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Múltiplos e divisores

Múltiplos e divisores ajudam a organizar grupos iguais, verificar divisões sem sobras e descobrir quando acontecimentos periódicos voltarão a coincidir.

Habilidades da BNCC relacionadas

EF06MA05: Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1.000.

EF06MA06: Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Múltiplos

Os múltiplos de um natural são os resultados de sua multiplicação pelos naturais:

$$M(4)=\{0,4,8,12,16,20,\ldots\}$$

$35$ é múltiplo de $5$, pois $5\times7=35$. Uma divisão exata também confirma a relação. Todo natural é múltiplo de 1 e de si mesmo; zero é múltiplo de todo natural; e todo natural não nulo possui infinitos múltiplos.

Comparando $M(4)$ e $M(6)$, encontramos múltiplos comuns como $0,12,24,36,\ldots$.

Divisores

Um natural positivo é divisor de outro quando a divisão é exata:

$$D(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$$

Podemos usar pares de fatores. Para 24: $1\times24$, $2\times12$, $3\times8$ e $4\times6$. Logo:

$$D(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$

O número 1 divide todo natural; todo natural não nulo divide a si mesmo; e a quantidade de divisores positivos é finita. Zero não pode ser divisor, pois não existe divisão por zero.

Relação entre múltiplo e divisor

Se $7\times8=56$, então 56 é múltiplo de 7 e de 8, enquanto 7 e 8 são divisores de 56.

Prática imediata 1

Prática imediata 1

1. Escreva os seis primeiros múltiplos de 3, 5, 8 e 12, começando por zero.
2. Verifique se 42 é múltiplo de 7; 65 de 5; 74 de 8; 108 de 12.
3. Escreva $M(6)$, $M(9)$ e $M(15)$, começando por zero e terminando no quinto múltiplo positivo.
4. Indique os múltiplos comuns apresentados em $M(3)$ e $M(5)$ até 30.
5. Determine $D(10)$, $D(18)$, $D(25)$ e $D(32)$.
6. Verifique se 4 divide 36; 6 divide 54; 7 divide 45; 12 divide 96.
7. Complete os pares de fatores de 48 e liste seus divisores.
8. Complete com múltiplo ou divisor: a) 42 é ______ de 6; b) 7 é ______ de 42; c) 72 é ______ de 9; d) 8 é ______ de 72.
9. Julgue: todo natural é múltiplo de 1; zero é múltiplo de todo natural; há infinitos divisores; 1 divide todo natural; zero pode ser divisor.
10. Considere 36 estudantes: a) indique todas as quantidades possíveis de estudantes por grupo, sem sobras; b) é possível formar grupos de 5?; c) quantos grupos de 6 podem ser formados?; d) quantos estudantes ficarão em cada grupo se forem formados 9 grupos?
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Critérios de divisibilidade

DivisorCritérioExemplo
2termina em 0, 2, 4, 6 ou 8348 termina em 8
3soma dos algarismos divisível por 3$528$: $5+2+8=15$
4dois últimos algarismos divisíveis por 4$1.316$: 16 é divisível por 4
5termina em 0 ou 5245 termina em 5
6divisível por 2 e por 3$354$ é par e $3+5+4=12$
8três últimos algarismos divisíveis por 8$3.024$: 024, ou 24, é divisível por 8
9soma dos algarismos divisível por 9$729$: $7+2+9=18$
10termina em 0430 termina em 0
100termina em 002.500 termina em 00
1.000termina em 00018.000 termina em 000

Números primos e compostos

Um natural maior que 1 é primo quando possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. É composto quando possui mais de dois. Zero e um não são primos nem compostos. O 2 é o único primo par.

$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$$

são os primos menores que 50. Ser ímpar não basta: $D(9)=\{1,3,9\}$, portanto 9 é composto.

Decomposição em fatores primos

Todo natural composto pode ser escrito como produto de primos. Podemos usar árvore de fatores ou divisões sucessivas. O formato vertical será nosso procedimento principal:

602
302
153
55
1
$$60=2\times2\times3\times5=2^2\times3\times5$$

O processo termina em 1. Verificamos multiplicando os fatores. Árvores diferentes levam à mesma fatoração final, desconsiderando a ordem dos fatores.

Prática imediata 2

Prática imediata 2

1. Para 240, 315, 428 e 1.750, verifique divisibilidade por 2, 5 e 10.
2. Verifique divisibilidade por 3 e 9 em 234, 729, 1.425 e 5.318.
3. Verifique: 1.216 por 4; 3.024 por 8; 2.738 por 4; 4.150 por 8.
4. Verifique por 6: 138, 245, 714 e 1.032.
5. Complete algarismos em $35\square$ por 2; $47\square$ por 5; $12\square$ por 3; $8\square0$ por 9.
6. Classifique 2, 9, 17, 21, 31, 39, 47 e 51.
7. Explique a classificação de zero e um.
8. Liste divisores e classifique 13, 20, 29 e 33.
9. Fatore verticalmente 24, 45, 72 e 100.
10. Fatore 180 e verifique o produto.
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Máximo divisor comum

O MDC é o maior divisor positivo comum. Como os divisores comuns de 18 e 24 são $1,2,3,6$:

$$\operatorname{MDC}(18,24)=6$$

Pelas fatorações:

$$18=2\times3^2\qquad24=2^3\times3$$

Escolhemos os fatores comuns com os menores expoentes:

$$\operatorname{MDC}(18,24)=2\times3=6$$

Também podemos calcular o MDC pela decomposição simultânea. Nesse procedimento, dividimos os dois números ao mesmo tempo somente pelos fatores primos comuns:

18  242
9  123
3  4
$$\operatorname{MDC}(18,24)=2\times3=6$$

O MDC aparece em grupos iguais, maior tamanho possível e divisão sem sobras. Se o MDC de dois números é 1, eles são primos entre si.

Situação-problema com MDC. Para uma atividade escolar, uma professora possui 48 lápis de cor e 36 borrachas. Ela deseja montar a maior quantidade possível de kits idênticos, utilizando todo o material e sem deixar sobras. Como $\operatorname{MDC}(48,36)=12$, podem ser formados 12 kits. Cada kit receberá $48\div12=4$ lápis de cor e $36\div12=3$ borrachas.

Mínimo múltiplo comum

O MMC é o menor múltiplo comum positivo. Na decomposição simultânea, colocamos os números lado a lado, dividimos por primos e repetimos os que não forem divisíveis:

12  182
6  92
3  93
1  33
1  1
$$\operatorname{MMC}(12,18)=2^2\times3^2=36$$

Nas fatorações individuais, escolhemos todos os fatores, comuns ou não, com os maiores expoentes. O MMC aparece em coincidências, repetições e na menor quantidade divisível por várias quantidades.

Situação-problema com MMC. Durante uma mostra escolar, uma apresentação de Matemática começa a cada 12 minutos e uma demonstração de robótica começa a cada 18 minutos. As duas atividades começaram juntas às 9h. Como $\operatorname{MMC}(12,18)=36$, elas voltarão a começar juntas 36 minutos depois, às 9h36.

SituaçãoProcedimento
maior tamanho ou maior número de grupos iguaisMDC
primeira coincidência ou menor quantidade divisívelMMC

Não escolha apenas pelas palavras “maior” ou “menor”. No MDC procuramos um divisor; no MMC, um múltiplo.

Prática imediata 3

Prática imediata 3

1. Com as listas de divisores, calcule $\operatorname{MDC}(20,30)$.
2. Fatore e calcule MDC de (24,40), (36,48) e (45,60).
3. Verifique se (8,15), (12,18), (9,20) e (14,21) são primos entre si.
4. Forme o maior número de conjuntos com 32 lápis e 48 borrachas.
5. Corte fitas de 42 cm e 56 cm no maior tamanho igual possível.
6. Pelas listas, calcule $\operatorname{MMC}(4,6)$ e explique por que zero não é escolhido.
7. Calcule verticalmente MMC de (8,12), (15,20) e (18,24).
8. Usando $30=2\times3\times5$ e $45=3^2\times5$, calcule MDC e MMC.
9. Eventos a cada 10 e 15 minutos coincidiram às 9h. Quando coincidirão novamente?
10. Escolha MDC ou MMC em: corte máximo; ônibus que coincidem; maior número de grupos; menor quantidade em grupos de 6 e 8; três sinais periódicos.
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Resumo

  • Múltiplos vêm de multiplicações; divisores produzem divisões exatas.
  • Critérios de divisibilidade agilizam verificações.
  • Primos têm dois divisores positivos; compostos têm mais de dois.
  • Fatoração escreve compostos como produtos de primos.
  • No MDC usamos fatores comuns com menores expoentes.
  • No MMC usamos todos os fatores com maiores expoentes.
Atividades de aprofundamento

Atividades de aprofundamento

1. Entre 1 e 40, liste múltiplos de 4 e 6, os comuns e o MMC.
2. Determine divisores de 60 por pares, quantidade, classificação e divisores primos.
3. Julgue as afirmações: a) 96 é múltiplo de 12; b) 8 é divisor de 96; c) 15 é divisor de 100; d) 7 é múltiplo de 49; e) 1 é divisor de 237; f) 0 é múltiplo de 18.
4. Organize 84 estudantes em equipes iguais. Liste todas as quantidades possíveis de equipes e indique quantos estudantes haverá em cada uma.
5. Verifique divisibilidade de 360, 1.224, 2.835, 4.032 e 7.290 por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.
6. Com os algarismos 0, 2, 4, 5 e 7, sem repetir algarismos em cada número, forme números de três algarismos: a) divisível por 2; b) divisível por 5, mas não por 10; c) divisível por 10; d) divisível por 3; e) divisível por 6.
7. Complete algarismos: $42\square$ por 3; $7\square5$ por 9; $31\square$ por 4; $6\square4$ por 6.
8. Classifique 23, 27, 37, 49, 53, 57, 61 e 69 e apresente fatores dos compostos.
9. Encontre todos os pares de números primos menores que 50 cuja diferença seja 2 e os primos entre 20 e 30.
10. Fatore verticalmente 56, 90, 126, 240 e 315.
11. Compare árvores de 72 iniciadas por $8\times9$ e $6\times12$.
12. Calcule $2^3\times3$, $2\times3^2\times5$, $2^4\times5^2$, $3^3\times7$, $2^2\times3\times5\times11$.
13. Por listas, calcule MDC de (16,28), (27,45), (35,48) e identifique primos entre si.
14. Por fatoração, calcule MDC de (48,72), (60,90), (84,126), (120,180).
15. Corte 96 cm e 144 cm em faixas iguais de maior comprimento; determine tamanhos e quantidades.
16. Monte o maior número de conjuntos com 72 cadernos, 48 lápis e 60 borrachas.
17. Calcule verticalmente MMC de (10,15), (12,20), (18,30), (24,36).
18. Sinais a cada 6, 8 e 12 minutos coincidem às 10h. Determine a próxima coincidência.
19. Encontre a menor quantidade que pode ser separada, sem sobras, em grupos de 12, 15 ou 20 elementos. Determine a quantidade de grupos em cada caso.
20. Desafio. Apresentações ocorrem a cada 18, 24 e 30 minutos e começam juntas às 8h. Calcule o MMC vertical, determine a próxima coincidência e conte quantos inícios de cada apresentação ocorrerão das 8h até essa coincidência, incluindo os dois horários.

Gabaritos

Prática imediata 1

1. $M(3)=\{0,3,6,9,12,15\}$; $M(5)=\{0,5,10,15,20,25\}$; $M(8)=\{0,8,16,24,32,40\}$; $M(12)=\{0,12,24,36,48,60\}$. 2. sim, sim, não, sim. 3. $M(6)=\{0,6,12,18,24,30\}$; $M(9)=\{0,9,18,27,36,45\}$; $M(15)=\{0,15,30,45,60,75\}$. 4. 0, 15 e 30. 5. $D(10)=\{1,2,5,10\}$; $D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}$; $D(25)=\{1,5,25\}$; $D(32)=\{1,2,4,8,16,32\}$. 6. sim, sim, não, sim. 7. pares: $1\times48$, $2\times24$, $3\times16$, $4\times12$ e $6\times8$; $D(48)=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}$. 8. múltiplo, divisor, múltiplo, divisor. 9. V, V, F, V, F. A quantidade de divisores de um natural não nulo é finita, e zero não pode ser divisor. 10. a) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ou 36 estudantes por grupo; b) não; c) 6 grupos; d) 4 estudantes.

Prática imediata 2

1. 240: 2,5,10; 315: 5; 428: 2; 1.750: 2,5,10. 2. 234 e 729 por 3 e 9; 1.425 apenas por 3; 5.318 por nenhum. 3. sim, sim, não, não. 4. sim, não, sim, sim. 5. 0,2,4,6,8; 0,5; 0,3,6,9; 1. 6. primos: 2,17,31,47; demais compostos. 7. zero e um não são primos nem compostos. 8. 13 e 29 primos; 20 e 33 compostos. 9. $24=2^3\times3$; $45=3^2\times5$; $72=2^3\times3^2$; $100=2^2\times5^2$. 10. $180=2^2\times3^2\times5$.

Prática imediata 3

1. 10. 2. 8; 12; 15. 3. primos entre si: (8,15) e (9,20). 4. 16 conjuntos, 2 lápis e 3 borrachas. 5. 14 cm; 3 e 4 pedaços. 6. 12; MMC é positivo. 7. 24; 60; 72. 8. MDC 15; MMC 90. 9. 30 minutos, às 9h30. 10. MDC, MMC, MDC, MMC, MMC.

Atividades de aprofundamento

1. múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 e 40; múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30 e 36; comuns: 12, 24 e 36; MMC 12. 2. $D(60)=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$; 12 divisores; composto; divisores primos 2, 3 e 5. 3. V, V, F, F, V, V. 4. possibilidades de equipes: 1 de 84; 2 de 42; 3 de 28; 4 de 21; 6 de 14; 7 de 12; 12 de 7; 14 de 6; 21 de 4; 28 de 3; 42 de 2; 84 de 1. 5. 360: todos; 1.224: 2, 3, 4, 6, 8 e 9; 2.835: 3, 5 e 9; 4.032: 2, 3, 4, 6, 8 e 9; 7.290: 2, 3, 5, 6, 9 e 10. 6. respostas possíveis: 742; 245; 420; 240; 750. 7. 0, 3, 6 ou 9; 6; 2 ou 6; 2, 5 ou 8. 8. primos: 23, 37, 53 e 61; compostos: $27=3\times9$, $49=7\times7$, $57=3\times19$ e $69=3\times23$. 9. pares: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31) e (41,43); entre 20 e 30: 23 e 29. 10. $56=2^3\times7$; $90=2\times3^2\times5$; $126=2\times3^2\times7$; $240=2^4\times3\times5$; $315=3^2\times5\times7$.

11. ambas dão $72=2^3\times3^2$. 12. 24; 90; 400; 189; 660. 13. 4; 9; 1; primos entre si 35 e 48. 14. 24; 30; 42; 60. 15. 48 cm; 2 e 3 faixas, total 5. 16. 12 conjuntos: 6 cadernos, 4 lápis e 5 borrachas. 17. 30; 60; 90; 72. 18. 24 minutos, às 10h24. 19. 60 elementos; 5, 4 e 3 grupos. 20. MMC 360 min = 6h; próxima coincidência às 14h; 21 inícios da apresentação de 18 minutos, 16 da apresentação de 24 minutos e 13 da apresentação de 30 minutos.