Números reais e números irracionais
Ao longo dos anos anteriores, estudamos números naturais, inteiros e racionais. No 9º ano, vamos ampliar esse conhecimento para compreender números que não podem ser escritos como fração de dois números inteiros.
Esses números surgem, por exemplo, quando medimos determinadas diagonais, alturas e comprimentos. É assim que chegamos aos números irracionais e, reunindo racionais e irracionais, ao conjunto dos números reais.
Habilidades da BNCC
EF09MA01: reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento não pode ser expresso por um número racional.
EF09MA02: reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
1. Retomando os conjuntos numéricos
Os números que já estudamos podem ser organizados em conjuntos.
| Conjunto | Descrição | Exemplos |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Números naturais | \(0,1,2,3,\ldots\) |
| \(\mathbb{Z}\) | Números inteiros | \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\) |
| \(\mathbb{Q}\) | Números racionais | \(\frac34,\,-2,\,0{,}5,\,0{,}333\ldots\) |
Todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional:
Um número racional é todo número que pode ser escrito na forma:
Exemplo resolvido 1. Classifique os números \(5\), \(-3\), \(\frac27\) e \(0{,}75\).
\(5\) pertence a \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\).
\(-3\) pertence a \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\).
\(\frac27\) pertence a \(\mathbb Q\).
\(0{,}75=\frac34\), portanto também pertence a \(\mathbb Q\).
2. Nem todo número é racional
Considere um quadrado de lado 1. Queremos descobrir a medida de sua diagonal \(d\).
O número \(\sqrt2\) não pode ser escrito como fração de dois números inteiros. Ele é um exemplo de número irracional.
A existência de \(\sqrt2\) mostra que os números racionais não são suficientes para representar todas as medidas de segmentos.
3. Aproximando uma raiz não exata
Embora \(\sqrt2\) não seja racional, podemos estimar seu valor.
Logo:
Podemos aproximar mais:
Então:
Aproximando ainda mais:
Portanto:
Atenção ao símbolo: \(=\) indica igualdade exata. Já \(\approx\) indica aproximação.
Assim, escrevemos \(\sqrt2\approx1{,}41\), e não \(\sqrt2=1{,}41\).
▶Pratique 1 — Conjuntos numéricos e surgimento dos irracionais
1. Classifique \(8\) nos conjuntos \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\).
2. Classifique \(-12\) nos conjuntos \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\).
3. Escreva \(0{,}6\) na forma de fração.
4. O número \(0{,}252525\ldots\) é racional? Justifique.
5. Entre quais inteiros consecutivos está \(\sqrt7\)?
6. A diagonal de um quadrado de lado 1 mede \(\sqrt2\). Essa medida é racional ou irracional?
7. Um segmento possui comprimento \(\sqrt{10}\) cm. Entre quais números inteiros consecutivos está essa medida?
8. Explique por que \(\sqrt2\approx1{,}41\) é uma aproximação.
9. Verifique se \(2{,}2<\sqrt5<2{,}3\).
10. Dê um exemplo de número natural, um inteiro negativo e um racional não inteiro.
4. Números irracionais
Um número irracional possui representação decimal infinita e não periódica.
Observe a diferença:
Esse número é racional, porque sua representação decimal é periódica.
Já:
não apresenta um período que se repete. Por isso, \(\sqrt2\) é irracional.
Decimal infinito não significa automaticamente irracional. As dízimas periódicas são infinitas, mas são racionais. Para ser irracional, a representação decimal deve ser infinita e não periódica.
5. Exemplos e não exemplos
| Número | Classificação | Justificativa |
|---|---|---|
| \(\sqrt4=2\) | Racional | É um número inteiro. |
| \(\sqrt9=3\) | Racional | É um número inteiro. |
| \(\sqrt2\) | Irracional | Decimal infinito e não periódico. |
| \(\sqrt7\) | Irracional | Não é raiz exata de um quadrado perfeito. |
| \(\pi\) | Irracional | Decimal infinito e não periódico. |
| \(0{,}121212\ldots\) | Racional | É uma dízima periódica. |
Exemplo resolvido 2. Classifique \(\sqrt{25}\), \(\sqrt3\), \(0{,}777\ldots\) e \(\pi\).
\(\sqrt{25}=5\), portanto é racional.
\(\sqrt3\) é irracional.
\(0{,}777\ldots\) é racional, pois é uma dízima periódica.
\(\pi\) é irracional.
6. O conjunto dos números irracionais
Representaremos o conjunto dos irracionais por \(\mathbb I\).
Racionais e irracionais não possuem elementos em comum:
Um número real será racional ou irracional, nunca os dois ao mesmo tempo.
▶Pratique 2 — Números irracionais e representações decimais
1. Classifique \(\sqrt{36}\) como racional ou irracional.
2. Classifique \(\sqrt{11}\) como racional ou irracional.
3. O número \(0{,}4444\ldots\) é racional ou irracional?
4. O número \(2{,}1010010001\ldots\), sem repetição periódica, é racional ou irracional?
5. Explique por que nem toda raiz quadrada é irracional.
6. Um aluno afirmou que todo decimal infinito é irracional. Explique o erro.
7. Entre \(\sqrt{49}\) e \(\sqrt{50}\), qual é racional?
8. Classifique \(\pi\), \(-5\), \(\frac49\) e \(\sqrt{13}\) em racionais ou irracionais.
9. Escreva dois exemplos de irracionais entre 1 e 3.
10. Dê um exemplo de dízima periódica e explique por que ela é racional.
7. O conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais reúne todos os números racionais e todos os números irracionais:
Temos, portanto:
e também:
Exemplo resolvido 3. Indique todos os conjuntos aos quais o número \(5\) pertence.
Já \(\sqrt3\) pertence a \(\mathbb I\) e a \(\mathbb R\), mas não pertence a \(\mathbb Q\).
8. Classificando números reais
| Número | Menor conjunto a que pertence |
|---|---|
| \(7\) | \(\mathbb N\) |
| \(-4\) | \(\mathbb Z\) |
| \(\frac35\) | \(\mathbb Q\) |
| \(1{,}25\) | \(\mathbb Q\) |
| \(0{,}777\ldots\) | \(\mathbb Q\) |
| \(\sqrt{16}=4\) | \(\mathbb N\) |
| \(\sqrt3\) | \(\mathbb I\) |
| \(\pi\) | \(\mathbb I\) |
9. A reta real
Todos os números reais podem ser representados em uma única reta numérica, chamada reta real.
Os irracionais também ocupam posições bem definidas na reta real.
10. Localizando irracionais por aproximação
Para localizar um irracional na reta, usamos uma aproximação decimal.
| Número | Aproximação |
|---|---|
| \(\sqrt2\) | \(1{,}41\) |
| \(\sqrt3\) | \(1{,}73\) |
| \(\sqrt5\) | \(2{,}24\) |
| \(\pi\) | \(3{,}14\) |
Exemplo resolvido 4. Entre quais inteiros está \(\sqrt{18}\)?
Como:
temos:
Logo, \(\sqrt{18}\) está entre 4 e 5 na reta real.
11. Comparação e ordenação de números reais
Para comparar números irracionais, podemos usar aproximações.
Exemplo resolvido 5. Coloque em ordem crescente:
Usando:
obtemos:
Exemplo resolvido 6. Compare \(\sqrt5\) e \(2{,}3\).
Portanto:
▶Pratique 3 — Números reais e reta real
1. Indique todos os conjuntos aos quais \(6\) pertence.
2. Indique o menor conjunto ao qual \(-8\) pertence.
3. Indique o menor conjunto ao qual \(\frac{5}{11}\) pertence.
4. Indique o menor conjunto ao qual \(\sqrt{19}\) pertence.
5. Entre quais inteiros consecutivos está \(\sqrt{30}\)?
6. Uma medida é dada por \(\sqrt{12}\) m. Entre quais inteiros consecutivos ela está?
7. Coloque em ordem crescente: \(2\), \(\sqrt5\), \(2{,}5\) e \(\sqrt7\).
8. Compare \(\sqrt{10}\) e \(3{,}2\).
9. Um ponto da reta corresponde aproximadamente a \(1{,}73\). Qual dos números \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) ou \(\sqrt5\) ele representa melhor?
10. Explique por que todo número racional e todo irracional são números reais.
12. Números irracionais em situações geométricas
Os números irracionais aparecem naturalmente em medidas geométricas.
Exemplo resolvido 7. Um quadrado possui lado 5 cm. Qual é a medida exata de sua diagonal?
A medida exata é \(\sqrt{50}\) cm. Em valor aproximado:
Quando usamos um decimal para representar uma medida irracional, estamos usando uma aproximação. Em muitos problemas, é importante distinguir a medida exata da medida aproximada.
▶Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Escreva a relação de inclusão entre \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) e \(\mathbb R\).
2. Classifique \(-9\) no menor conjunto numérico possível.
3. Classifique \(0{,}125\) no menor conjunto numérico possível.
4. Classifique \(\sqrt{64}\) no menor conjunto numérico possível.
5. Classifique \(\sqrt{15}\) como racional ou irracional.
6. Explique por que \(0{,}181818\ldots\) é racional.
7. Explique por que \(\pi\) é irracional.
8. Entre quais inteiros consecutivos está \(\sqrt{21}\)?
9. Compare \(\sqrt8\) e \(2{,}9\).
10. Coloque em ordem crescente: \(1{,}7\), \(\sqrt3\), \(1{,}8\) e \(\sqrt4\).
11. A diagonal de um quadrado de lado 3 cm mede \(3\sqrt2\) cm. Essa medida é racional ou irracional?
12. Um terreno quadrado possui lado 10 m. Sua diagonal é racional ou irracional? Justifique.
13. Uma calculadora mostra \(\sqrt5\approx2{,}2360679\). Explique por que esse decimal exibido não é o valor exato de \(\sqrt5\).
14. Um estudante afirmou que \(\sqrt{81}\) é irracional porque contém uma raiz. Explique o erro.
15. Dê dois exemplos de números irracionais entre 2 e 4.
16. Determine uma aproximação de \(\sqrt6\) com uma casa decimal.
17. Mostre que \(3<\sqrt{11}<4\).
18. Classifique os números \(5\), \(-2\), \(\frac79\), \(\sqrt{10}\) e \(\pi\) no menor conjunto numérico possível.
19. Um ponto da reta real está entre 3,1 e 3,2 e representa \(\pi\). Explique por que essa localização é coerente.
20. Explique, com suas palavras, por que foi necessário ampliar o conjunto dos números racionais para formar o conjunto dos números reais.
▶Gabarito do Pratique 1
1. \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q\). 2. \(\mathbb Z,\mathbb Q\). 3. \(\frac35\). 4. Sim, pois é dízima periódica. 5. Entre 2 e 3.
6. Irracional. 7. Entre 3 e 4. 8. Porque 1,41 é apenas uma aproximação decimal. 9. Sim, pois \(2{,}2^2<5<2{,}3^2\). 10. Resposta pessoal.
▶Gabarito do Pratique 2
1. Racional. 2. Irracional. 3. Racional. 4. Irracional. 5. Raízes exatas de quadrados perfeitos podem ser racionais.
6. Dízimas periódicas são decimais infinitos e racionais. 7. \(\sqrt{49}=7\). 8. \(\pi\) e \(\sqrt{13}\) são irracionais; \(-5\) e \(\frac49\) são racionais. 9. Exemplos: \(\sqrt2\) e \(\sqrt5\). 10. Exemplo: \(0{,}333\ldots=\frac13\).
▶Gabarito do Pratique 3
1. \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R\). 2. \(\mathbb Z\). 3. \(\mathbb Q\). 4. \(\mathbb I\).
5. Entre 5 e 6. 6. Entre 3 e 4. 7. \(2<\sqrt5<2{,}5<\sqrt7\). 8. \(\sqrt{10}<3{,}2\). 9. \(\sqrt3\). 10. Porque \(\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I\).
▶Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\). 2. \(\mathbb Z\). 3. \(\mathbb Q\). 4. \(\mathbb N\). 5. Irracional.
6. Porque é uma dízima periódica. 7. Porque sua representação decimal é infinita e não periódica. 8. Entre 4 e 5. 9. \(\sqrt8<2{,}9\). 10. \(1{,}7<\sqrt3<1{,}8<\sqrt4\).
11. Irracional. 12. Irracional, pois a diagonal é \(10\sqrt2\). 13. Porque a calculadora exibe apenas uma quantidade finita de casas decimais de um decimal infinito não periódico. 14. \(\sqrt{81}=9\), que é racional.
15. Exemplos: \(\sqrt5\) e \(\pi\). 16. \(\sqrt6\approx2{,}4\). 17. Como \(3^2=9<11<16=4^2\), então \(3<\sqrt{11}<4\).
18. \(5\in\mathbb N\); \(-2\in\mathbb Z\); \(\frac79\in\mathbb Q\); \(\sqrt{10}\in\mathbb I\); \(\pi\in\mathbb I\). 19. Porque \(\pi\approx3{,}14159\), portanto está entre 3,1 e 3,2. 20. Resposta pessoal, devendo reconhecer a necessidade de representar medidas que não são racionais.
Para lembrar
Os números irracionais possuem representação decimal infinita e não periódica.
Nem toda raiz quadrada é irracional.
O conjunto dos números reais é formado pelos racionais e irracionais.
Os números irracionais também podem ser localizados na reta numérica por aproximações.
Em medidas irracionais, é importante distinguir valor exato de valor aproximado.