Potenciação e radiciação

Quando um número aparece várias vezes como fator, podemos representar a multiplicação por meio de uma potência. A radiciação permite realizar o caminho inverso em situações como a descoberta do lado de um quadrado. Nesta postagem, estudaremos esses conceitos no nível adequado ao 6º ano.

Potenciação

A potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais:

$$4\times4\times4=4^3=64$$

Em $4^3=64$, a base é $4$, o expoente é $3$ e a potência é $64$. O expoente indica quantas vezes a base aparece como fator.

Não multiplique a base pelo expoente: $4^3\ne4\times3$. Temos $4^3=4\times4\times4=64$.

Leitura e escrita

PotênciaLeitura
$5^2$cinco ao quadrado
$2^3$dois ao cubo
$3^4$três elevado à quarta potência
$10^6$dez elevado à sexta potência
$$6\times6\times6\times6=6^4$$ $$2^5=2\times2\times2\times2\times2=32$$ $$12^2=144\qquad5^3=125$$

Casos especiais

  • $a^1=a$.
  • $1^n=1$.
  • $0^n=0$, para $n>0$.
  • $a^0=1$, para $a\ne0$.

A expressão $0^0$ não será considerada nesta etapa. Além disso, trocar base e expoente geralmente altera o resultado: $2^3=8$, mas $3^2=9$.

Pratique potenciação →

Prática imediata 1

1. Em $6^4=1.296$, identifique base, expoente e potência.
2. Escreva como potência: a) $5\times5\times5$; b) $8\times8$; c) $3\times3\times3\times3\times3$; d) $10\times10\times10\times10$.
3. Desenvolva: a) $7^2$; b) $4^3$; c) $2^6$; d) $9^4$.
4. Escreva a leitura: a) $9^2$; b) $6^3$; c) $4^5$; d) $10^7$.
5. Calcule: a) $2^4$; b) $3^3$; c) $5^2$; d) $4^3$; e) $10^3$.
6. Calcule: a) $18^1$; b) $7^0$; c) $1^{12}$; d) $0^6$; e) $250^0$.
7. Marque V ou F: a) em $5^3$, a base é 5; b) o 5 aparece três vezes como fator; c) $5^3=5\times3$; d) todo natural não nulo elevado a zero vale 1; e) toda potência de base 1 vale 1.
8. Calcule e compare: a) $2^5\ \square\ 5^2$; b) $3^3\ \square\ 9^1$; c) $4^2\ \square\ 2^4$; d) $10^2\ \square\ 2^{10}$.
9. Corrija: $6^3=6\times3=18$.
10. Uma estrutura tem 4 cubos no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. Escreva a multiplicação, a potência e o total.
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Potências de base 10

As potências de base $10$ representam ordens do sistema decimal. O expoente indica a quantidade de zeros após o algarismo $1$:

PotênciaResultado
$10^0$1
$10^1$10
$10^2$100
$10^3$1.000
$10^4$10.000
$10^6$1.000.000

Também podemos decompor números:

$$4.725=4\times10^3+7\times10^2+2\times10^1+5\times10^0$$ $$30.608=3\times10^4+6\times10^2+8\times10^0$$

Quadrados e cubos perfeitos

O resultado de um natural elevado ao quadrado é um quadrado perfeito. Os primeiros são:

$$0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225$$

A expressão “ao quadrado” relaciona-se à área. Um quadrado de lado 5 possui área:

$$5^2=25\text{ unidades quadradas}$$

O resultado de uma potência de expoente 3 é um cubo perfeito. Um cubo com aresta 4 possui volume:

$$4^3=64\text{ unidades cúbicas}$$

O estudo completo de áreas e volumes será retomado posteriormente.

Radiciação

A raiz quadrada pergunta qual natural foi multiplicado por ele mesmo. Como $5^2=25$, então:

$$\sqrt{25}=5$$

Em $\sqrt{49}=7$, $49$ é o radicando e $7$ é a raiz quadrada. Um natural possui raiz quadrada exata em $\mathbb N$ quando é quadrado perfeito.

$$\sqrt0=0\qquad\sqrt{36}=6\qquad\sqrt{121}=11\qquad\sqrt{225}=15$$

Raízes não exatas

Como $4^2=16<20<25=5^2$, temos $4<\sqrt{20}<5$. Nesta etapa, apenas localizaremos raízes não exatas entre naturais consecutivos, sem calcular seu valor decimal.

Raiz quadrada não significa dividir por 2. $\sqrt{36}=6$ porque $6\times6=36$.

Pratique potências de 10 e raízes →

Prática imediata 2

1. Calcule: a) $10^2$; b) $10^4$; c) $10^6$; d) $10^8$.
2. Escreva como potência de 10: a) 100; b) 1.000; c) 100.000; d) 10.000.000.
3. Decomponha com potências de 10: a) 3.482; b) 20.507; c) 604.030.
4. Calcule: a) $6^2$; b) $9^2$; c) $12^2$; d) $15^2$.
5. Um piso quadrado tem lado 7 m. Represente e calcule sua área com a unidade adequada.
6. Calcule: a) $2^3$; b) $3^3$; c) $4^3$; d) $6^3$.
7. Calcule: a) $\sqrt{25}$; b) $\sqrt{49}$; c) $\sqrt{100}$; d) $\sqrt{169}$; e) $\sqrt{225}$.
8. Complete: a) $8^2=64\Rightarrow\sqrt{64}=\square$; b) $\square^2=121\Rightarrow\sqrt{121}=\square$; c) $\sqrt{196}=14\Rightarrow14^2=\square$.
9. Localize entre naturais consecutivos: a) $\sqrt{10}$; b) $\sqrt{27}$; c) $\sqrt{70}$; d) $\sqrt{150}$.
10. Marque V ou F e corrija: a) todo quadrado perfeito tem raiz exata; b) $\sqrt{81}=9$; c) $\sqrt{40}=20$; d) 64 é quadrado e cubo perfeito; e) $5<\sqrt{30}<6$.
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Expressões numéricas

A ordem de resolução é:

  1. potências e raízes;
  2. multiplicações e divisões, da esquerda para a direita;
  3. adições e subtrações, da esquerda para a direita.

Com sinais de associação, começamos pelo mais interno.

$$18+2^3=18+8=26$$ $$48\div\sqrt{64}=48\div8=6$$ $$2^4+\sqrt{81}=16+9=25$$ $$50-2^3\times4=50-8\times4=18$$

Parênteses alteram a ordem: $(7+3)^2=100$, enquanto $7+3^2=16$.

$$\{50-[2^3+\sqrt{36}]\}=50-[8+6]=36$$

Lembre-se: $6^0+4^2=1+16=17$.

Potenciação e radiciação em problemas

Uma organização quadrada com 12 fileiras de 12 cadeiras contém $12^2=144$ cadeiras. Se uma praça quadrada possui área de $169\text{ m}^2$, seu lado mede $\sqrt{169}=13\text{ m}$.

Uma estrutura com 5 cubos em cada dimensão contém $5^3=125$ cubos. Potências também podem representar crescimentos repetidos, desde que o significado de cada etapa seja analisado.

Se conhecemos o lado e procuramos a área, elevamos ao quadrado. Se conhecemos a área de um quadrado e procuramos o lado, calculamos a raiz quadrada.

Pratique expressões e problemas →

Prática imediata 3

1. Resolva: a) $15+3^2$; b) $40-2^4$; c) $5\times2^3$; d) $6^2\div4$.
2. Calcule: a) $18+\sqrt{49}$; b) $50-\sqrt{100}$; c) $72\div\sqrt{81}$; d) $4\times\sqrt{64}$.
3. Resolva: a) $2^5+\sqrt{36}$; b) $5^2-\sqrt{121}$; c) $3^3+\sqrt{169}$; d) $10^2\div\sqrt{25}$.
4. Resolva: a) $80-3^2\times5$; b) $64\div2^3+7$; c) $6+\sqrt{49}\times4$; d) $100-5\times\sqrt{144}$.
5. Compare $(5+3)^2$ e $5+3^2$ e explique.
6. Calcule: a) $[4^2+(18-9)]\div5$; b) $\{60-[3^2+\sqrt{81}]\}$; c) $[100-(6^2+28)]\div4$.
7. Resolva: a) $8^0+5^2$; b) $4\times10^0+6$; c) $7^2-15^0$; d) $3^3+200^0$.
8. Um jardim quadrado tem lado 11 m. Represente e calcule a área.
9. Uma região quadrada tem área $196\text{ m}^2$. Determine o lado e explique a relação entre potência e raiz.
10. Uma estrutura tem 6 cubos em cada dimensão. Escreva multiplicação, potência e total.
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Resumo

  • Potenciação representa fatores iguais; a base se repete e o expoente indica quantas vezes.
  • $a^1=a$, $a^0=1$ para $a\ne0$, $1^n=1$ e $0^n=0$ para $n>0$.
  • Potências de base 10 relacionam-se às ordens decimais.
  • Quadrados e cubos perfeitos relacionam-se a potências de expoentes 2 e 3.
  • A raiz quadrada exata desfaz uma potência de expoente 2.
  • Raízes não exatas podem ser localizadas entre naturais.
  • Em expressões, potências e raízes vêm antes das demais operações.

Atividades de aprofundamento

1. Em $7^4=2.401$, identifique base, expoente e potência; desenvolva e leia.
2. Escreva como potência e calcule: a) $9\times9$; b) quatro fatores 3; c) seis fatores 2; d) cinco fatores 10; e) $5\times5\times7$.
3. Calcule $36^1$, $9^0$, $1^{25}$, $0^9$, $100^0$ e $10^1$. Explique $9^0$.
4. Corrija $8^3=8\times3=24$ e compare $8^3$ com $3^8$.
5. Compare: a) $2^6$ e $4^3$; b) $3^4$ e $9^2$; c) $5^3$ e $3^5$; d) $10^3$ e $2^{10}$; e) $7^2$ e $2^7$.
6. Complete potência, resultado e zeros para $10^2$, $10^4$, $10^6$, 1.000.000.000 e 100.000. Explique a relação.
7. Decomponha com potências de 10: 6.239; 40.705; 308.016; 2.050.407. Mostre forma completa e reduzida quando houver zero.
8. Descubra os números: a) $4\times10^3+6\times10^2+2\times10+8$; b) $7\times10^4+3\times10^2+5$; c) $2\times10^6+8\times10^4+9\times10$; d) $5\times10^5+4\times10^3+7\times10^2+6$.
9. Entre 16, 20, 25, 36, 45, 49, 64, 72, 81 e 100, identifique quadrados perfeitos, escreva-os como potências e relacione-os às raízes exatas.
10. Organização quadrada: a) total em 13 por 13; b) potência; c) fileiras para 196 cadeiras; d) operação usada.
11. Praça quadrada de lado 18 m: represente e calcule a área. Compare com lado 20 m e analise o aumento.
12. Sala quadrada de área $144\text{ m}^2$: determine e verifique o lado; explique a unidade.
13. Complete $2^3$, $3^3$, $4^3$, $5^3$, $\square^3=216$ e $\square^3=343$. Quais resultados são também quadrados perfeitos?
14. Estrutura com 8 cubos em cada dimensão: calcule o total e compare com 4 em cada dimensão. A quantidade cai pela metade?
15. Calcule $\sqrt4$, $\sqrt{36}$, $\sqrt{81}$, $\sqrt{121}$, $\sqrt{196}$, $\sqrt{400}$ e $\sqrt{625}$.
16. Localize $\sqrt{15}$, $\sqrt{35}$, $\sqrt{80}$, $\sqrt{120}$ e $\sqrt{200}$ entre naturais consecutivos e justifique.
17. Complete: $17^2=289\Rightarrow\sqrt{289}$; $\square^2=324$; $\sqrt{441}=21\Rightarrow21^2$; $\sqrt\square=16$. Explique a relação.
18. Resolva: a) $24+4^2$; b) $90-3^3$; c) $5\times2^4+\sqrt{81}$; d) $100-\sqrt{64}\times7$; e) $144\div\sqrt{36}+2^5$; f) $6^2\div3^2+10^0$.
19. Resolva $(8+4)^2$, $8+4^2$, $[5^2+(24-13)]\div4$, $\{80-[2^4+\sqrt{64}]\}$ e $[200-(10^2+\sqrt{100})]\div9$. Compare os dois primeiros.
20. Desafio. Jardim quadrado de área $225\text{ m}^2$: determine lado, blocos por lado, contagem nos quatro lados e total sem repetir cantos. Relacione potência e raiz. Repita o lado para área $256\text{ m}^2$.

Gabaritos

Prática imediata 1

1. base 6, expoente 4, potência 1.296. 2. $5^3$, $8^2$, $3^5$, $10^4$. 3. $7\times7$; três fatores 4; seis fatores 2; quatro fatores 9. 4. nove ao quadrado; seis ao cubo; quatro à quinta; dez à sétima. 5. 16; 27; 25; 64; 1.000. 6. 18; 1; 1; 0; 1. 7. V, V, F, V, V. 8. $>$, $>$, $=$, $<$. 9. $6^3=216$. 10. $4\times4\times4=4^3=64$.

Prática imediata 2

1. 100; 10.000; 1.000.000; 100.000.000. 2. $10^2$, $10^3$, $10^5$, $10^7$. 3. $3\times10^3+4\times10^2+8\times10+2$; $2\times10^4+5\times10^2+7$; $6\times10^5+4\times10^3+3\times10$. 4. 36; 81; 144; 225. 5. $7^2=49\text{ m}^2$. 6. 8; 27; 64; 216. 7. 5; 7; 10; 13; 15. 8. 8; 11 e 11; 196. 9. entre 3 e 4; 5 e 6; 8 e 9; 12 e 13. 10. V, V, F, V, V.

Prática imediata 3

1. 24; 24; 40; 9. 2. 25; 40; 8; 32. 3. 38; 14; 40; 20. 4. 35; 15; 34; 40. 5. 64 e 14; os parênteses priorizam a soma. 6. 5; 42; 9. 7. 26; 10; 48; 28. 8. $11^2=121\text{ m}^2$. 9. $\sqrt{196}=14\text{ m}$ e $14^2=196$. 10. $6\times6\times6=6^3=216$.

Atividades de aprofundamento

1. base 7, expoente 4, potência 2.401; quatro fatores 7; sete à quarta. 2. $9^2=81$; $3^4=81$; $2^6=64$; $10^5=100.000$; $5^2\times7=175$. 3. 36; 1; 1; 0; 1; 10. 4. $8^3=512$ e $3^8=6.561$, logo $3^8$ é maior. 5. $=$, $=$, $<$, $<$, $<$.

6. 100/2; 10.000/4; 1.000.000/6; $10^9$/9; $10^5$/5. 7. $6\times10^3+2\times10^2+3\times10+9$; $4\times10^4+7\times10^2+5$; $3\times10^5+8\times10^3+10+6$; $2\times10^6+5\times10^4+4\times10^2+7$. 8. 4.628; 70.305; 2.080.090; 504.706. 9. 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100; todos têm raiz exata. 10. 169; $13^2$; 14; radiciação.

11. $18^2=324\text{ m}^2$; $20^2=400\text{ m}^2$; aumento de 76. 12. $\sqrt{144}=12\text{ m}$; $12^2=144$; lado é comprimento. 13. 8, 27, 64, 125, 6 e 7; 64 é também quadrado perfeito. 14. $8^3=512$; $4^3=64$; cai à oitava parte. 15. 2; 6; 9; 11; 14; 20; 25.

16. entre 3 e 4; 5 e 6; 8 e 9; 10 e 11; 14 e 15. 17. 17; 18 e 18; 441; 256 e 256. 18. 40; 63; 89; 44; 56; 5. 19. 144; 24; 9; 56; 10. 20. lado 15 m; 15 blocos por lado; 60 contando lados separadamente; 56 sem repetir cantos; $15^2=225$ e $\sqrt{225}=15$; para 256, lado 16 m.