Monômios, polinômios e cálculo algébrico
Na postagem anterior, estudamos expressões algébricas e valor numérico. Agora vamos avançar no cálculo algébrico, identificando monômios e polinômios e realizando operações com essas expressões.
O objetivo não é apenas aprender regras de cálculo, mas compreender o que acontece com os coeficientes, as partes literais e os expoentes em cada operação.
Habilidade da BNCC
EF08MA06: resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.
1. Monômio ou termo algébrico
Um monômio é uma expressão algébrica formada por um único termo, constituído pelo produto de um número por uma ou mais variáveis com expoentes inteiros não negativos.
Observe:
| Monômio | Coeficiente | Parte literal |
|---|---|---|
| \(5x\) | \(5\) | \(x\) |
| \(-3a^2\) | \(-3\) | \(a^2\) |
| \(\frac{2}{5}xy^3\) | \(\frac{2}{5}\) | \(xy^3\) |
| \(-7m^2n\) | \(-7\) | \(m^2n\) |
O número que multiplica a parte literal é chamado de coeficiente. As letras e seus expoentes formam a parte literal.
Exemplo resolvido 1. Identifique o coeficiente e a parte literal de \(-8x^2y^3\).
O número que multiplica as letras é \(-8\), portanto esse é o coeficiente.
A parte formada pelas letras é \(x^2y^3\).
Resposta: coeficiente \(-8\) e parte literal \(x^2y^3\).
Quando o coeficiente não aparece
Em \(x^2y\), o coeficiente é \(1\), pois:
Em \(-ab\), o coeficiente é \(-1\):
2. Grau de um monômio
O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis de sua parte literal.
Exemplo resolvido 2. Determine o grau de \(6x^3y^2\).
Os expoentes são 3 e 2:
Resposta: o monômio é de grau 5.
| Monômio | Cálculo do grau | Grau |
|---|---|---|
| \(4x^2\) | \(2\) | 2 |
| \(-5ab^3\) | \(1+3\) | 4 |
| \(7x^2y^4z\) | \(2+4+1\) | 7 |
| \(9m\) | \(1\) | 1 |
Atenção: quando uma letra aparece sem expoente escrito, seu expoente é 1. Por exemplo, em \(3x^2y\), temos \(y=y^1\), então o grau é \(2+1=3\).
3. Monômios semelhantes
Dois ou mais monômios são semelhantes quando possuem exatamente a mesma parte literal, com as mesmas letras elevadas aos mesmos expoentes.
| Monômios | São semelhantes? | Por quê? |
|---|---|---|
| \(3x^2\) e \(-7x^2\) | Sim | A parte literal é \(x^2\) |
| \(5ab\) e \(2ab\) | Sim | A parte literal é \(ab\) |
| \(4x^2y\) e \(9xy^2\) | Não | Os expoentes são diferentes |
| \(6a\) e \(6b\) | Não | As letras são diferentes |
Exemplo resolvido 3. Entre \(5x^2y\), \(-3xy^2\), \(8x^2y\) e \(2x^2\), quais são semelhantes?
\(5x^2y\) e \(8x^2y\) possuem a mesma parte literal \(x^2y\).
Resposta: \(5x^2y\) e \(8x^2y\).
Pratique 1 — Monômios, coeficientes, grau e semelhança
1. Identifique o coeficiente e a parte literal de: a) \(7x^3\); b) \(-4a^2b\); c) \(\frac{3}{5}mn^2\).
2. Determine o grau de: a) \(5x^4\); b) \(3a^2b^3\); c) \(-2xyz^2\).
3. Indique quais são semelhantes: \(4x^2y\), \(-7xy^2\), \(9x^2y\), \(3x^2\).
4. Qual é o coeficiente de \(-x^3y\)? E qual é o seu grau?
5. Escreva um monômio de grau 5 cuja parte literal contenha \(x\) e \(y\).
6. A área de um retângulo é representada por \(12x^2\). Identifique o coeficiente e o grau desse monômio.
7. Uma quantidade é representada por \(-5a^2b^4\). Qual é a soma dos expoentes das variáveis?
8. Duas áreas são representadas por \(8x^2y\) e \(3x^2y\). Explique por que os monômios são semelhantes.
9. Um estudante afirmou que \(4ab^2\) e \(7a^2b\) são semelhantes porque possuem as mesmas letras. A afirmação está correta? Justifique.
10. A expressão \(6m^3n^2\) representa uma medida. Qual é seu grau?
4. Adição e subtração de monômios
Na adição ou subtração de monômios semelhantes, operamos os coeficientes e conservamos a parte literal.
Exemplo resolvido 4. Calcule \(7x^2+3x^2\).
Os monômios são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal \(x^2\).
Exemplo resolvido 5. Reduza \(-4ab+9ab-2ab\).
Resposta: \(3ab\).
Por que a parte literal é conservada?
Podemos comparar com uma situação numérica. Três cadernos mais cinco cadernos são oito cadernos:
Da mesma forma:
Estamos somando quantidades do mesmo tipo.
Não podemos reduzir monômios que não são semelhantes. Por exemplo:
Como \(x\) e \(x^2\) são partes literais diferentes, a expressão permanece \(3x+5x^2\).
5. Multiplicação de monômios
Na multiplicação de monômios, multiplicamos os coeficientes e multiplicamos as partes literais. Para potências de mesma base, somamos os expoentes.
Exemplo resolvido 6. Calcule \((3x^2)(4x^3)\).
Multiplicamos os coeficientes:
Multiplicamos as potências de mesma base:
Portanto:
Exemplo resolvido 7. Calcule \((-2a^2b)(5ab^3)\).
6. Divisão de monômios
Na divisão de monômios, dividimos os coeficientes e, nas potências de mesma base, subtraímos os expoentes.
Exemplo resolvido 8. Calcule \(\frac{18x^5}{6x^2}\).
Exemplo resolvido 9. Calcule \(\frac{-24a^4b^3}{6a^2b}\).
Cuidado: nem toda divisão de monômios produz outro monômio. Nesta etapa, trabalharemos principalmente com divisões em que os expoentes do dividendo permitem obter expoentes inteiros não negativos no resultado.
7. Potenciação de monômios
Ao elevar um monômio a uma potência, elevamos o coeficiente e cada fator da parte literal à potência indicada.
Exemplo resolvido 10. Calcule \((2x^2y)^3\).
Pratique 2 — Operações com monômios
1. Reduza: a) \(8x+5x\); b) \(7a^2-3a^2\); c) \(-4xy+9xy-2xy\).
2. Calcule \((5x^2)(-3x^4)\).
3. Calcule \((2a^3b)(4ab^2)\).
4. Calcule \(\frac{20x^6}{5x^2}\).
5. Calcule \((-3a^2b)^2\).
6. Duas regiões têm áreas \(12x^2\) e \(7x^2\). Qual expressão representa a área total?
7. Um retângulo tem lados \(3x^2\) e \(4x\). Qual monômio representa sua área?
8. Uma área de \(24a^3b^2\) será dividida igualmente em 6 partes. Qual monômio representa a área de cada parte?
9. Um bloco tem dimensões \(2x\), \(3x^2\) e \(4x\). Determine o monômio que representa seu volume.
10. A produção de duas máquinas é representada por \(9m^2n\) e \(5m^2n\). Qual é a produção conjunta?
8. Polinômios
Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela adição algébrica de monômios.
Nesse polinômio, temos três termos:
- \(3x^2\);
- \(5x\);
- \(-7\).
De acordo com a quantidade de termos, algumas expressões recebem nomes específicos:
| Quantidade de termos | Nome | Exemplo |
|---|---|---|
| 1 | Monômio | \(4x^2\) |
| 2 | Binômio | \(x+5\) |
| 3 | Trinômio | \(x^2+3x+2\) |
| 4 ou mais | Polinômio | \(x^3+2x^2-x+6\) |
Polinômio reduzido
Um polinômio está reduzido quando não há termos semelhantes que ainda possam ser reunidos.
Exemplo resolvido 11. Reduza \(3x^2+5x-2x^2+7x-4\).
Agrupamos os termos semelhantes:
Resposta: \(x^2+12x-4\).
9. Grau de um polinômio
Depois de reduzir o polinômio, seu grau é o maior grau entre seus monômios não nulos.
Exemplo resolvido 12. Determine o grau de \(4x^5-3x^2+7x-1\).
Os graus dos termos são 5, 2, 1 e 0. O maior é 5.
Resposta: o polinômio é de grau 5.
10. Adição de polinômios
Para adicionar polinômios, reunimos os termos semelhantes e somamos seus coeficientes.
Exemplo resolvido 13. Calcule:
Reunindo os termos semelhantes:
11. Subtração de polinômios
Na subtração, é importante distribuir o sinal negativo por todos os termos do segundo polinômio.
Exemplo resolvido 14. Calcule:
Retirando os parênteses:
Reduzindo os termos semelhantes:
Cuidado com o sinal:
O sinal negativo altera o sinal de cada termo que está dentro dos parênteses.
12. Multiplicação de polinômios
Monômio por polinômio
Aplicamos a propriedade distributiva, multiplicando o monômio por cada termo do polinômio.
Exemplo resolvido 15. Calcule \(3x(2x^2-5x+4)\).
Polinômio por polinômio
Cada termo do primeiro polinômio deve multiplicar cada termo do segundo.
Exemplo resolvido 16. Calcule \((x+3)(x+5)\).
13. Divisão de polinômio por monômio
Quando todos os termos do polinômio podem ser divididos pelo mesmo monômio, dividimos termo a termo.
Exemplo resolvido 17. Calcule:
Dividindo cada termo:
Pratique 3 — Polinômios e operações
1. Reduza \(5x^2+3x-2x^2+7x-4\).
2. Determine o grau de \(6x^4-2x^3+x-9\).
3. Calcule \((2x^2+5x-3)+(4x^2-x+7)\).
4. Calcule \((7x^2+2x-5)-(3x^2-4x+1)\).
5. Desenvolva \(4x(x^2-3x+2)\).
6. O comprimento de um retângulo é \(x+5\) e a largura é \(x+2\). Escreva o polinômio reduzido que representa sua área.
7. Duas regiões têm áreas \(3x^2+4x\) e \(2x^2- x+5\). Determine a área total.
8. Uma área de \(15x^3+10x^2-5x\) será dividida por uma medida \(5x\). Determine o quociente.
9. Um terreno retangular tem lados \(2x+1\) e \(x+4\). Determine o polinômio que representa sua área.
10. A produção de duas unidades é representada por \(5x^2+8x+10\) e \(3x^2-2x+4\). Qual expressão representa a diferença entre a produção da primeira e a da segunda?
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Identifique o coeficiente, a parte literal e o grau de \(-7x^3y^2\).
2. Reduza \(6a^2-4a^2+9a^2\).
3. Calcule \((-3x^2)(5x^4)\).
4. Calcule \(\frac{28a^6b^3}{7a^2b}\).
5. Calcule \((-2x^3y)^2\).
6. Reduza \(4x^3+2x^2-7x^3+5x-3x^2\).
7. Determine o grau do polinômio \(8x^6-3x^4+x^2-10\).
8. Calcule \((4x^2-3x+5)+(x^2+7x-9)\).
9. Calcule \((6x^2+x-4)-(2x^2-5x+3)\).
10. Desenvolva \((x+2)(x+7)\).
11. Duas placas têm áreas \(9x^2\) e \(4x^2\). Qual monômio representa a área total?
12. Um retângulo tem lados \(5x^2\) e \(3x\). Determine o monômio que representa sua área.
13. Um volume de \(36a^4b^2\) é dividido em 9 partes iguais. Qual expressão representa cada parte?
14. Uma região é formada por duas partes com áreas \(4x^2+3x\) e \(2x^2+5x+6\). Determine a área total.
15. De uma área representada por \(10x^2+8x+5\), retira-se uma região de área \(3x^2+2x+1\). Qual é a área restante?
16. Um jardim retangular possui lados \(x+6\) e \(x+2\). Determine o polinômio reduzido que representa sua área.
17. Uma faixa retangular possui comprimento \(3x+2\) e largura \(x\). Determine a expressão de sua área.
18. Uma área de \(20x^3+15x^2-10x\) é dividida por \(5x\). Determine o resultado.
19. A soma de duas produções é representada por \((2x^2+6x+3)+(5x^2-x+8)\). Reduza a expressão.
20. Um estudante afirmou que \(3x^2+4x\) pode ser reduzido para \(7x^2\). Explique o erro cometido.
Gabarito do Pratique 1
1. a) coeficiente 7, parte literal \(x^3\); b) coeficiente \(-4\), parte literal \(a^2b\); c) coeficiente \(\frac35\), parte literal \(mn^2\).
2. a) 4; b) 5; c) 4.
3. \(4x^2y\) e \(9x^2y\).
4. Coeficiente \(-1\); grau 4.
5. Resposta possível: \(2x^2y^3\).
6. Coeficiente 12; grau 2.
7. \(2+4=6\).
8. Porque ambos possuem a mesma parte literal \(x^2y\).
9. Não. As partes literais são diferentes: \(ab^2\) e \(a^2b\).
10. \(3+2=5\).
Gabarito do Pratique 2
1. a) \(13x\); b) \(4a^2\); c) \(3xy\).
2. \(-15x^6\).
3. \(8a^4b^3\).
4. \(4x^4\).
5. \(9a^4b^2\).
6. \(19x^2\).
7. \(12x^3\).
8. \(4a^3b^2\).
9. \(24x^4\).
10. \(14m^2n\).
Gabarito do Pratique 3
1. \(3x^2+10x-4\).
2. Grau 4.
3. \(6x^2+4x+4\).
4. \(4x^2+6x-6\).
5. \(4x^3-12x^2+8x\).
6. \(x^2+7x+10\).
7. \(5x^2+3x+5\).
8. \(3x^2+2x-1\).
9. \(2x^2+9x+4\).
10. \(2x^2+10x+6\).
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. Coeficiente \(-7\), parte literal \(x^3y^2\), grau 5.
2. \(11a^2\).
3. \(-15x^6\).
4. \(4a^4b^2\).
5. \(4x^6y^2\).
6. \(-3x^3-x^2+5x\).
7. Grau 6.
8. \(5x^2+4x-4\).
9. \(4x^2+6x-7\).
10. \(x^2+9x+14\).
11. \(13x^2\).
12. \(15x^3\).
13. \(4a^4b^2\).
14. \(6x^2+8x+6\).
15. \(7x^2+6x+4\).
16. \(x^2+8x+12\).
17. \(3x^2+2x\).
18. \(4x^2+3x-2\).
19. \(7x^2+5x+11\).
20. \(3x^2\) e \(4x\) não são termos semelhantes, pois suas partes literais são diferentes. Portanto, não podem ser reduzidos a um único monômio.
Para lembrar
Monômios semelhantes possuem exatamente a mesma parte literal.
Na adição e subtração de monômios semelhantes, operamos os coeficientes e conservamos a parte literal.
Na multiplicação, somamos os expoentes das potências de mesma base; na divisão, subtraímos.
Em um polinômio, primeiro reduzimos os termos semelhantes. Seu grau é determinado pelo termo de maior grau.
Na subtração de polinômios, o sinal negativo deve ser distribuído a todos os termos do polinômio que está sendo subtraído.