Porcentagem e educação financeira
A porcentagem está presente em descontos, reajustes de preços, pesquisas, impostos, rendimentos e muitas outras situações do cotidiano.
Nesta postagem, vamos retomar o significado de porcentagem e aprofundar estratégias de cálculo, acréscimos e descontos, determinação de taxas percentuais e situações de educação financeira.
Habilidade da BNCC
EF08MA04: resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
1. Retomando a ideia de porcentagem
Porcentagem significa uma razão cujo denominador é 100. O símbolo % indica “por cento”, isto é, uma quantidade considerada em cada grupo de 100.
| Porcentagem | Fração decimal | Número decimal |
|---|---|---|
| \(10\%\) | \(\frac{10}{100}\) | \(0,10\) |
| \(25\%\) | \(\frac{25}{100}\) | \(0,25\) |
| \(50\%\) | \(\frac{50}{100}\) | \(0,50\) |
| \(75\%\) | \(\frac{75}{100}\) | \(0,75\) |
| \(100\%\) | \(\frac{100}{100}\) | \(1\) |
Exemplo resolvido 1. Determine \(35\%\) de 240.
Resposta: \(35\%\) de 240 é 84.
Cálculo mental de porcentagens
Algumas porcentagens podem ser calculadas rapidamente por decomposição.
2. Descobrindo a taxa percentual
Em muitas situações conhecemos uma parte e o total, mas precisamos descobrir qual porcentagem essa parte representa.
Exemplo resolvido 2. Em uma turma com 40 estudantes, 18 escolheram participar de uma atividade. Qual porcentagem da turma fez essa escolha?
A razão entre a quantidade de estudantes que fizeram essa escolha e o total da turma é:
Como porcentagem é uma razão de denominador 100, procuramos uma fração equivalente:
Multiplicando em cruz:
Assim:
Resposta: \(45\%\) da turma fez essa escolha.
Quando o denominador não chega diretamente a 100
Nem sempre o denominador da fração pode ser transformado em 100 por uma multiplicação simples com números naturais. Nesse caso, podemos usar uma proporção.
Exemplo resolvido 3. Em uma turma com 30 estudantes, 12 participaram de uma atividade. Qual porcentagem da turma participou?
Multiplicando em cruz:
Logo:
Resposta: \(40\%\) da turma participou da atividade.
Descobrindo o valor total
Também podemos conhecer uma porcentagem e o valor correspondente a ela e, a partir dessas informações, determinar o total.
Exemplo resolvido 4. Em uma pesquisa, 24 pessoas correspondem a \(30\%\) dos participantes. Quantas pessoas participaram?
1ª maneira: usando a representação decimal
Se \(x\) representa o total:
2ª maneira: usando uma proporção
Como 24 pessoas correspondem a \(30\%\) e o total corresponde a \(100\%\):
Multiplicando em cruz:
Resposta: participaram 80 pessoas.
3. Acréscimos percentuais
Quando um valor aumenta determinada porcentagem, calculamos o acréscimo e o adicionamos ao valor inicial.
Exemplo resolvido 5. Um produto custa 320 reais e sofre um aumento de \(15\%\). Qual será o novo preço?
1ª maneira: calculando o valor do acréscimo
2ª maneira: usando uma proporção
3ª maneira: calculando diretamente o novo percentual
4ª maneira: usando o fator de aumento
Resposta: o novo preço será 368 reais.
Fator de aumento
Um aumento de \(15\%\) significa que o novo valor corresponde a \(115\%\) do valor inicial. Por isso, o fator de aumento é \(1,15\).
Regra prática: para um aumento de \(p\%\), multiplicamos o valor inicial por \(1+\frac{p}{100}\).
Pratique 1 — Cálculo de porcentagens e acréscimos
1. Calcule: a) \(20\%\) de 450; b) \(35\%\) de 600; c) \(12\%\) de 250.
2. Escreva na forma decimal: a) \(8\%\); b) \(42\%\); c) \(125\%\).
3. 36 representa quantos por cento de 120?
4. Se 45 corresponde a \(15\%\) de uma quantidade, determine essa quantidade.
5. Determine o fator multiplicativo correspondente a aumentos de: a) \(10\%\); b) \(25\%\); c) \(7\%\).
6. Em uma escola com 500 estudantes, \(32\%\) participam de atividades esportivas. Quantos estudantes participam?
7. Uma conta mensal de 180 reais teve aumento de \(8\%\). Qual passou a ser o valor?
8. Em uma pesquisa com 250 pessoas, 65 escolheram a opção A. Qual foi o percentual dessa escolha?
9. Uma bicicleta custava 1 200 reais e teve reajuste de \(6\%\). Qual é o novo preço?
10. Uma biblioteca informou que 84 empréstimos representam \(35\%\) do total realizado em uma semana. Quantos empréstimos foram realizados?
4. Descontos percentuais
No desconto percentual, calculamos uma parte do valor inicial e a subtraímos.
Exemplo resolvido 6. Uma mochila custa 240 reais e está com desconto de \(20\%\). Qual é o preço com desconto?
1ª maneira: calculando o valor do desconto
O desconto é de 48 reais. Então:
2ª maneira: usando uma proporção
Multiplicando em cruz:
Como 48 reais é o valor do desconto:
3ª maneira: calculando diretamente o que resta
4ª maneira: usando o fator de desconto
Resposta: o preço com desconto é 192 reais.
Fator de desconto
Se o desconto é de \(20\%\), restam \(80\%\) do valor inicial. Portanto, o fator de desconto é \(0,80\).
Regra prática: para um desconto de \(p\%\), multiplicamos o valor inicial por \(1-\frac{p}{100}\).
5. Aumentos e descontos sucessivos
Quando duas alterações percentuais acontecem uma depois da outra, a segunda porcentagem é calculada sobre o novo valor, e não sobre o valor inicial.
Exemplo resolvido 7. Um produto de 500 reais sofre aumento de \(10\%\) e, depois, desconto de \(10\%\).
Após o aumento:
Após o desconto:
Resposta: o valor final é 495 reais.
Observe: aumentar \(10\%\) e depois diminuir \(10\%\) não faz o valor voltar ao inicial. Isso acontece porque as duas porcentagens são calculadas sobre valores diferentes.
Usando fatores multiplicativos
Os fatores multiplicativos tornam os cálculos sucessivos mais rápidos e ajudam a compreender por que não devemos simplesmente somar ou subtrair as taxas.
6. Educação financeira: preço, desconto e decisão de compra
A Matemática ajuda a comparar propostas e tomar decisões de consumo. Um desconto anunciado nem sempre significa que uma compra é vantajosa. É importante comparar o preço final, as condições de pagamento e a necessidade real da compra.
Exemplo resolvido 8. Uma loja oferece um aparelho por 900 reais com \(12\%\) de desconto para pagamento à vista. Qual é o preço final?
Resposta: 792 reais.
Exemplo resolvido 9. O mesmo produto custa 810 reais em outra loja, sem desconto. Qual opção tem menor preço?
Na primeira loja, o preço à vista é 792 reais. Na segunda, é 810 reais.
Resposta: a primeira opção custa 18 reais a menos.
Pratique 2 — Descontos e alterações percentuais sucessivas
1. Calcule o preço final de um produto de 400 reais com desconto de \(15\%\).
2. Determine o fator multiplicativo correspondente a descontos de: a) \(10\%\); b) \(35\%\); c) \(4\%\).
3. Um valor de 800 sofre aumento de \(20\%\) e depois desconto de \(20\%\). Determine o valor final.
4. Um preço sofre dois aumentos sucessivos de \(10\%\). Qual é o fator multiplicativo total?
5. Um valor sofre descontos sucessivos de \(20\%\) e \(10\%\). Que porcentagem do valor inicial permanece?
6. Uma camisa custa 160 reais e está com desconto de \(25\%\). Quanto será pago?
7. Um computador de 3 500 reais recebeu desconto de \(8\%\). Qual foi o valor do desconto e qual é o preço final?
8. Um produto de 250 reais teve aumento de \(12\%\) e, na semana seguinte, novo aumento de \(5\%\). Qual é o preço final?
9. Uma loja vende um item por 600 reais com desconto de \(15\%\). Outra vende o mesmo item por 525 reais. Qual opção é mais barata e qual é a diferença?
10. Um serviço custava 200 reais, aumentou \(10\%\) e depois recebeu desconto de \(5\%\). Determine o valor final.
7. Juros e educação financeira
Quando uma pessoa utiliza dinheiro por determinado tempo, pode haver uma compensação chamada juro. Em empréstimos, o juro representa um custo para quem toma o dinheiro. Em alguns investimentos, pode representar rendimento para quem aplica.
Nos juros simples, o juro de cada período é calculado sempre sobre o capital inicial.
Em que:
- \(J\) é o juro;
- \(C\) é o capital inicial;
- \(i\) é a taxa por período, escrita na forma decimal;
- \(t\) é o número de períodos.
O montante é a soma do capital com os juros:
Exemplo resolvido 10. Um capital de 1 500 reais é submetido a juros simples de \(2\%\) ao mês durante 4 meses.
Resposta: os juros são 120 reais e o montante é 1 620 reais.
8. Juros compostos: compreendendo a ideia
Nos juros compostos, cada novo período considera o valor acumulado no período anterior. Por isso, o crescimento ocorre por multiplicações sucessivas.
Exemplo resolvido 11. Um valor de 1 000 reais cresce \(5\%\) em cada período durante dois períodos.
Após o primeiro período:
Após o segundo:
Ou diretamente:
Importante: nesta postagem, o objetivo é compreender a diferença entre alterações calculadas sobre o valor inicial e alterações calculadas sobre valores acumulados. O estudo financeiro deve sempre considerar também as condições reais de uma proposta, e não apenas um cálculo isolado.
9. Planejamento e consumo consciente
Educação financeira não se resume a calcular descontos e juros. Ela envolve organizar recursos, comparar alternativas e refletir sobre necessidades e desejos.
Antes de uma compra, algumas perguntas podem ajudar:
- O produto ou serviço é necessário neste momento?
- Qual é o preço final em cada opção?
- Existe desconto para pagamento à vista?
- O parcelamento altera o valor total?
- A compra cabe no planejamento financeiro?
Exemplo resolvido 12. Um produto pode ser comprado por 1 140 reais à vista ou em 6 parcelas de 200 reais.
Total parcelado:
Diferença:
O pagamento parcelado custa 60 reais a mais. A decisão, porém, também depende das condições financeiras de quem compra.
Pratique 3 — Juros e educação financeira
1. Calcule os juros simples de um capital de 2 000 reais aplicado a \(3\%\) ao mês durante 5 meses.
2. Determine o montante de 1 200 reais a juros simples de \(2\%\) ao mês durante 6 meses.
3. Um capital de 800 reais rende \(4\%\) por período, em juros compostos, durante dois períodos. Determine o montante.
4. Compare o montante de 1 000 reais após dois períodos a \(10\%\): a) com juros simples; b) com juros compostos.
5. Um produto custa 900 reais à vista ou 10 parcelas de 95 reais. Qual é a diferença entre os valores totais?
6. Uma pessoa tomou emprestados 2 500 reais a juros simples de \(1,5\%\) ao mês por 4 meses. Quanto pagará de juros?
7. Uma compra custa 720 reais à vista ou 8 parcelas de 95 reais. Qual opção tem menor valor total e qual é a diferença?
8. Uma aplicação de 3 000 reais rende \(2\%\) por período durante três períodos, com crescimento composto. Qual é o valor acumulado?
9. Uma loja anuncia \(20\%\) de desconto sobre um produto de 1 500 reais. Outra vende o mesmo produto por 1 230 reais. Qual é a opção de menor preço?
10. Uma família reservou 600 reais para uma compra. O produto custa 680 reais, mas recebe desconto de \(15\%\) à vista. O valor reservado é suficiente? Quanto sobra ou falta?
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Calcule \(18\%\) de 750.
2. 54 corresponde a quantos por cento de 180?
3. Se \(24\%\) de uma quantidade é 72, determine a quantidade.
4. Determine o fator multiplicativo de um aumento de \(18\%\).
5. Determine o fator multiplicativo de um desconto de \(32\%\).
6. Um valor de 500 aumenta \(20\%\) e depois aumenta \(10\%\). Determine o valor final.
7. Um valor de 500 aumenta \(20\%\) e depois diminui \(20\%\). Determine o valor final.
8. Calcule os juros simples produzidos por 1 800 reais a \(2,5\%\) ao mês durante 4 meses.
9. Calcule o montante de 2 000 reais após dois períodos de crescimento composto de \(5\%\).
10. Explique por que dois descontos sucessivos de \(10\%\) não correspondem a um único desconto de \(20\%\).
11. Uma livraria oferece \(30\%\) de desconto em um livro que custa 90 reais. Qual é o preço final?
12. Em uma escola, 144 dos 480 estudantes utilizam transporte escolar. Qual é a porcentagem correspondente?
13. Um equipamento de 2 400 reais sofreu reajuste de \(7,5\%\). Qual é o novo preço?
14. Uma loja oferece um produto de 800 reais com \(12\%\) de desconto. Outra loja vende o mesmo produto por 710 reais. Qual opção tem menor preço?
15. Uma mensalidade de 350 reais aumentou \(8\%\) e, posteriormente, recebeu desconto de \(5\%\) sobre o novo valor. Quanto passou a custar?
16. Um empréstimo de 4 000 reais cobra juros simples de \(2\%\) ao mês durante 5 meses. Qual será o total de juros e o montante?
17. Um produto pode ser comprado por 1 520 reais à vista ou em 8 parcelas de 200 reais. Qual é a diferença entre as duas opções?
18. Uma aplicação de 2 500 reais cresce \(4\%\) em cada período durante dois períodos. Qual é o valor acumulado?
19. Uma família planejou gastar no máximo 1 000 reais em uma compra. Um produto de 1 150 reais está com \(15\%\) de desconto. A compra cabe no orçamento? Determine a diferença.
20. Um produto teve aumento de \(25\%\) e passou a custar 500 reais. Qual era o preço antes do aumento?
Gabarito do Pratique 1
1. a) 90; b) 210; c) 30.
2. a) \(0,08\); b) \(0,42\); c) \(1,25\).
3. \(30\%\).
4. 300.
5. a) \(1,10\); b) \(1,25\); c) \(1,07\).
6. 160 estudantes.
7. 194,40 reais.
8. \(26\%\).
9. 1 272 reais.
10. 240 empréstimos.
Gabarito do Pratique 2
1. 340 reais.
2. a) \(0,90\); b) \(0,65\); c) \(0,96\).
3. \(800\cdot1,20\cdot0,80=768\).
4. \(1,10\cdot1,10=1,21\).
5. \(0,80\cdot0,90=0,72\), portanto permanecem \(72\%\).
6. 120 reais.
7. Desconto: 280 reais; preço final: 3 220 reais.
8. \(250\cdot1,12\cdot1,05=294\) reais.
9. A primeira loja: \(600\cdot0,85=510\) reais. Ela é 15 reais mais barata.
10. \(200\cdot1,10\cdot0,95=209\) reais.
Gabarito do Pratique 3
1. \(J=2000\cdot0,03\cdot5=300\) reais.
2. \(J=144\) reais; montante: 1 344 reais.
3. \(800\cdot1,04^2=865,28\) reais.
4. Simples: 1 200 reais; compostos: 1 210 reais.
5. Parcelado: 950 reais; diferença: 50 reais.
6. 150 reais.
7. À vista: 720 reais; parcelado: 760 reais. À vista é 40 reais menor.
8. \(3000\cdot1,02^3=3183,624\), aproximadamente 3 183,62 reais.
9. Primeira loja: 1 200 reais. É a opção de menor preço, 30 reais abaixo da segunda.
10. \(680\cdot0,85=578\) reais. É suficiente e sobram 22 reais.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 135.
2. \(30\%\).
3. 300.
4. \(1,18\).
5. \(0,68\).
6. \(500\cdot1,20\cdot1,10=660\).
7. \(500\cdot1,20\cdot0,80=480\).
8. 180 reais.
9. \(2000\cdot1,05^2=2205\) reais.
10. Porque o segundo desconto incide sobre um valor já reduzido. O fator total é \(0,90\cdot0,90=0,81\), equivalente a desconto total de \(19\%\).
11. 63 reais.
12. \(30\%\).
13. 2 580 reais.
14. Primeira loja: \(800\cdot0,88=704\) reais. A primeira opção é 6 reais mais barata.
15. \(350\cdot1,08\cdot0,95=359,10\) reais.
16. Juros: 400 reais; montante: 4 400 reais.
17. Parcelado: 1 600 reais; diferença: 80 reais.
18. \(2500\cdot1,04^2=2704\) reais.
19. \(1150\cdot0,85=977,50\) reais. Cabe no orçamento e sobram 22,50 reais.
20. \(500\div1,25=400\) reais.
Para lembrar
Uma porcentagem pode ser escrita como fração de denominador 100 ou como número decimal.
Nos acréscimos e descontos, fatores multiplicativos tornam os cálculos mais diretos.
Alterações percentuais sucessivas devem ser aplicadas uma após a outra sobre os valores atualizados.
Educação financeira envolve cálculo, comparação de alternativas, planejamento e consumo consciente.