Expressões algébricas e valor numérico
Em muitas situações, uma mesma relação matemática pode ser aplicada a diferentes valores. Para representar essas relações de maneira geral, utilizamos números, letras e sinais de operações.
Nesta postagem, vamos estudar expressões algébricas, compreender o papel das letras, transformar frases em linguagem algébrica e calcular o valor numérico de expressões em diferentes situações.
Habilidade da BNCC
EF08MA06: resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.
1. Da linguagem cotidiana para a linguagem algébrica
Uma expressão algébrica é uma expressão matemática formada por números, letras e operações. As letras podem representar valores que variam de acordo com a situação.
| Frase | Expressão algébrica |
|---|---|
| O dobro de um número | \(2x\) |
| O triplo de um número mais 5 | \(3x+5\) |
| A metade de um número | \(\frac{x}{2}\) |
| A diferença entre um número e 8 | \(x-8\) |
| O quadrado de um número | \(x^2\) |
| O dobro da soma de um número com 4 | \(2(x+4)\) |
Exemplo resolvido 1. Escreva uma expressão algébrica para representar “o quádruplo de um número menos 7”.
Se chamarmos o número de \(x\), seu quádruplo é \(4x\). Subtraindo 7:
Resposta: \(4x-7\).
Exemplo resolvido 2. Represente “a terça parte da soma de um número com 6”.
A soma é \(x+6\). Como queremos a terça parte de toda a soma:
Atenção: os parênteses podem mudar completamente o significado de uma expressão.
Na primeira expressão, somente \(x\) é multiplicado por 2. Na segunda, toda a soma \(x+5\) é multiplicada por 2.
2. Variáveis e valores que podem mudar
Em uma expressão algébrica, uma letra pode assumir diferentes valores. Nesse caso, ela representa uma variável.
Exemplo resolvido 3. O preço total de \(q\) cadernos, cada um custando 12 reais, pode ser representado por:
Se forem comprados 2 cadernos, \(q=2\). Se forem comprados 5, \(q=5\). Assim, o valor de \(q\) pode variar.
Expressão algébrica não é equação
Uma expressão como \(3x+8\) representa uma quantidade. Já uma equação apresenta uma igualdade, como \(3x+8=20\).
| Escrita | Classificação |
|---|---|
| \(5x-2\) | Expressão algébrica |
| \(5x-2=18\) | Equação |
| \(\frac{a+b}{2}\) | Expressão algébrica |
| \(y=3x+1\) | Igualdade envolvendo variáveis |
Nesta postagem, nosso foco está nas expressões algébricas e em seus valores numéricos. O estudo das equações será aprofundado nas postagens seguintes.
Pratique 1 — Linguagem algébrica e variáveis
1. Escreva uma expressão para: a) o dobro de \(x\); b) o triplo de \(y\) mais 4; c) a metade de \(a\).
2. Represente “o quadrado de um número menos 9”.
3. Represente “o dobro da diferença entre um número e 5”.
4. Escreva em palavras a expressão \(4x+3\).
5. Classifique cada escrita como expressão algébrica ou equação: a) \(7x-4\); b) \(7x-4=10\); c) \(a^2+b^2\).
6. Um ingresso custa 25 reais. Escreva uma expressão para o valor pago na compra de \(n\) ingressos.
7. Um estacionamento cobra uma taxa fixa de 8 reais mais 5 reais por hora. Escreva uma expressão para o valor pago por \(h\) horas.
8. A idade de Paulo é \(p\). Sua irmã tem 3 anos a mais. Escreva uma expressão para a idade da irmã.
9. Um retângulo tem comprimento \(x+4\) e largura \(x\). Escreva uma expressão para seu perímetro, sem simplificar.
10. Uma caixa contém \(x\) objetos. Outra contém o dobro dessa quantidade mais 6 objetos. Escreva uma expressão para a quantidade da segunda caixa.
3. O que é valor numérico?
O valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado obtido quando substituímos as letras pelos valores indicados e efetuamos as operações.
Exemplo resolvido 4. Calcule o valor numérico de \(3x+5\) para \(x=4\).
Substituímos \(x\) por 4:
Efetuamos primeiro a multiplicação:
Resposta: o valor numérico é 17.
Substituição de valores negativos
Quando o valor substituído é negativo, é importante colocá-lo entre parênteses.
Exemplo resolvido 5. Calcule \(x^2-3x+2\) para \(x=-2\).
Resposta: 12.
Cuidado: ao substituir \(x=-2\) em \(x^2\), escrevemos \((-2)^2\), pois o valor inteiro de \(x\) é \(-2\).
Com os parênteses:
Sem os parênteses:
Isso acontece porque, sem os parênteses, a potenciação é realizada primeiro e o sinal negativo fica fora da potência.
Portanto:
4. Expressões com mais de uma variável
Uma expressão pode conter duas ou mais letras. Para obter seu valor numérico, substituímos cada letra pelo valor correspondente.
Exemplo resolvido 6. Calcule \(2a+3b\) para \(a=4\) e \(b=-2\).
Resposta: 2.
Exemplo resolvido 7. Calcule \(\frac{x+y}{2}\) para \(x=7\) e \(y=5\).
Resposta: 6.
5. Respeitando a ordem das operações
Depois de substituir as letras, a expressão se transforma em uma expressão numérica. Então devemos respeitar a ordem das operações:
- primeiro, resolvemos o que está entre parênteses;
- depois, potenciações e radiciações;
- em seguida, multiplicações e divisões;
- por fim, adições e subtrações.
Exemplo resolvido 8. Calcule \(2(x+3)^2-5\) para \(x=1\).
Resposta: 27.
Pratique 2 — Cálculo do valor numérico
1. Calcule \(4x+7\) para \(x=3\).
2. Calcule \(x^2+2x-1\) para \(x=5\).
3. Calcule \(a^2-b\) para \(a=-3\) e \(b=4\).
4. Calcule \(\frac{x+6}{3}\) para \(x=12\).
5. Calcule \(2(x-1)^2+3\) para \(x=4\).
6. O custo de uma corrida é dado por \(C=6+2,5d\), em que \(d\) representa a distância percorrida em quilômetros. Determine \(C\) para \(d=8\).
7. A expressão \(P=2a+2b\) representa o perímetro de um retângulo. Calcule \(P\) para \(a=9\) cm e \(b=5\) cm.
8. Uma máquina produz \(5n+12\) peças em determinado intervalo. Quantas peças serão produzidas quando \(n=20\)?
9. A temperatura em determinada escala é calculada por \(T=2x-6\). Determine \(T\) para \(x=-4\).
10. O valor de uma compra é representado por \(V=18q+7\), em que \(q\) é a quantidade de itens e 7 representa uma taxa fixa. Calcule \(V\) para \(q=6\).
6. Propriedades das operações no cálculo algébrico
As propriedades das operações podem facilitar o cálculo do valor numérico de uma expressão.
Propriedade distributiva
Exemplo resolvido 9. Calcule \(7(x+2)\) para \(x=8\).
1ª maneira: substituindo primeiro
2ª maneira: usando a propriedade distributiva
As duas formas produzem o mesmo resultado.
Expressões equivalentes
Duas expressões são equivalentes quando representam o mesmo valor para todos os valores permitidos das variáveis.
Podemos verificar com \(x=5\):
Importante: nesta postagem, usamos propriedades das operações para compreender e calcular expressões. O estudo sistemático de monômios, polinômios e suas operações será realizado na próxima postagem.
7. Expressões algébricas em fórmulas
Fórmulas são expressões algébricas utilizadas para representar relações entre grandezas.
Perímetro de um retângulo
Se \(c=12\) cm e \(l=7\) cm:
Área de um quadrado
Se \(l=9\) cm:
Exemplo resolvido 10. A distância percorrida por um veículo em movimento uniforme pode ser representada por \(d=vt\), em que \(v\) é a velocidade e \(t\) é o tempo. Determine a distância para \(v=60\) km/h e \(t=3\) h.
Resposta: 180 km.
8. Construindo expressões a partir de situações
Além de calcular o valor de uma expressão pronta, é importante conseguir construir uma expressão a partir de uma situação.
Exemplo resolvido 11. Uma empresa cobra 20 reais de taxa fixa mais 4 reais por unidade entregue. Escreva uma expressão para o custo de \(x\) unidades e determine o custo de 15 unidades.
A taxa fixa é 20 e a parte variável é \(4x\):
Para \(x=15\):
Resposta: a expressão é \(C=20+4x\) e, para 15 unidades, o custo é 80 reais.
Exemplo resolvido 12. Um número é representado por \(n\). Escreva uma expressão para a soma entre o quadrado desse número e o seu triplo. Depois, calcule o valor para \(n=4\).
Para \(n=4\):
Resposta: a expressão é \(n^2+3n\), e seu valor para \(n=4\) é 28.
Pratique 3 — Fórmulas e situações-problema
1. Escreva uma expressão para o perímetro de um quadrado de lado \(x\).
2. Escreva uma expressão para a área de um retângulo de lados \(a\) e \(b\).
3. A expressão \(A=\frac{bh}{2}\) representa a área de um triângulo. Calcule \(A\) para \(b=10\) e \(h=7\).
4. Calcule o valor de \(3(x+5)\) e de \(3x+15\) para \(x=6\). Compare os resultados.
5. Verifique se \(2(a-4)\) e \(2a-8\) têm o mesmo valor para \(a=9\).
6. Uma locadora cobra 30 reais de taxa inicial mais 8 reais por hora. Escreva a expressão do custo para \(h\) horas e calcule o valor para 5 horas.
7. Um reservatório contém inicialmente 500 litros e perde 12 litros por minuto. Escreva uma expressão para a quantidade \(Q\) após \(t\) minutos e calcule \(Q\) para \(t=15\).
8. Uma escola compra \(c\) caixas com 24 lápis em cada uma e recebe ainda 10 lápis extras. Escreva a expressão da quantidade total e calcule-a para \(c=8\).
9. Um retângulo tem comprimento \(x+3\) e largura \(x\). Escreva uma expressão para sua área e calcule-a para \(x=5\).
10. A pontuação de um jogo é dada por \(P=50+20v-5e\), em que \(v\) é o número de acertos e \(e\) o número de erros. Calcule a pontuação para \(v=8\) e \(e=3\).
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Escreva uma expressão para “o triplo de um número diminuído de 4”.
2. Escreva em palavras a expressão \(2x+9\).
3. Calcule \(5x-3\) para \(x=7\).
4. Calcule \(x^2-4x+1\) para \(x=-2\).
5. Calcule \(3a-2b\) para \(a=5\) e \(b=-4\).
6. Calcule \(\frac{x+y}{3}\) para \(x=8\) e \(y=4\).
7. Calcule \(2(x+1)^2\) para \(x=3\).
8. Use a propriedade distributiva para escrever uma expressão equivalente a \(5(x-2)\).
9. Verifique se \(4(x+3)\) e \(4x+12\) possuem o mesmo valor para \(x=-1\).
10. Explique a diferença de significado entre \(3x+6\) e \(3(x+6)\).
11. Um cinema cobra 18 reais por ingresso. Escreva uma expressão para \(n\) ingressos e calcule o custo de 7 ingressos.
12. Uma empresa cobra 25 reais de taxa fixa mais 6 reais por quilômetro percorrido. Escreva a expressão do custo e calcule o valor para 12 km.
13. Um retângulo tem lados \(x\) e \(x+4\). Escreva a expressão para sua área e calcule-a para \(x=6\).
14. A quantidade de água de um tanque é representada por \(Q=900-20t\). Quantos litros haverá após 18 minutos?
15. A expressão \(V=15q+30\) representa o valor de uma compra. Determine \(V\) para \(q=8\) e explique o significado do número 30 na expressão.
16. Um quadrado tem lado \(x+2\). Escreva uma expressão para sua área e determine-a para \(x=5\).
17. A distância é dada por \(d=vt\). Determine \(d\) para \(v=72\) km/h e \(t=2,5\) h.
18. Uma temperatura é representada por \(T=3x-10\). Determine \(T\) para \(x=-5\).
19. Um aluno recebe 10 pontos iniciais, ganha 4 pontos por acerto e perde 2 por erro. Escreva uma expressão em função do número de acertos \(a\) e erros \(e\). Depois, calcule a pontuação para \(a=12\) e \(e=5\).
20. Uma empresa produz \(p\) unidades por dia durante \(d\) dias e acrescenta 50 unidades de estoque inicial. Escreva a expressão da quantidade total e calcule-a para \(p=120\) e \(d=6\).
Gabarito do Pratique 1
1. a) \(2x\); b) \(3y+4\); c) \(\frac{a}{2}\).
2. \(x^2-9\).
3. \(2(x-5)\).
4. O quádruplo de um número mais 3.
5. a) expressão algébrica; b) equação; c) expressão algébrica.
6. \(25n\).
7. \(8+5h\).
8. \(p+3\).
9. \(2(x+4)+2x\).
10. \(2x+6\).
Gabarito do Pratique 2
1. \(19\).
2. \(34\).
3. \(5\).
4. \(6\).
5. \(21\).
6. \(C=6+2,5\cdot8=26\).
7. \(P=2\cdot9+2\cdot5=28\) cm.
8. \(5\cdot20+12=112\) peças.
9. \(T=2(-4)-6=-14\).
10. \(V=18\cdot6+7=115\) reais.
Gabarito do Pratique 3
1. \(4x\).
2. \(ab\).
3. \(A=\frac{10\cdot7}{2}=35\).
4. As duas expressões resultam em \(33\).
5. Sim. As duas resultam em \(10\).
6. \(C=30+8h\); para \(h=5\), \(C=70\) reais.
7. \(Q=500-12t\); para \(t=15\), \(Q=320\) litros.
8. \(24c+10\); para \(c=8\), \(202\) lápis.
9. \(A=x(x+3)\); para \(x=5\), \(A=40\).
10. \(P=50+20\cdot8-5\cdot3=195\) pontos.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(3x-4\).
2. O dobro de um número mais 9.
3. \(32\).
4. \(13\).
5. \(23\).
6. \(4\).
7. \(32\).
8. \(5x-10\).
9. Sim. Ambas resultam em \(8\).
10. Em \(3x+6\), somente \(x\) é multiplicado por 3. Em \(3(x+6)\), toda a soma é multiplicada por 3.
11. \(18n\); para 7 ingressos, 126 reais.
12. \(C=25+6d\); para 12 km, \(C=97\) reais.
13. \(A=x(x+4)\); para \(x=6\), \(A=60\).
14. \(Q=900-20\cdot18=540\) litros.
15. \(V=15\cdot8+30=150\) reais. O número 30 representa uma parte fixa do valor.
16. \(A=(x+2)^2\); para \(x=5\), \(A=49\).
17. \(d=72\cdot2,5=180\) km.
18. \(T=3(-5)-10=-25\).
19. \(P=10+4a-2e\); para \(a=12\) e \(e=5\), \(P=48\) pontos.
20. \(Q=pd+50\); para \(p=120\) e \(d=6\), \(Q=770\) unidades.
Para lembrar
Expressões algébricas utilizam letras para representar valores e relações.
O valor numérico é obtido substituindo as letras pelos valores indicados e respeitando a ordem das operações.
Parênteses são especialmente importantes na substituição de números negativos e na interpretação de expressões.
As propriedades das operações podem ser usadas para obter expressões equivalentes e facilitar cálculos.