Sistemas de equações do primeiro grau e plano cartesiano
Na postagem anterior, resolvemos equações com uma incógnita. Agora estudaremos situações em que existem duas quantidades desconhecidas relacionadas entre si.
Começaremos pelas equações do primeiro grau com duas incógnitas e seus pares ordenados. Depois, veremos que suas soluções podem ser representadas por pontos de uma reta no plano cartesiano. Por fim, estudaremos sistemas de duas equações e aprenderemos a resolvê-los algebricamente e graficamente.
Habilidades da BNCC
EF08MA07: associar uma equação linear de primeiro grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
EF08MA08: resolver e elaborar problemas relacionados ao contexto próximo que possam ser representados por sistemas de equações de primeiro grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
1. Equação do primeiro grau com duas incógnitas
Observe a equação:
Nela aparecem duas incógnitas: \(x\) e \(y\). Uma equação do primeiro grau com duas incógnitas pode ser escrita, de modo geral, na forma:
em que \(a\), \(b\) e \(c\) são números e \(a\) e \(b\) não são simultaneamente iguais a zero.
Diferentemente de uma equação do primeiro grau com apenas uma incógnita, uma equação com duas incógnitas pode possuir muitos pares de valores que tornam a igualdade verdadeira.
Exemplo resolvido 1. Encontre algumas soluções de \(x+y=10\).
Podemos escolher um valor para \(x\) e calcular o valor correspondente de \(y\).
| \(x\) | Equação | \(y\) | Par ordenado |
|---|---|---|---|
| 0 | \(0+y=10\) | 10 | \((0,10)\) |
| 2 | \(2+y=10\) | 8 | \((2,8)\) |
| 6 | \(6+y=10\) | 4 | \((6,4)\) |
| 10 | \(10+y=10\) | 0 | \((10,0)\) |
Todos esses pares são soluções da equação.
2. Par ordenado
Uma solução de uma equação com duas incógnitas é indicada por um par ordenado:
A ordem é importante: o primeiro número corresponde ao valor de \(x\) e o segundo ao valor de \(y\).
Exemplo resolvido 2. Verifique se \((3,4)\) é solução de \(2x+y=10\).
Substituímos \(x=3\) e \(y=4\):
Portanto, \((3,4)\) é solução.
Agora observe o par \((4,3)\):
Como \(11\neq10\), \((4,3)\) não é solução. Isso mostra por que a ordem dos números no par deve ser respeitada.
Importante: quando \(x\) e \(y\) podem assumir números reais, uma equação do primeiro grau com duas incógnitas possui infinitas soluções. Cada solução é um par ordenado.
3. Retomando o plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por dois eixos numéricos perpendiculares:
- o eixo horizontal é o eixo \(x\), também chamado eixo das abscissas;
- o eixo vertical é o eixo \(y\), também chamado eixo das ordenadas;
- o ponto de encontro dos eixos é a origem, representada por \((0,0)\).
Para localizar um ponto \((x,y)\), primeiro observamos a posição indicada por \(x\) no eixo horizontal e depois a posição indicada por \(y\) no eixo vertical.
Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. Observe como os sinais das coordenadas mudam de acordo com a posição do ponto.
Exemplo resolvido 3. Considere os pontos \(A(2,3)\), \(B(-2,3)\), \(C(-2,-3)\) e \(D(2,-3)\).
Em cada par, o primeiro número indica o deslocamento horizontal e o segundo, o deslocamento vertical. Os sinais indicam em qual direção devemos nos deslocar a partir da origem.
4. Da equação à reta
Vamos voltar à equação:
Algumas de suas soluções são:
| \(x\) | \(y\) | Par ordenado |
|---|---|---|
| 0 | 4 | \((0,4)\) |
| 1 | 3 | \((1,3)\) |
| 2 | 2 | \((2,2)\) |
| 4 | 0 | \((4,0)\) |
Quando representamos esses pares no plano cartesiano, os pontos ficam alinhados. Considerando todas as soluções reais, obtemos uma reta.
Essa é a ideia central: cada ponto da reta representa um par ordenado que é solução da equação. Da mesma forma, cada solução da equação corresponde a um ponto dessa reta.
Dois pontos são suficientes para traçar a reta
Como dois pontos distintos determinam uma única reta, podemos escolher dois valores convenientes para uma das incógnitas, calcular a outra e localizar os dois pares ordenados.
Exemplo resolvido 4. Represente a equação \(2x+y=6\) por uma reta.
Escolhendo \(x=0\):
Temos o ponto \((0,6)\).
Escolhendo \(y=0\):
Temos o ponto \((3,0)\).
Localizando \((0,6)\) e \((3,0)\) no plano e traçando a reta que passa pelos dois pontos, obtemos a representação gráfica da equação \(2x+y=6\).
Pratique 1 — Equações com duas incógnitas, pares ordenados e reta
1. Verifique se \((2,5)\) é solução de \(3x+y=11\).
2. Verifique se \((-1,4)\) é solução de \(2x+3y=10\).
3. Encontre três pares ordenados que sejam soluções de \(x+y=6\).
4. Na equação \(2x+y=8\), determine \(y\) quando \(x=1\).
5. Determine dois pontos que permitam traçar a reta correspondente a \(x+2y=6\).
6. Em uma caixa há \(x\) bolas azuis e \(y\) bolas verdes, totalizando 18 bolas. Escreva uma equação que represente a situação e apresente dois pares ordenados possíveis.
7. Uma compra contém \(x\) produtos de 4 reais e \(y\) produtos de 6 reais, totalizando 36 reais. Escreva a equação que representa o valor total.
8. Um estacionamento possui \(x\) carros e \(y\) motos. Juntos, eles possuem 40 rodas. Escreva uma equação que represente essa informação.
9. Explique por que \((1,5)\) e \((5,1)\) não representam necessariamente a mesma solução de uma equação com incógnitas \(x\) e \(y\).
10. Explique por que a representação de todas as soluções reais de uma equação linear com duas incógnitas forma uma reta e não apenas os dois pontos usados para desenhá-la.
5. O que é um sistema de equações?
Às vezes, uma situação fornece duas informações diferentes sobre as mesmas duas quantidades desconhecidas. Cada informação pode originar uma equação. As duas equações, consideradas simultaneamente, formam um sistema de equações.
Exemplo resolvido 5. Em uma papelaria foram vendidos 20 itens entre cadernos e agendas. Cada caderno custa 12 reais e cada agenda custa 18 reais. A venda totalizou 276 reais. Quantos itens de cada tipo foram vendidos?
Escolha das incógnitas:
\(x\): quantidade de cadernos.
\(y\): quantidade de agendas.
Primeira informação: foram vendidos 20 itens.
Segunda informação: os cadernos custam 12 reais e as agendas, 18 reais, totalizando 276 reais.
Assim, o problema é representado pelo sistema:
Resolver o problema significa encontrar um par \((x,y)\) que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo.
6. Solução de um sistema
Considere:
O par \((4,3)\) é solução porque verifica simultaneamente as duas equações:
Já o par \((5,2)\) verifica a primeira equação, pois \(5+2=7\), mas não verifica a segunda, pois \(5-2=3\). Portanto, não é solução do sistema.
Para ser solução de um sistema, o par ordenado deve tornar verdadeiras todas as equações do sistema.
7. Método da substituição
No método da substituição, isolamos uma das incógnitas em uma das equações e substituímos a expressão obtida na outra equação.
Exemplo resolvido 6. Resolva:
1º passo: isolamos \(y\) na primeira equação:
2º passo: substituímos \(y\) por \(11-x\) na segunda equação:
3º passo: substituímos \(x=6\) em \(y=11-x\):
Verificação:
Solução: \((6,5)\).
8. Método da adição
No método da adição, somamos as equações membro a membro procurando eliminar uma das incógnitas.
Exemplo resolvido 7. Resolva:
Os termos \(+y\) e \(-y\) são opostos. Somando membro a membro:
Substituindo \(x=6\) na primeira equação:
Solução: \((6,3)\).
Quando os coeficientes ainda não são opostos
Exemplo resolvido 8. Resolva:
Para eliminar \(y\), multiplicamos a primeira equação por \(-2\):
Agora somamos com a segunda equação:
Substituindo em \(2x+y=11\):
Solução: \((4,3)\).
Qual método escolher? Não existe um único método obrigatório. Se uma incógnita já estiver isolada ou for fácil isolá-la, a substituição pode ser conveniente. Se houver coeficientes opostos, ou se for simples obtê-los, o método da adição costuma ser mais rápido.
Pratique 2 — Resolução algébrica de sistemas
1. Resolva pelo método da substituição: \(\begin{cases}x+y=8\\2x+y=13\end{cases}\).
2. Resolva pelo método da substituição: \(\begin{cases}x=2y+1\\x+y=10\end{cases}\).
3. Resolva pelo método da adição: \(\begin{cases}x+y=12\\x-y=4\end{cases}\).
4. Resolva pelo método da adição: \(\begin{cases}2x+3y=13\\2x-3y=7\end{cases}\).
5. Resolva: \(\begin{cases}2x+y=9\\3x+2y=16\end{cases}\).
6. A soma de dois números é 26 e a diferença entre eles é 8. Determine os números.
7. Em uma turma há 32 estudantes entre meninas e meninos. Há 4 meninas a mais que meninos. Quantos estudantes há de cada grupo?
8. Uma lanchonete vende sucos por 6 reais e sanduíches por 10 reais. Em um pedido foram comprados 9 itens e pagos 70 reais. Quantos itens de cada tipo foram comprados?
9. Um estacionamento possui 18 veículos entre carros e motos, totalizando 58 rodas. Quantos carros e quantas motos há?
10. Crie uma situação-problema que possa ser representada pelo sistema \(\begin{cases}x+y=15\\2x+5y=48\end{cases}\) e interprete o significado de \(x\) e \(y\).
9. Resolução gráfica de um sistema
Cada equação do primeiro grau com duas incógnitas corresponde a uma reta. Portanto, para resolver graficamente um sistema, representamos as duas retas no mesmo plano cartesiano.
Quando as retas se cruzam, as coordenadas do ponto de interseção formam o par ordenado que satisfaz as duas equações simultaneamente.
Exemplo resolvido 9. Resolva graficamente:
Primeira reta: \(x+y=5\).
| \(x\) | \(y\) | Ponto |
|---|---|---|
| 0 | 5 | \((0,5)\) |
| 5 | 0 | \((5,0)\) |
Segunda reta: \(x-y=1\).
| \(x\) | \(y\) | Ponto |
|---|---|---|
| 1 | 0 | \((1,0)\) |
| 3 | 2 | \((3,2)\) |
Ao traçar as duas retas, elas se encontram em \((3,2)\).
Podemos conferir:
Solução: \((3,2)\).
10. O que a posição das retas nos mostra?
A representação gráfica ajuda a compreender quantas soluções um sistema possui.
| Posição das retas | Interseções | Soluções do sistema |
|---|---|---|
| Retas concorrentes | Um ponto | Uma única solução |
| Retas paralelas distintas | Nenhuma | Nenhuma solução |
| Retas coincidentes | Infinitos pontos | Infinitas soluções |
Visualizando as três possibilidades
Concorrentes: um ponto comum. Paralelas distintas: nenhum ponto comum. Coincidentes: todos os pontos são comuns às duas equações.
Exemplo resolvido 10. Compare os sistemas.
Sistema A
As retas se cruzam em um único ponto. O sistema possui uma única solução.
Sistema B
A primeira equação equivale a \(2x+2y=8\), enquanto a segunda é \(2x+2y=10\). As retas são paralelas e distintas. Não existe par que satisfaça as duas equações.
Sistema C
A segunda equação é equivalente à primeira. As duas representam a mesma reta, portanto existem infinitas soluções.
11. Transformando problemas em sistemas
Como fizemos com as equações de uma incógnita, também precisamos aprender a traduzir as informações de um problema para montar um sistema.
Exemplo resolvido 11. Em um evento foram vendidos 80 ingressos, alguns inteiros e outros com desconto. O ingresso inteiro custava 30 reais e o ingresso com desconto, 20 reais. A arrecadação foi de 2.100 reais. Quantos ingressos de cada tipo foram vendidos?
O que precisamos descobrir?
A quantidade de ingressos de cada tipo.
Escolha das incógnitas:
\(x\): quantidade de ingressos inteiros.
\(y\): quantidade de ingressos com desconto.
Primeira informação: foram vendidos 80 ingressos.
Segunda informação: a arrecadação total foi 2.100 reais.
Temos:
Multiplicando a primeira equação por \(-20\):
Substituindo em \(x+y=80\):
Verificação:
Resposta: foram vendidos 50 ingressos inteiros e 30 ingressos com desconto.
Exemplo resolvido 12. Em um sítio há galinhas e coelhos. Ao todo são 25 animais e 68 pernas. Quantos animais de cada tipo há?
\(x\): número de galinhas.
\(y\): número de coelhos.
Total de animais:
Como cada galinha possui 2 pernas e cada coelho possui 4:
O sistema é:
Multiplicando a primeira equação por \(-2\) e somando:
Resposta: há 16 galinhas e 9 coelhos.
Antes de resolver um sistema, pergunte: o que cada incógnita representa? Qual informação produz a primeira equação? Qual informação produz a segunda? A resposta encontrada é possível no contexto do problema?
Pratique 3 — Plano cartesiano, sistemas e situações-problema
1. Para \(x+y=6\), encontre dois pontos da reta. Para \(x-y=2\), encontre outros dois pontos. Depois, determine algebricamente o ponto de interseção das duas retas.
2. Determine se o sistema \(\begin{cases}x+y=5\\2x+2y=10\end{cases}\) possui uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Justifique.
3. Determine se o sistema \(\begin{cases}x+y=4\\x+y=7\end{cases}\) possui uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Relacione sua resposta à posição das retas.
4. Resolva graficamente, construindo as duas retas em papel quadriculado: \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
5. Explique por que o ponto de interseção de duas retas que representam um sistema é solução das duas equações.
6. Em uma feira foram vendidos 40 produtos entre dois tipos. O produto A custa 5 reais e o produto B custa 8 reais. A arrecadação foi 260 reais. Monte e resolva o sistema.
7. Em uma garagem há carros e motos, totalizando 22 veículos e 70 rodas. Quantos veículos de cada tipo há?
8. A soma das idades de duas pessoas é 46 anos e a diferença é 12 anos. Determine as idades.
9. Uma papelaria vendeu 30 canetas de dois modelos. Um modelo custa 4 reais e o outro, 7 reais. A venda totalizou 156 reais. Quantas canetas de cada modelo foram vendidas?
10. Crie um problema que possa ser representado por um sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas. Defina \(x\) e \(y\), escreva o sistema e resolva-o.
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Verifique se \((2,3)\) é solução de \(4x+y=11\).
2. Determine três soluções de \(x+y=8\).
3. Determine dois pontos da reta \(2x+y=10\).
4. Explique a diferença entre uma solução de uma equação com duas incógnitas e a solução de um sistema de duas equações.
5. Resolva \(\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}\).
6. Resolva por substituição: \(\begin{cases}y=x+1\\2x+y=10\end{cases}\).
7. Resolva por adição: \(\begin{cases}2x+y=12\\2x-y=4\end{cases}\).
8. Resolva \(\begin{cases}2x+y=7\\3x+2y=12\end{cases}\).
9. Classifique, pelo número de soluções, o sistema \(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=6\end{cases}\).
10. Classifique, pelo número de soluções, o sistema \(\begin{cases}x+y=3\\x+y=5\end{cases}\).
11. A soma de dois números é 38 e a diferença entre eles é 10. Determine os números.
12. Em uma turma há 36 estudantes. O número de meninas é 6 maior que o de meninos. Quantos há de cada grupo?
13. Uma loja vendeu 25 camisetas de dois modelos. Um custa 20 reais e o outro, 30 reais. A arrecadação foi 620 reais. Quantas camisetas de cada modelo foram vendidas?
14. Em um estacionamento há 30 veículos entre carros e motos, totalizando 94 rodas. Quantos carros e quantas motos há?
15. Em uma caixa há moedas de 1 real e de 2 reais. São 35 moedas, totalizando 52 reais. Quantas moedas de cada tipo há?
16. Duas retas se cruzam no ponto \((4,2)\). O que esse ponto representa se as retas correspondem às equações de um sistema?
17. Explique geometricamente por que um sistema formado por duas retas paralelas distintas não possui solução.
18. Explique geometricamente por que duas equações equivalentes formam um sistema com infinitas soluções.
19. Elabore um problema que possa ser representado por \(\begin{cases}x+y=20\\3x+5y=76\end{cases}\), resolva-o e interprete a resposta.
20. Um estudante encontrou \((5,4)\) ao resolver um sistema. Descreva como ele pode verificar se o resultado está correto sem refazer todo o procedimento.
Gabarito do Pratique 1
1. Sim, pois \(3\cdot2+5=11\).
2. Sim, pois \(2(-1)+3\cdot4=10\).
3. Respostas possíveis: \((0,6)\), \((2,4)\) e \((6,0)\).
4. \(y=6\).
5. Resposta possível: \((0,3)\) e \((6,0)\).
6. \(x+y=18\). Respostas possíveis: \((8,10)\) e \((12,6)\).
7. \(4x+6y=36\).
8. \(4x+2y=40\).
9. Porque a primeira coordenada corresponde a \(x\) e a segunda a \(y\); trocar a ordem troca os valores atribuídos às incógnitas.
10. Os dois pontos são apenas usados para determinar a reta; todos os pontos dessa reta correspondem a pares que satisfazem a equação.
Gabarito do Pratique 2
1. \((5,3)\).
2. \((7,3)\).
3. \((8,4)\).
4. \((5,1)\).
5. \((2,5)\).
6. 17 e 9.
7. 18 meninas e 14 meninos.
8. 5 sucos e 4 sanduíches.
9. 11 carros e 7 motos.
10. Resposta pessoal. A situação deve ser coerente com as duas equações e com os significados atribuídos a \(x\) e \(y\). O sistema tem solução \((9,6)\).
Gabarito do Pratique 3
1. Para \(x+y=6\), por exemplo, \((0,6)\) e \((6,0)\). Para \(x-y=2\), por exemplo, \((2,0)\) e \((4,2)\). Interseção: \((4,2)\).
2. Infinitas soluções, pois a segunda equação é equivalente à primeira; representam a mesma reta.
3. Nenhuma solução; as retas são paralelas distintas.
4. Interseção em \((4,3)\).
5. Porque o ponto pertence às duas retas e, portanto, suas coordenadas satisfazem as duas equações simultaneamente.
6. \(\begin{cases}x+y=40\\5x+8y=260\end{cases}\). \(x=20\) e \(y=20\).
7. 13 carros e 9 motos.
8. 29 anos e 17 anos.
9. 18 canetas de 4 reais e 12 canetas de 7 reais.
10. Resposta pessoal. O sistema e a solução devem ser compatíveis com a situação criada.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. Sim, pois \(4\cdot2+3=11\).
2. Respostas possíveis: \((0,8)\), \((3,5)\) e \((8,0)\).
3. Resposta possível: \((0,10)\) e \((5,0)\).
4. Uma equação com duas incógnitas pode ter infinitos pares solução; em um sistema, procuramos o par que satisfaz simultaneamente as duas equações.
5. \((6,4)\).
6. \((3,4)\).
7. \((4,4)\).
8. \((2,3)\).
9. Infinitas soluções; as equações representam a mesma reta.
10. Nenhuma solução; as retas são paralelas distintas.
11. 24 e 14.
12. 21 meninas e 15 meninos.
13. 13 camisetas de 20 reais e 12 camisetas de 30 reais.
14. 17 carros e 13 motos.
15. 18 moedas de 1 real e 17 moedas de 2 reais.
16. É a solução do sistema: \(x=4\) e \(y=2\).
17. Retas paralelas distintas não possuem ponto em comum; portanto, não existe par ordenado que satisfaça as duas equações.
18. Equações equivalentes representam a mesma reta. Assim, todos os pontos da reta satisfazem as duas equações.
19. Resposta pessoal para o contexto. A solução do sistema é \((12,8)\).
20. Substituir \(x=5\) e \(y=4\) nas duas equações originais. O par está correto somente se tornar verdadeiras as duas igualdades.
Para lembrar
Uma solução de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas é um par ordenado \((x,y)\).
Considerando números reais, todas as soluções de uma equação linear com duas incógnitas formam uma reta no plano cartesiano.
A solução de um sistema deve satisfazer as duas equações simultaneamente.
Um sistema pode ser resolvido por métodos algébricos, como substituição e adição, e também por representação gráfica.
No plano cartesiano, quando existe uma única solução, ela corresponde ao ponto de interseção das duas retas.