Estatística, pesquisas, gráficos e medidas de tendência central
A Estatística permite coletar, organizar, representar, analisar e interpretar dados. Ela está presente em pesquisas de opinião, estudos populacionais, avaliações escolares, levantamentos econômicos e em muitas situações do cotidiano.
Nesta postagem, vamos estudar tipos de pesquisa e amostragem, organização de dados, frequências, gráficos, média, moda, mediana e amplitude.
Habilidades da BNCC
EF08MA23: avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
EF08MA24: classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, resumindo os dados de modo adequado para a tomada de decisões.
EF08MA25: obter média, moda e mediana, compreender seus significados e relacioná-las à dispersão dos dados indicada pela amplitude.
EF08MA26: compreender razões para realizar pesquisas amostrais e reconhecer diferentes formas de selecionar uma amostra: casual simples, sistemática e estratificada.
EF08MA27: planejar e executar pesquisa amostral, escolher uma técnica de amostragem adequada e elaborar relatório com gráficos, medidas de tendência central, amplitude e conclusões.
1. População e amostra
Em uma pesquisa estatística, a população é o conjunto completo de elementos sobre os quais desejamos obter informações.
Uma amostra é uma parte dessa população selecionada para participar da pesquisa.
Exemplo resolvido 1. Uma escola possui 800 estudantes e deseja conhecer a opinião deles sobre a biblioteca. Foram entrevistados 160 estudantes.
População: os 800 estudantes da escola.
Amostra: os 160 estudantes entrevistados.
2. Pesquisa censitária e pesquisa amostral
Na pesquisa censitária, todos os elementos da população são pesquisados. Na pesquisa amostral, apenas uma parte representativa da população participa.
| Pesquisa censitária | Pesquisa amostral |
|---|---|
| Investiga toda a população. | Investiga uma parte da população. |
| Pode exigir mais tempo e recursos. | Em geral, é mais rápida e econômica. |
| É possível quando a população é pequena ou quando se necessita informação de todos. | É útil quando a população é grande ou quando pesquisar todos é inviável. |
Uma pesquisa amostral só produz informações confiáveis quando a amostra é escolhida de modo adequado. Entrevistar apenas um grupo muito específico pode produzir resultados que não representam a população.
3. Como escolher uma amostra
Amostra casual simples
Os participantes são escolhidos ao acaso, procurando oferecer aos elementos da população a mesma possibilidade de seleção.
Amostra sistemática
Depois de estabelecer um critério inicial, selecionam-se elementos em intervalos regulares. Por exemplo, em uma lista, escolher uma pessoa a cada 10 nomes.
Amostra estratificada
A população é dividida em grupos, chamados estratos, e são selecionados participantes de cada grupo. Em uma escola, por exemplo, pode-se selecionar estudantes de todas as turmas ou anos escolares.
Exemplo resolvido 2. Uma escola deseja entrevistar 80 estudantes de um total de 800, distribuídos igualmente em quatro anos escolares. Para garantir a participação de todos os anos, decide entrevistar 20 estudantes de cada ano.
A escolha utiliza uma amostra estratificada, pois a população foi separada em grupos e uma parte de cada grupo foi selecionada.
4. Variáveis estatísticas
Uma variável é uma característica observada nos elementos de uma pesquisa.
| Tipo | Exemplo |
|---|---|
| Qualitativa | Meio de transporte utilizado para ir à escola. |
| Quantitativa discreta | Número de irmãos. |
| Quantitativa contínua | Altura, massa ou tempo. |
▶Pratique 1 — Pesquisas, população, amostra e variáveis
1. Em uma pesquisa com todos os 420 estudantes de uma escola, a pesquisa é censitária ou amostral?
2. Uma cidade possui 50 000 habitantes e 1 000 são entrevistados. Identifique a população e a amostra.
3. Classifique “número de livros lidos no mês” como variável qualitativa ou quantitativa.
4. Classifique “altura dos estudantes” como variável quantitativa discreta ou contínua.
5. Explique o que caracteriza uma amostra estratificada.
6. Uma empresa deseja conhecer a opinião de seus 2 000 clientes e sorteia 200 deles. Que tipo de pesquisa foi realizada?
7. Em uma lista de 600 pessoas, após um início definido, seleciona-se uma pessoa a cada 20 nomes. Qual técnica de amostragem está sendo utilizada?
8. Uma escola entrevista apenas estudantes que participam do time de futebol para saber qual esporte é o preferido de todos os estudantes. Explique por que essa amostra pode ser inadequada.
9. Uma pesquisa registra o tipo sanguíneo de seus participantes. Essa variável é qualitativa ou quantitativa?
10. Uma pesquisa registra o tempo, em minutos, gasto pelos estudantes para chegar à escola. Que tipo de variável quantitativa está sendo observada?
5. Frequência absoluta e frequência relativa
A frequência absoluta indica quantas vezes determinado valor ou categoria aparece.
A frequência relativa compara essa frequência com o total de observações:
Exemplo resolvido 3. Em uma turma de 40 estudantes, 12 escolheram futebol como esporte preferido.
A frequência absoluta é 12.
A frequência relativa é:
6. Organização de uma variável contínua em classes
Quando existem muitos valores diferentes de uma variável contínua, pode ser mais útil agrupá-los em intervalos de classe.
Exemplo resolvido 4. As alturas de 20 estudantes foram agrupadas:
| Altura | Frequência |
|---|---|
| 1,40 m a menos de 1,50 m | 3 |
| 1,50 m a menos de 1,60 m | 7 |
| 1,60 m a menos de 1,70 m | 8 |
| 1,70 m a menos de 1,80 m | 2 |
A classe com maior frequência é de 1,60 m a menos de 1,70 m, com 8 estudantes.
7. Escolhendo o gráfico adequado
O gráfico deve ser escolhido de acordo com os dados e com a informação que se deseja destacar.
| Gráfico | Uso frequente |
|---|---|
| Barras ou colunas | Comparar categorias ou quantidades. |
| Linhas | Mostrar evolução ou variação ao longo do tempo. |
| Setores | Mostrar partes de um total, especialmente proporções ou porcentagens. |
Exemplo resolvido 5. Desejamos representar a temperatura registrada ao meio-dia durante sete dias consecutivos.
O gráfico de linhas é especialmente adequado porque facilita observar a variação da temperatura ao longo do tempo.
8. Gráfico de colunas
Considere a preferência de 30 estudantes por quatro modalidades esportivas:
| Esporte | Estudantes |
|---|---|
| Futebol | 12 |
| Vôlei | 8 |
| Natação | 6 |
| Basquete | 4 |
9. Gráfico de linhas
Um gráfico de linhas é útil quando queremos observar mudanças de uma grandeza ao longo do tempo.
10. Gráfico de setores
No gráfico de setores, o círculo inteiro representa 100% dos dados. Cada setor representa uma parte do total.
Como uma volta completa mede \(360^\circ\), podemos transformar uma porcentagem em ângulo:
Exemplo resolvido 6. Se uma categoria corresponde a 25% dos entrevistados:
O setor correspondente deve medir 90°.
▶Pratique 2 — Frequências e gráficos
1. Em 50 respostas, uma categoria apareceu 15 vezes. Determine sua frequência relativa percentual.
2. Em 80 observações, 20 pertencem a uma classe. Qual é a frequência relativa dessa classe?
3. Qual gráfico é mais adequado para mostrar a evolução mensal do número de visitantes de um site?
4. Qual gráfico é adequado para comparar a quantidade de estudantes em cinco turmas?
5. Um setor representa 40% de um gráfico circular. Determine seu ângulo.
6. Uma pesquisa com 200 pessoas mostrou que 70 preferem a opção A. Qual é a frequência relativa percentual?
7. As massas de 100 pessoas serão agrupadas em intervalos. Explique por que organizar os dados em classes pode facilitar a análise.
8. Uma empresa quer mostrar a participação percentual de quatro produtos no total de vendas. Qual tipo de gráfico pode destacar bem essa composição?
9. Em um gráfico de setores, uma categoria corresponde a 30%. Quantos graus deve medir o setor?
10. Uma pesquisa acompanha a quantidade de chuva registrada em cada mês durante um ano. Qual gráfico permite observar mais facilmente a variação ao longo dos meses?
11. Média aritmética
A média aritmética é obtida somando os valores e dividindo a soma pela quantidade de valores.
Exemplo resolvido 7. As notas de um estudante foram 6, 8, 7 e 9.
12. Moda
A moda é o valor que aparece com maior frequência.
Exemplo resolvido 8. Considere os dados:
O valor 5 aparece três vezes, mais do que os demais.
Moda: 5.
Um conjunto pode ter uma moda, mais de uma moda ou não apresentar moda, caso nenhum valor se repita com frequência maior que os demais.
13. Mediana
A mediana é o valor central de um conjunto de dados depois que os valores são colocados em ordem.
Quantidade ímpar de valores
Exemplo resolvido 9.
A mediana é 7.
Quantidade par de valores
Quando existem dois valores centrais, calculamos a média entre eles.
Exemplo resolvido 10.
14. Amplitude
A amplitude indica a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto.
Exemplo resolvido 11. Considere:
15. Comparando média, moda, mediana e amplitude
As medidas de tendência central procuram representar um conjunto por valores centrais, mas cada uma fornece uma informação diferente. A amplitude ajuda a perceber quanto os dados estão espalhados.
Exemplo resolvido 12. Considere os tempos, em minutos:
Média:
Moda: 10.
Mediana: 11.
Amplitude:
Observe que o valor 27 eleva a média. Nesse conjunto, a mediana 11 descreve melhor a região em que se concentra a maioria dos valores. A amplitude 17 também mostra que existe uma diferença considerável entre o menor e o maior valor.
▶Pratique 3 — Média, moda, mediana e amplitude
1. Calcule a média de 6, 8, 10 e 12.
2. Determine a moda de 2, 3, 3, 4, 5, 3 e 6.
3. Determine a mediana de 4, 7, 8, 10 e 13.
4. Determine a mediana de 2, 5, 7, 9, 11 e 15.
5. Determine a amplitude de 12, 18, 20, 25 e 31.
6. As idades de cinco participantes são 12, 13, 13, 14 e 18 anos. Calcule média, moda, mediana e amplitude.
7. Um estudante obteve as notas 7, 8, 6 e 9. Qual foi sua média?
8. Os tempos de uma corrida foram 18, 19, 19, 20, 24 e 26 minutos. Determine moda, mediana e amplitude.
9. Os salários de cinco funcionários são 2 000, 2 100, 2 200, 2 300 e 10 000 reais. Explique por que a média pode não representar bem o salário típico desse grupo.
10. Duas turmas tiveram média 7 em uma prova. Na turma A, as notas variaram de 6 a 8; na turma B, de 2 a 10. O que a amplitude permite concluir sobre a dispersão das notas?
16. Planejando uma pesquisa estatística
Uma pesquisa estatística deve ser planejada antes da coleta de dados. Uma sequência possível é:
- definir o problema ou a pergunta da pesquisa;
- identificar a população;
- decidir se a pesquisa será censitária ou amostral;
- quando necessário, escolher uma técnica adequada de amostragem;
- definir as variáveis que serão observadas;
- coletar os dados;
- organizar os dados em tabelas ou classes;
- escolher gráficos adequados;
- calcular medidas estatísticas pertinentes;
- interpretar os resultados e elaborar conclusões.
Exemplo resolvido 13. Uma escola deseja investigar quanto tempo os estudantes do 8º ano gastam diariamente em deslocamento até a escola.
População: todos os estudantes do 8º ano.
Possível amostra: estudantes selecionados proporcionalmente em todas as turmas do 8º ano.
Variável: tempo diário de deslocamento, uma variável quantitativa contínua.
Organização: os tempos podem ser agrupados em classes, como 0 a menos de 15 min, 15 a menos de 30 min, 30 a menos de 45 min etc.
Representação: uma tabela de frequências e um gráfico adequado podem resumir os resultados.
Análise: média, mediana e amplitude podem ajudar a interpretar os tempos observados.
17. Relatório de uma pesquisa
O relatório deve apresentar de forma clara o que foi investigado, como os dados foram obtidos e o que eles permitem concluir.
Um relatório simples pode conter:
- tema e objetivo;
- população e amostra;
- forma de seleção da amostra;
- dados organizados em tabelas;
- gráficos adequados;
- média, moda, mediana e amplitude, quando forem pertinentes;
- interpretação dos resultados;
- conclusão.
▶Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Diferencie população e amostra.
2. Diferencie pesquisa censitária e pesquisa amostral.
3. Explique a diferença entre amostragem casual simples, sistemática e estratificada.
4. Classifique “número de pessoas em uma residência” como variável qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua.
5. Classifique “massa corporal” como variável qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua.
6. Em uma pesquisa com 120 pessoas, 42 escolheram a opção A. Determine a frequência relativa percentual.
7. Qual gráfico é geralmente mais adequado para mostrar a evolução de uma grandeza ao longo do tempo?
8. Um setor representa 15% de um gráfico circular. Determine o ângulo correspondente.
9. Calcule a média de 5, 7, 8, 9 e 11.
10. Determine moda, mediana e amplitude do conjunto 3, 5, 5, 6, 8, 9 e 12.
11. Uma escola com 900 estudantes entrevista 90 deles para avaliar o uso da biblioteca. Identifique população e amostra.
12. Para conhecer a opinião dos estudantes sobre a merenda, uma escola entrevista apenas os estudantes que permanecem na escola em tempo integral. Explique um possível problema dessa escolha.
13. Uma empresa deseja representar a participação percentual de cinco produtos no total de vendas. Indique um gráfico adequado e justifique.
14. As alturas de 200 pessoas foram registradas. Explique por que pode ser útil agrupá-las em intervalos de classe.
15. As notas de cinco estudantes foram 5, 6, 6, 7 e 10. Determine média, moda, mediana e amplitude.
16. Dois grupos têm média 20. No grupo A, os valores variam de 18 a 22; no grupo B, de 5 a 35. Compare as amplitudes e explique o que isso revela.
17. Uma turma possui 40 estudantes, sendo 10 de cada um de quatro grupos definidos para uma pesquisa. Se forem escolhidos 5 estudantes de cada grupo, qual técnica de amostragem está sendo utilizada?
18. Em uma pesquisa, 45% preferem A, 30% preferem B e os demais preferem C. Qual é a porcentagem correspondente a C? Qual seria o ângulo do setor de C em um gráfico circular?
19. Uma pesquisa sobre tempo de estudo registrou 20, 25, 25, 30, 30, 30, 35 e 45 minutos. Determine média, moda, mediana e amplitude.
20. Elabore um pequeno plano de pesquisa sobre um tema de interesse da turma, indicando objetivo, população, possível amostra, técnica de amostragem, variável pesquisada e uma forma adequada de representar os resultados.
▶Gabarito do Pratique 1
1. Censitária. 2. População: 50 000 habitantes; amostra: 1 000 entrevistados. 3. Quantitativa discreta. 4. Quantitativa contínua. 5. A população é dividida em estratos e são selecionados participantes de cada grupo.
6. Amostral. 7. Sistemática. 8. O grupo escolhido pode ter preferência esportiva diferente da população escolar e produzir uma amostra tendenciosa. 9. Qualitativa. 10. Quantitativa contínua.
▶Gabarito do Pratique 2
1. 30%. 2. 25%. 3. Gráfico de linhas. 4. Gráfico de barras ou colunas. 5. 144°.
6. 35%. 7. Porque os intervalos resumem muitos valores e facilitam observar sua distribuição. 8. Gráfico de setores. 9. 108°. 10. Gráfico de linhas.
▶Gabarito do Pratique 3
1. 9. 2. 3. 3. 8. 4. 8. 5. 19.
6. Média 14; moda 13; mediana 13; amplitude 6. 7. 7,5. 8. Moda 19; mediana 19,5; amplitude 8.
9. O valor 10 000 é muito superior aos demais e eleva a média; a mediana pode representar melhor a região em que se encontram os salários da maioria. 10. Turma A: amplitude 2; turma B: amplitude 8. A turma B apresenta maior dispersão.
▶Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. População é o conjunto total investigado; amostra é uma parte dele. 2. Censitária investiga toda a população; amostral investiga uma parte. 3. Casual simples: seleção ao acaso; sistemática: seleção em intervalos regulares; estratificada: seleção em grupos da população.
4. Quantitativa discreta. 5. Quantitativa contínua. 6. 35%. 7. Linhas. 8. 54°. 9. 8. 10. Moda 5; mediana 6; amplitude 9.
11. População: 900 estudantes; amostra: 90 estudantes. 12. A amostra pode não representar os estudantes que não permanecem em tempo integral. 13. Gráfico de setores, pois evidencia as partes percentuais de um total. 14. Para resumir muitos valores e facilitar a análise da distribuição.
15. Média 6,8; moda 6; mediana 6; amplitude 5. 16. A: amplitude 4; B: amplitude 30. O grupo B apresenta dispersão muito maior. 17. Estratificada. 18. 25% e 90°. 19. Média 30; moda 30; mediana 30; amplitude 25. 20. Resposta pessoal, devendo conter os elementos solicitados e coerência entre objetivo, amostra, variável e representação.
Para lembrar
Uma amostra deve representar adequadamente a população pesquisada.
A escolha do gráfico depende do tipo de dado e da informação que se deseja destacar.
Média, moda e mediana são medidas de tendência central.
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor e fornece uma indicação da dispersão dos dados.
Uma pesquisa estatística não termina na coleta: é necessário organizar, representar, analisar e interpretar os dados.