightarrow3,\ 2\rightarrow5,\ 3\rightarrow7\) pode representar uma função.
6. Uma papelaria vende lápis por R$ 3,00 cada. Escreva a lei e determine o preço de 12 lápis.
7. Um estacionamento cobra R$ 8,00 de entrada mais R$ 5,00 por hora. Escreva a lei e determine o custo de 4 horas.
8. Um reservatório contém 100 litros e recebe 20 litros por minuto. Escreva \(V(t)\) e calcule \(V(6)\).
9. Um motorista mantém 60 km/h. Escreva \(d(t)\) e determine a distância em 3 horas.
10. Uma empresa cobra R$ 25,00 mais R$ 12,00 por hora. Determine \(C(h)\) e o custo de 5 horas.
6. Notação de função
É comum representar uma função por \(f(x)\), lido “f de x”.
Exemplo resolvido 7. Se \(f(x)=3x+1\), então:
Exemplo resolvido 8. Se \(f(x)=x^2-4\), então:
\(f(x)\) não significa \(f\) multiplicado por \(x\).
7. Calculando valores de uma função
Exemplo resolvido 9. Considere \(g(x)=x^2+2x\). Calcule \(g(-3)\):
8. Domínio e imagem
Os valores de entrada formam o domínio. Os valores de saída efetivamente obtidos formam a imagem.
9. Pares ordenados
Cada correspondência entre \(x\) e \(y\) pode ser representada por um par ordenado \((x,y)\).
10. Da tabela para o plano cartesiano
| \(x\) | \(f(x)\) | Par ordenado |
|---|---|---|
| -2 | 0 | \((-2,0)\) |
| -1 | 1 | \((-1,1)\) |
| 0 | 2 | \((0,2)\) |
| 1 | 3 | \((1,3)\) |
| 2 | 4 | \((2,4)\) |
▶ Pratique 2 — Notação, valores, domínio e pares ordenados
1. Considere \(f(x)=4x-3\). Calcule \(f(5)\).
2. Dada \(g(x)=x^2+2\), determine \(g(-3)\).
3. Para \(f(x)=3x+4\), determine \(x\) quando \(f(x)=19\).
4. Para \(f(x)=2x-1\) e \(D=\{0,1,2,3,4\}\), determine a imagem.
5. Complete a tabela de \(f(x)=3x-2\) para \(x=-1,0,1,2,3\).
6. Uma empresa cobra R$ 7,00 mais R$ 2,50 por quilômetro. Escreva \(C(x)\) e determine \(C(10)\).
7. \(V(t)=500-20t\). Determine \(V(8)\).
8. Escreva \(P(l)\) para o perímetro de um quadrado e determine o par correspondente a \(l=7\).
9. \(T(t)=80-5t\). Determine \(T(6)\) e interprete.
10. Uma locadora cobra R$ 50,00 mais R$ 15,00 por hora. Determine \(C(h)\) e o custo de 6 horas.
11. Representação gráfica de uma função
Uma função também pode ser representada graficamente a partir dos pares ordenados.
Exemplo resolvido 10. Para \(f(x)=-x+3\):
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 3 | 0 |
À medida que \(x\) aumenta, os valores de \(f(x)\) diminuem.
12. Pontos isolados ou linha contínua?
Nem sempre devemos unir os pontos de um gráfico. Isso depende do contexto.
Quantidade de ingressos é discreta; tempo e distância podem variar continuamente.
13. Como reconhecer uma função em um gráfico?
Para que um gráfico represente uma função de \(x\), cada valor de \(x\) deve estar associado a um único valor de \(y\).
É função.
Não é função.
14. Interpretando um gráfico
Um gráfico pode mostrar aumento, diminuição ou constância de uma grandeza.
Exemplo resolvido 11. Se um gráfico de distância em função do tempo permanece horizontal em determinado intervalo, uma interpretação possível é que a pessoa tenha permanecido parada.
15. Crescimento e decrescimento
Se os valores de \(y\) aumentam quando \(x\) aumenta, temos comportamento crescente. Se diminuem, temos comportamento decrescente.
Exemplo resolvido 12.
Comportamento crescente.
Comportamento decrescente.
16. Diferentes representações de uma mesma função
Considere uma empresa que cobra R$ 10,00 de taxa fixa mais R$ 5,00 por unidade.
| Quantidade | Custo |
|---|---|
| 0 | R$ 10,00 |
| 1 | R$ 15,00 |
| 2 | R$ 20,00 |
| 3 | R$ 25,00 |
| 4 | R$ 30,00 |
17. Obtendo a lei de formação a partir de uma tabela
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 7 |
| 2 | 10 |
| 3 | 13 |
Exemplo resolvido 13. Para a tabela com \(y=5,9,13,17\) quando \(x=0,1,2,3\), temos:
18. Funções em situações do cotidiano
Exemplo resolvido 14 — Plano de telefonia.
Custo: R$ 51,00.
Exemplo resolvido 15 — Reservatório.
Restam 500 litros.
Exemplo resolvido 16 — Área de um quadrado.
▶ Pratique 3 — Representações e interpretação de funções
1. Construa uma tabela com \(x=-2,-1,0,1,2\) para \(f(x)=x+3\).
2. Determine os pares ordenados de \(f(x)=2x-1\) para \(x=0,1,2,3\).
3. \((1,4),(2,6),(3,8),(4,10)\) pode representar uma função? Justifique.
4. \((1,3),(2,5),(2,7),(4,9)\) pode representar uma função? Justifique.
5. Determine uma lei para \(x=0,1,2,3\) e \(y=2,5,8,11\).
6. Uma academia cobra R$ 70,00 mais R$ 15,00 por aula. Determine \(C(x)\) e \(C(6)\).
7. Um tanque contém 600 litros e perde 30 por minuto. Determine \(V(t)\) e \(V(15)\).
8. Uma pessoa está a 200 km do destino e percorre 50 km/h. Determine \(D(t)\) e quando chegará.
9. Uma empresa tem custo fixo de R$ 500,00 e R$ 20,00 por peça. Determine \(C(x)\) e \(C(40)\).
10. Para \(A(l)=l^2\), calcule \(A(2),A(3),A(4),A(5)\) e os pares ordenados.
19. Tecnologia e representação de funções
Planilhas eletrônicas e softwares matemáticos podem auxiliar na construção de tabelas, pares ordenados e gráficos, além de facilitar a comparação entre diferentes representações.
20. Erros frequentes
1. Confundir \(f(x)\) com multiplicação.
2. Trocar a variável dependente pela independente.
3. Achar que toda relação é uma função.
4. Trocar as coordenadas de um ponto.
5. Unir todos os pontos sem considerar o contexto.
6. Ignorar restrições do domínio.
21. Síntese
Uma função relaciona duas variáveis de modo que cada valor da variável independente esteja associado a um único valor da variável dependente.
Uma mesma função pode ser representada por descrição verbal, tabela, lei de formação, pares ordenados e gráfico.
Na próxima postagem, aprofundaremos função afim e função quadrática.
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Calcule \(f(6)\), sabendo que \(f(x)=3x-4\).
2. Calcule \(g(-2)\), sabendo que \(g(x)=x^2+3x\).
3. Determine \(x\) se \(f(x)=17\) e \(f(x)=2x+5\).
4. Para \(f(x)=4x+1\), determine os pares para \(x=0,1,2\).
5. Determine a imagem de \(f(x)=3x\) para \(D=\{0,1,2,3\}\).
6. Explique por que \((1,2),(2,3),(2,5),(4,7)\) não representa uma função.
7. Determine uma lei para \(x=0,1,2,3\) e \(y=6,8,10,12\).
8. Complete a tabela para \(f(x)=5-2x\), usando \(x=-1,0,1,2\).
9. Em \(P(l)=4l\), identifique as variáveis independente e dependente.
10. Explique a diferença entre domínio e imagem.
11. Uma loja cobra R$ 12,00 por camiseta. Determine \(V(x)\) e \(V(9)\).
12. Um estacionamento cobra R$ 10,00 mais R$ 6,00 por hora. Determine a função e o valor de 5 horas.
13. Um reservatório possui 900 litros e perde 40 por minuto. Determine \(V(t)\) e \(V(10)\).
14. Um ciclista percorre 18 km/h. Determine a função e a distância após 2,5 horas.
15. Uma pessoa está a 300 km de uma cidade e se aproxima a 75 km/h. Determine a função e o tempo de chegada.
16. Uma empresa possui custo fixo de R$ 1.000,00 e R$ 30,00 por unidade. Determine a função e o custo de 50 unidades.
17. Para \(x=0,1,2,3\) e \(y=7,11,15,19\), determine a lei de formação.
18. Um gráfico fica horizontal entre 4 e 7 minutos. Interprete se o eixo vertical representa distância.
19. Explique por que pode não fazer sentido unir todos os pontos em um gráfico de quantidade de ingressos e preço.
20. Explique por que tabela, expressão algébrica e gráfico podem representar a mesma relação.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. \(y=35\). 2. \(y=14\). 3. Independente: \(l\); dependente: \(P\). 4. \(y=2x+5\). 5. Sim. 6. \(V(x)=3x\); R$ 36,00. 7. \(C(x)=5x+8\); R$ 28,00. 8. \(V(t)=100+20t\); 220 L. 9. \(d(t)=60t\); 180 km. 10. \(C(h)=25+12h\); R$ 85,00.
▶ Gabarito do Pratique 2
1. 17. 2. 11. 3. 5. 4. \(\{-1,1,3,5,7\}\). 5. \(-5,-2,1,4,7\). 6. \(C(x)=2{,}5x+7\); R$ 32,00. 7. 340 L. 8. \(P(l)=4l\); \((7,28)\). 9. 50 °C. 10. \(C(h)=50+15h\); R$ 140,00.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. \(1,2,3,4,5\). 2. \((0,-1),(1,1),(2,3),(3,5)\). 3. Sim. 4. Não. 5. \(y=3x+2\). 6. \(C(x)=70+15x\); R$ 160,00. 7. \(V(t)=600-30t\); 150 L. 8. \(D(t)=200-50t\); 4 h. 9. \(C(x)=500+20x\); R$ 1.300,00. 10. \((2,4),(3,9),(4,16),(5,25)\).
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 14. 2. -2. 3. 6. 4. \((0,1),(1,5),(2,9)\). 5. \(\{0,3,6,9\}\). 6. \(x=2\) possui duas saídas. 7. \(y=2x+6\). 8. \(7,5,3,1\). 9. Independente: \(l\); dependente: \(P\). 10. Domínio: entradas; imagem: saídas obtidas. 11. \(V(x)=12x\); R$ 108,00. 12. \(C(h)=10+6h\); R$ 40,00. 13. 500 L. 14. 45 km. 15. 4 h. 16. \(C(x)=1000+30x\); R$ 2.500,00. 17. \(y=4x+7\). 18. A pessoa permaneceu parada. 19. A quantidade de ingressos é discreta. 20. São representações diferentes da mesma relação.
Para lembrar: uma função relaciona duas variáveis de modo que cada valor da variável independente esteja associado a um único valor da variável dependente.