Equações e problemas algébricos
Equações são ferramentas importantes para representar situações em que existe um valor desconhecido. Ao transformar uma situação em uma equação, podemos organizar as informações e descobrir esse valor por meio de operações equivalentes.
Nesta postagem, retomaremos equações do primeiro grau com uma incógnita, avançaremos para equações com parênteses e frações e estudaremos também equações do segundo grau do tipo \(ax^2=b\), previstas para o 8º ano.
Habilidades da BNCC
EF08MA09: resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo \(ax^2=b\).
Também retomamos equações do primeiro grau com uma incógnita como conhecimento necessário para a resolução de problemas algébricos e para os conteúdos seguintes.
1. O que é uma equação?
Uma equação é uma sentença matemática que apresenta uma igualdade e contém pelo menos um valor desconhecido, representado por uma letra.
Nessa equação, \(x\) é a incógnita. Resolver a equação significa encontrar o valor de \(x\) que torna a igualdade verdadeira.
Exemplo resolvido 1. Verifique se \(x=5\) é solução de \(3x+5=20\).
Substituindo \(x\) por 5:
Como a igualdade é verdadeira, \(x=5\) é solução da equação.
2. Princípio de equivalência das igualdades
Podemos imaginar uma equação como uma balança em equilíbrio. Para manter a igualdade, qualquer operação realizada em um membro deve ser realizada também no outro.
Princípio aditivo
Podemos adicionar ou subtrair o mesmo número nos dois membros da equação.
Exemplo resolvido 2. Resolva \(x+7=19\).
Subtraímos 7 dos dois membros:
Princípio multiplicativo
Podemos multiplicar ou dividir os dois membros pelo mesmo número diferente de zero.
Exemplo resolvido 3. Resolva \(4x=28\).
Dividimos os dois membros por 4:
Por que um termo parece “mudar de sinal” ao passar para o outro membro?
Na verdade, o termo não atravessa a igualdade por uma regra mágica. Estamos realizando a mesma operação nos dois membros.
Em \(x+7=19\), subtraímos 7 dos dois lados:
Por isso obtemos \(x=12\). A conhecida ideia de “passar o \(+7\) como \(-7\)” é apenas uma forma abreviada de representar o princípio aditivo.
3. Equações com a incógnita nos dois membros
Exemplo resolvido 4. Resolva \(5x+3=2x+18\).
Subtraímos \(2x\) dos dois membros:
Subtraímos 3 dos dois membros:
Dividimos por 3:
4. Equações com parênteses
Quando uma equação contém parênteses precedidos por uma multiplicação, podemos usar a propriedade distributiva.
Exemplo resolvido 5. Resolva \(3(x+4)=24\).
1ª maneira: desfazendo primeiro a multiplicação por 3
2ª maneira: usando a propriedade distributiva
As duas estratégias são equivalentes.
Exemplo resolvido 6. Resolva \(2(x-3)+5=x+9\).
Subtraindo \(x\) dos dois membros:
Somando 1 aos dois membros:
Pratique 1 — Equações do primeiro grau
1. Resolva \(x+9=25\).
2. Resolva \(5x=45\).
3. Resolva \(3x-7=20\).
4. Resolva \(7x+4=3x+28\).
5. Resolva \(4(x+2)=32\).
6. Um número aumentado de 13 resulta em 31. Qual é esse número?
7. O triplo de um número é 54. Determine o número.
8. A soma do dobro de um número com 5 é 29. Qual é o número?
9. Um retângulo tem largura \(x\) e comprimento \(x+6\). Seu perímetro é 44 cm. Determine as dimensões.
10. Carlos tem 8 anos a mais que Ana. Juntos, eles têm 42 anos. Qual é a idade de cada um?
5. Equações com frações
Quando aparecem frações, podemos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Exemplo resolvido 7. Resolva \(\frac{x}{3}+2=6\).
O MMC dos denominadores é 3. Multiplicamos todos os termos por 3:
Exemplo resolvido 8. Resolva \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10\).
O MMC de 2 e 3 é 6:
Cuidado: ao multiplicar uma equação pelo MMC, a multiplicação deve atingir todos os termos dos dois membros. Isso mantém a equivalência da igualdade.
6. Transformando problemas em equações
Em muitos problemas, a parte mais importante não é fazer os cálculos, mas perceber como transformar as informações do enunciado em uma equação. Para isso, precisamos identificar o que queremos descobrir e representar corretamente as relações entre as quantidades.
Uma estratégia útil é seguir estas etapas:
- 1. identificar o que precisamos descobrir;
- 2. escolher uma letra para representar o valor desconhecido;
- 3. traduzir cada informação do enunciado para a linguagem algébrica;
- 4. montar a equação;
- 5. resolver a equação;
- 6. verificar se a resposta faz sentido na situação apresentada.
Exemplo resolvido 9. Em uma excursão, o valor total de 840 reais foi dividido igualmente entre os participantes. Se cada pessoa pagou 35 reais, quantas pessoas participaram?
O que precisamos descobrir?
A quantidade de participantes.
Escolha da incógnita:
Vamos representar por \(x\) a quantidade de participantes.
Traduzindo as informações:
Cada participante pagou 35 reais. Portanto, \(x\) participantes pagaram juntos \(35x\) reais.
Como o valor total foi 840 reais, temos:
Resolvendo a equação:
Verificação:
Resposta: participaram 24 pessoas.
Exemplo resolvido 10. A idade de uma mãe é o triplo da idade de sua filha. Juntas, elas têm 48 anos. Determine as idades.
O que precisamos descobrir?
As idades da filha e da mãe.
Escolha da incógnita:
Vamos representar por \(x\) a idade da filha.
Traduzindo as informações:
Se a filha tem \(x\) anos e a mãe tem o triplo dessa idade, então a mãe tem \(3x\) anos.
Como a soma das duas idades é 48:
Resolvendo a equação:
Logo, a filha tem 12 anos. A idade da mãe é:
Verificação:
Resposta: a filha tem 12 anos e a mãe, 36 anos.
Exemplo resolvido 11. Um serviço de entrega cobra uma taxa fixa de 8 reais mais 5 reais por quilômetro percorrido. Uma entrega custou 43 reais. Quantos quilômetros foram percorridos?
O que precisamos descobrir?
A quantidade de quilômetros percorridos.
Escolha da incógnita:
Vamos representar por \(x\) a quantidade de quilômetros.
Traduzindo as informações:
A taxa fixa corresponde a 8 reais.
O valor correspondente à distância é \(5x\), pois são cobrados 5 reais por quilômetro.
Somando a taxa fixa ao valor correspondente à distância, obtemos o preço total:
Resolvendo a equação:
Verificação:
Resposta: foram percorridos 7 km.
Exemplo resolvido 12. Um retângulo tem comprimento 5 cm maior que sua largura. O perímetro é 50 cm. Determine as dimensões do retângulo.
O que precisamos descobrir?
A largura e o comprimento do retângulo.
Escolha da incógnita:
Vamos representar por \(x\) a largura.
Traduzindo as informações:
Se o comprimento é 5 cm maior que a largura, então:
O perímetro de um retângulo é a soma das medidas dos quatro lados:
Reduzindo os termos semelhantes:
Resolvendo a equação:
Assim, a largura mede 10 cm e o comprimento:
Verificação:
Resposta: largura de 10 cm e comprimento de 15 cm.
Exemplo resolvido 13. A metade de um número somada à terça parte desse mesmo número é igual a 25. Qual é esse número?
O que precisamos descobrir?
O número desconhecido.
Escolha da incógnita:
Vamos representar o número por \(x\).
Traduzindo as informações:
A metade do número é:
A terça parte do mesmo número é:
Como a soma dessas duas partes é 25:
Resolvendo a equação:
O MMC de 2 e 3 é 6. Multiplicamos todos os termos por 6:
Verificação:
Resposta: o número é 30.
Observe: montar uma equação exige interpretar as relações apresentadas no problema. Expressões como dobro, triplo, metade, terça parte, a mais e a menos ajudam a traduzir o enunciado para a linguagem algébrica.
Pratique 2 — Equações com frações e situações-problema
1. Resolva \(\frac{x}{4}=7\).
2. Resolva \(\frac{x}{3}+5=11\).
3. Resolva \(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=18\).
4. Crie uma situação-problema que possa ser representada pela equação \(3x+8=44\). Depois, resolva a equação e indique o significado de \(x\) na situação que você criou.
5. Resolva \(\frac{x}{2}-\frac{x}{5}=9\).
6. A metade de um número, somada a 8, é igual a 23. Determine o número.
7. Um livro e três cadernos iguais custam juntos 86 reais. O livro custa 35 reais. Quanto custa cada caderno?
8. Um número somado à sua metade resulta em 45. Qual é esse número?
9. Um estacionamento cobra 12 reais de taxa fixa mais 6 reais por hora. Uma pessoa pagou 42 reais. Por quantas horas permaneceu no estacionamento?
10. O perímetro de um triângulo é 50 cm. Dois lados medem \(x\) cm cada e o terceiro mede 14 cm. Determine \(x\).
7. Equações literais do primeiro grau
Até agora, resolvemos equações em que os números eram conhecidos e apenas a incógnita precisava ser determinada. Em uma equação literal, além da incógnita aparecem outras letras que representam valores conhecidos ou parâmetros.
O procedimento continua sendo o mesmo: usamos os princípios de equivalência para isolar a incógnita indicada.
Exemplo resolvido 14. Resolva \(ax+b=c\) em relação a \(x\), considerando \(a\neq0\).
Queremos deixar \(x\) sozinho. Primeiro, subtraímos \(b\) dos dois membros:
Agora dividimos os dois membros por \(a\):
Resposta:
A condição \(a\neq0\) é necessária porque não podemos dividir por zero.
Exemplo resolvido 15. A fórmula \(P=2x+2y\) representa o perímetro de um retângulo. Isole \(x\).
Subtraímos \(2y\) dos dois membros:
Dividimos os dois membros por 2:
Também podemos escrever:
Importante: em uma equação literal, precisamos observar qual letra deve ser isolada. As demais letras são tratadas como valores conhecidos durante o processo.
8. Elaborando um problema a partir de uma equação
A linguagem algébrica também pode ser trabalhada no sentido inverso. Em vez de receber um problema e montar uma equação, podemos partir de uma equação e criar uma situação que seja representada por ela.
Exemplo resolvido 16. Crie uma situação-problema que possa ser representada pela equação \(4x+10=58\).
Uma possibilidade é interpretar \(4x\) como o preço de quatro objetos iguais e 10 como uma taxa fixa.
Situação possível: quatro ingressos de mesmo preço, juntamente com uma taxa de serviço de 10 reais, custaram 58 reais. Qual é o preço de cada ingresso?
A equação correspondente é:
Resolvendo:
Resposta: cada ingresso custa 12 reais.
Uma mesma equação pode representar diferentes situações. O importante é que as relações entre as quantidades do problema correspondam corretamente aos termos e às operações da equação.
9. O que significa o grau de uma equação?
Antes de estudarmos as equações do segundo grau, precisamos compreender por que algumas equações são chamadas de equações do primeiro grau e outras de equações do segundo grau.
Depois que a equação está escrita de forma simplificada, seu grau é determinado pelo maior expoente da incógnita.
Equação do primeiro grau
A incógnita é \(x\). Como \(x=x^1\), o maior expoente da incógnita é 1. Por isso, essa é uma equação do primeiro grau.
Equação do segundo grau
O maior expoente da incógnita é 2. Por isso, essa é uma equação do segundo grau.
| Equação | Maior expoente da incógnita | Grau |
|---|---|---|
| \(5x-7=18\) | 1 | 1º grau |
| \(4x+9=2x-3\) | 1 | 1º grau |
| \(3x^2=27\) | 2 | 2º grau |
| \(5x^2-20=0\) | 2 | 2º grau |
Importante: o grau de uma equação não é determinado pelo maior número que aparece nela. O que devemos observar é o maior expoente da incógnita.
10. Equações do segundo grau do tipo \(ax^2=b\)
No 8º ano, estudamos também situações que podem ser representadas por equações do segundo grau do tipo:
Nessas equações, a incógnita aparece elevada ao quadrado e não há termo de primeiro grau.
Exemplo resolvido 17. Resolva \(2x^2=50\).
Dividimos os dois membros por 2:
Procuramos os números cujo quadrado é 25:
Portanto:
Por que aparecem duas soluções?
Um número positivo e seu oposto possuem o mesmo quadrado. Por exemplo:
Por isso, em uma equação como \(x^2=16\), as soluções são \(x=4\) e \(x=-4\).
Quando o contexto restringe a resposta
Exemplo resolvido 18. A área de um terreno quadrado é 144 m². Qual é a medida de seu lado?
Se \(x\) é a medida do lado:
Algebricamente, \(x=12\) ou \(x=-12\). Entretanto, uma medida de comprimento não pode ser negativa.
Resposta: o lado mede 12 m.
11. Equações do tipo \(ax^2=b\) com números que não são quadrados perfeitos
Exemplo resolvido 19. Resolva \(3x^2=60\).
Como \(\sqrt{20}\) não é uma raiz quadrada exata, podemos usar uma aproximação decimal:
12. Problemas com equações do tipo \(ax^2=b\)
Exemplo resolvido 20. Um retângulo possui comprimento igual ao dobro da largura e área de 98 cm². Determine suas dimensões.
Chamando a largura de \(x\), o comprimento é \(2x\).
Algebricamente, \(x=7\) ou \(x=-7\). Como \(x\) representa uma medida:
Logo, o comprimento é:
Resposta: largura 7 cm e comprimento 14 cm.
Pratique 3 — Equações do tipo \(ax^2=b\)
1. Resolva \(x^2=36\).
2. Resolva \(2x^2=32\).
3. Resolva \(5x^2=125\).
4. Resolva \(3x^2=27\).
5. Resolva \(2x^2=20\) e escreva as soluções na forma de radical.
6. Um quadrado possui área de 225 cm². Determine a medida de seu lado.
7. A área de um terreno quadrado é 400 m². Qual é a medida de seu lado?
8. Um retângulo tem comprimento igual ao triplo da largura e área de 147 cm². Determine suas dimensões.
9. A área de um quadrado é 72 cm². Escreva a medida exata do lado usando uma raiz quadrada e, depois, dê uma aproximação decimal.
10. Um retângulo tem largura \(x\) e comprimento \(2x\). Se sua área é 200 m², determine as dimensões.
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Resolva \(4x+7=31\).
2. Resolva \(6x-5=2x+19\).
3. Resolva \(3(x-2)=21\).
4. Resolva \(2(x+5)-3=x+12\).
5. Resolva \(\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=15\).
6. Resolva \(\frac{x-4}{3}=8\).
7. Resolva \(x^2=81\).
8. Resolva \(4x^2=100\).
9. Resolva \(2x^2=18\).
10. Explique por que \(x^2=49\) possui duas soluções reais.
11. O dobro de um número somado a 9 é 41. Determine o número.
12. A soma de um número com seu triplo é 68. Qual é esse número?
13. Uma corrida por aplicativo cobra 7 reais de taxa inicial mais 3 reais por quilômetro. Uma viagem custou 40 reais. Quantos quilômetros foram percorridos?
14. Um pai tem 24 anos a mais que o filho. A soma das idades é 54 anos. Determine as idades.
15. O perímetro de um retângulo é 54 cm. Seu comprimento mede 5 cm a mais que a largura. Determine as dimensões.
16. Um quadrado tem área de 324 cm². Determine a medida do lado.
17. Um retângulo tem comprimento igual ao dobro da largura e área de 128 cm². Determine suas dimensões.
18. Um terreno quadrado possui área de 50 m². Escreva a medida exata do lado usando uma raiz quadrada e, depois, dê uma aproximação decimal.
19. O produto de um número positivo por ele mesmo é 196. Qual é esse número? Explique por que, no contexto, consideramos apenas uma das soluções da equação.
20. Um retângulo tem largura \(x\) e comprimento \(4x\). Sua área é 256 cm². Determine suas dimensões.
Gabarito do Pratique 1
1. \(x=16\).
2. \(x=9\).
3. \(x=9\).
4. \(x=6\).
5. \(x=6\).
6. 18.
7. 18.
8. 12.
9. Largura 8 cm e comprimento 14 cm.
10. Ana tem 17 anos e Carlos, 25 anos.
Gabarito do Pratique 2
1. \(x=28\).
2. \(x=18\).
3. \(x=24\).
4. Resposta pessoal. A situação deve corresponder a \(3x+8=44\). A solução da equação é \(x=12\), e o significado de \(x\) depende da situação elaborada.
5. \(x=30\).
6. 30.
7. 17 reais.
8. 30.
9. 5 horas.
10. \(x=18\) cm.
Gabarito do Pratique 3
1. \(x=6\) ou \(x=-6\).
2. \(x=4\) ou \(x=-4\).
3. \(x=5\) ou \(x=-5\).
4. \(x=3\) ou \(x=-3\).
5. \(x=\sqrt{10}\) ou \(x=-\sqrt{10}\).
6. 15 cm.
7. 20 m.
8. Largura 7 cm e comprimento 21 cm.
9. \(\sqrt{72}\) cm, aproximadamente 8,49 cm.
10. Largura 10 m e comprimento 20 m.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(x=6\).
2. \(x=6\).
3. \(x=9\).
4. \(x=5\).
5. \(x=30\).
6. \(x=28\).
7. \(x=9\) ou \(x=-9\).
8. \(x=5\) ou \(x=-5\).
9. \(x=3\) ou \(x=-3\).
10. Porque \(7^2=49\) e \((-7)^2=49\).
11. 16.
12. 17.
13. 11 km.
14. Filho 15 anos e pai 39 anos.
15. Largura 11 cm e comprimento 16 cm.
16. 18 cm.
17. Largura 8 cm e comprimento 16 cm.
18. \(\sqrt{50}\) m, aproximadamente 7,07 m.
19. 14; a equação também tem solução \(-14\), mas o enunciado pede um número positivo.
20. Largura 8 cm e comprimento 32 cm.
Para lembrar
Resolver uma equação significa encontrar o valor que torna a igualdade verdadeira.
As transformações realizadas em uma equação devem preservar a igualdade; por isso, usamos os princípios de equivalência.
Nos problemas, a incógnita deve representar claramente a quantidade desconhecida antes da montagem da equação.
Em \(ax^2=b\), uma mesma igualdade pode produzir duas soluções algébricas, mas o contexto do problema pode restringir a resposta.