Múltiplos e divisores

Múltiplos e divisores ajudam a organizar grupos iguais, verificar divisões sem sobras e descobrir quando acontecimentos periódicos voltarão a coincidir.

Múltiplos

Os múltiplos de um natural são os resultados de sua multiplicação pelos naturais:

$$M(4)=\{0,4,8,12,16,20,\ldots\}$$

$35$ é múltiplo de $5$, pois $5\times7=35$. Uma divisão exata também confirma a relação. Todo natural é múltiplo de 1 e de si mesmo; zero é múltiplo de todo natural; e todo natural não nulo possui infinitos múltiplos.

Comparando $M(4)$ e $M(6)$, encontramos múltiplos comuns como $0,12,24,36,\ldots$.

Divisores

Um natural positivo é divisor de outro quando a divisão é exata:

$$D(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$$

Podemos usar pares de fatores. Para 24: $1\times24$, $2\times12$, $3\times8$ e $4\times6$. Logo:

$$D(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$

O número 1 divide todo natural; todo natural não nulo divide a si mesmo; e a quantidade de divisores positivos é finita. Zero não pode ser divisor, pois não existe divisão por zero.

Relação entre múltiplo e divisor

Se $7\times8=56$, então 56 é múltiplo de 7 e de 8, enquanto 7 e 8 são divisores de 56.

Pratique múltiplos e divisores →

Prática imediata 1

1. Escreva os seis primeiros múltiplos de 3, 5, 8 e 12, começando por zero.
2. Verifique se 42 é múltiplo de 7; 65 de 5; 74 de 8; 108 de 12.
3. Complete $M(6)$, $M(9)$ e $M(15)$ até o quinto múltiplo positivo.
4. Indique os múltiplos comuns apresentados em $M(3)$ e $M(5)$ até 30.
5. Determine $D(10)$, $D(18)$, $D(25)$ e $D(32)$.
6. Verifique se 4 divide 36; 6 divide 54; 7 divide 45; 12 divide 96.
7. Complete os pares de fatores de 48 e liste seus divisores.
8. Complete com múltiplo ou divisor usando $6\times7=42$ e $9\times8=72$.
9. Julgue: todo natural é múltiplo de 1; zero é múltiplo de todo natural; há infinitos divisores; 1 divide todo natural; zero pode ser divisor.
10. Forme grupos iguais com 36 estudantes: possibilidades, grupos de 5, grupos de 6 e divisão em 9 grupos.
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Critérios de divisibilidade

DivisorCritério
2termina em 0, 2, 4, 6 ou 8
3soma dos algarismos divisível por 3
4dois últimos algarismos divisíveis por 4
5termina em 0 ou 5
6divisível por 2 e por 3
8três últimos algarismos divisíveis por 8
9soma dos algarismos divisível por 9
10termina em 0
100termina em 00
1.000termina em 000

$528$ é divisível por 3 porque $5+2+8=15$. $1.316$ é divisível por 4 porque 16 é divisível por 4. $354$ é divisível por 6 porque é par e $3+5+4=12$.

Números primos e compostos

Um natural maior que 1 é primo quando possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. É composto quando possui mais de dois. Zero e um não são primos nem compostos. O 2 é o único primo par.

$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$$

são os primos menores que 50. Ser ímpar não basta: $D(9)=\{1,3,9\}$, portanto 9 é composto.

Decomposição em fatores primos

Todo natural composto pode ser escrito como produto de primos. Podemos usar árvore de fatores ou divisões sucessivas. O formato vertical será nosso procedimento principal:

602
302
153
55
1
$$60=2\times2\times3\times5=2^2\times3\times5$$

O processo termina em 1. Verificamos multiplicando os fatores. Árvores diferentes levam à mesma fatoração final, desconsiderando a ordem dos fatores.

Pratique divisibilidade e fatoração →

Prática imediata 2

1. Para 240, 315, 428 e 1.750, verifique divisibilidade por 2, 5 e 10.
2. Verifique divisibilidade por 3 e 9 em 234, 729, 1.425 e 5.318.
3. Verifique: 1.216 por 4; 3.024 por 8; 2.738 por 4; 4.150 por 8.
4. Verifique por 6: 138, 245, 714 e 1.032.
5. Complete algarismos em $35\square$ por 2; $47\square$ por 5; $12\square$ por 3; $8\square0$ por 9.
6. Classifique 2, 9, 17, 21, 31, 39, 47 e 51.
7. Explique a classificação de zero e um.
8. Liste divisores e classifique 13, 20, 29 e 33.
9. Fatore verticalmente 24, 45, 72 e 100.
10. Fatore 180 e verifique o produto.
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Máximo divisor comum

O MDC é o maior divisor positivo comum. Como os divisores comuns de 18 e 24 são $1,2,3,6$:

$$\operatorname{MDC}(18,24)=6$$

Pelas fatorações:

$$18=2\times3^2\qquad24=2^3\times3$$

Escolhemos os fatores comuns com os menores expoentes:

$$\operatorname{MDC}(18,24)=2\times3=6$$

O MDC aparece em grupos iguais, maior tamanho possível e divisão sem sobras. Se o MDC de dois números é 1, eles são primos entre si.

Mínimo múltiplo comum

O MMC é o menor múltiplo comum positivo. Na decomposição simultânea, colocamos os números lado a lado, dividimos por primos e repetimos os que não forem divisíveis:

12  182
6  92
3  93
1  33
1  1
$$\operatorname{MMC}(12,18)=2^2\times3^2=36$$

Nas fatorações individuais, escolhemos todos os fatores, comuns ou não, com os maiores expoentes. O MMC aparece em coincidências, repetições e na menor quantidade divisível por várias quantidades.

SituaçãoProcedimento
maior tamanho ou maior número de grupos iguaisMDC
primeira coincidência ou menor quantidade divisívelMMC

Não escolha apenas pelas palavras “maior” ou “menor”. No MDC procuramos um divisor; no MMC, um múltiplo.

Pratique MDC e MMC →

Prática imediata 3

1. Com as listas de divisores, calcule $\operatorname{MDC}(20,30)$.
2. Fatore e calcule MDC de (24,40), (36,48) e (45,60).
3. Verifique se (8,15), (12,18), (9,20) e (14,21) são primos entre si.
4. Forme o maior número de conjuntos com 32 lápis e 48 borrachas.
5. Corte fitas de 42 cm e 56 cm no maior tamanho igual possível.
6. Pelas listas, calcule $\operatorname{MMC}(4,6)$ e explique por que zero não é escolhido.
7. Calcule verticalmente MMC de (8,12), (15,20) e (18,24).
8. Usando $30=2\times3\times5$ e $45=3^2\times5$, calcule MDC e MMC.
9. Eventos a cada 10 e 15 minutos coincidiram às 9h. Quando coincidirão novamente?
10. Escolha MDC ou MMC em: corte máximo; ônibus que coincidem; maior número de grupos; menor quantidade em grupos de 6 e 8; três sinais periódicos.
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Resumo

  • Múltiplos vêm de multiplicações; divisores produzem divisões exatas.
  • Critérios de divisibilidade agilizam verificações.
  • Primos têm dois divisores positivos; compostos têm mais de dois.
  • Fatoração escreve compostos como produtos de primos.
  • No MDC usamos fatores comuns com menores expoentes.
  • No MMC usamos todos os fatores com maiores expoentes.

Atividades de aprofundamento

1. Entre 1 e 40, liste múltiplos de 4 e 6, os comuns e o MMC.
2. Determine divisores de 60 por pares, quantidade, classificação e divisores primos.
3. Julgue relações: 96 e 12; 8 e 96; 15 e 100; 7 e 49; 1 e 237; 0 e 18.
4. Organize 84 estudantes em equipes iguais e relacione às divisões possíveis.
5. Verifique divisibilidade de 360, 1.224, 2.835, 4.032 e 7.290 por 2,3,4,5,6,8,9,10.
6. Com 0,2,4,5,7 sem repetir, forme números divisíveis por 2, 5 não 10, 10, 3 e 6.
7. Complete algarismos: $42\square$ por 3; $7\square5$ por 9; $31\square$ por 4; $6\square4$ por 6.
8. Classifique 23,27,37,49,53,57,61,69 e apresente fatores dos compostos.
9. Encontre pares de primos menores que 50 com diferença 2 e os primos entre 20 e 30.
10. Fatore verticalmente 56, 90, 126, 240 e 315.
11. Compare árvores de 72 iniciadas por $8\times9$ e $6\times12$.
12. Calcule $2^3\times3$, $2\times3^2\times5$, $2^4\times5^2$, $3^3\times7$, $2^2\times3\times5\times11$.
13. Por listas, calcule MDC de (16,28), (27,45), (35,48) e identifique primos entre si.
14. Por fatoração, calcule MDC de (48,72), (60,90), (84,126), (120,180).
15. Corte 96 cm e 144 cm em faixas iguais de maior comprimento; determine tamanhos e quantidades.
16. Monte o maior número de conjuntos com 72 cadernos, 48 lápis e 60 borrachas.
17. Calcule verticalmente MMC de (10,15), (12,20), (18,30), (24,36).
18. Sinais a cada 6, 8 e 12 minutos coincidem às 10h. Determine nova coincidência.
19. Encontre a menor quantidade agrupável em 12, 15 ou 20 sem sobras e determine grupos.
20. Desafio. Apresentações a cada 18, 24 e 30 minutos começam às 8h. Calcule MMC vertical, próxima coincidência e número de inícios de cada apresentação.

Gabaritos

Prática imediata 1

1. $M(3)=\{0,3,6,9,12,15\}$; $M(5)=\{0,5,10,15,20,25\}$; $M(8)=\{0,8,16,24,32,40\}$; $M(12)=\{0,12,24,36,48,60\}$. 2. sim, sim, não, sim. 3. 18,24,30; 18,36; 15,45. 4. 0,15,30. 5. $D(10)=\{1,2,5,10\}$; $D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}$; $D(25)=\{1,5,25\}$; $D(32)=\{1,2,4,8,16,32\}$. 6. sim, sim, não, sim. 7. $D(48)=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}$. 8. múltiplo, divisor, múltiplo, divisor. 9. V,V,F,V,F. 10. divisores de 36; não; 6 grupos; 4 estudantes.

Prática imediata 2

1. 240: 2,5,10; 315: 5; 428: 2; 1.750: 2,5,10. 2. 234 e 729 por 3 e 9; 1.425 apenas por 3; 5.318 por nenhum. 3. sim, sim, não, não. 4. sim, não, sim, sim. 5. 0,2,4,6,8; 0,5; 0,3,6,9; 1. 6. primos: 2,17,31,47; demais compostos. 7. zero e um não são primos nem compostos. 8. 13 e 29 primos; 20 e 33 compostos. 9. $24=2^3\times3$; $45=3^2\times5$; $72=2^3\times3^2$; $100=2^2\times5^2$. 10. $180=2^2\times3^2\times5$.

Prática imediata 3

1. 10. 2. 8; 12; 15. 3. primos entre si: (8,15) e (9,20). 4. 16 conjuntos, 2 lápis e 3 borrachas. 5. 14 cm; 3 e 4 pedaços. 6. 12; MMC é positivo. 7. 24; 60; 72. 8. MDC 15; MMC 90. 9. 30 minutos, às 9h30. 10. MDC, MMC, MDC, MMC, MMC.

Atividades de aprofundamento

1. comuns 12,24,36; MMC 12. 2. 12 divisores; composto; primos 2,3,5. 3. V,V,F,F,V,V. 4. $D(84)=\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84\}$; 12 equipes de 7 ou 6 de 14. 5. 360: todos; 1.224: 2,3,4,6,8,9; 2.835: 3,5,9; 4.032: 2,3,4,6,8,9; 7.290: 2,3,5,6,9,10. 6. respostas possíveis: 742;245;420;240;750. 7. 0,3,6,9; 6; 2,6; 2,5,8. 8. primos 23,37,53,61; compostos 27,49,57,69. 9. exemplos 3/5,5/7,17/19; entre 20 e 30: 23,29. 10. $56=2^3\times7$; $90=2\times3^2\times5$; $126=2\times3^2\times7$; $240=2^4\times3\times5$; $315=3^2\times5\times7$.

11. ambas dão $72=2^3\times3^2$. 12. 24;90;400;189;660. 13. 4;9;1; primos entre si 35 e 48. 14. 24;30;42;60. 15. 48 cm; 2 e 3 faixas, total 5. 16. 12 conjuntos: 6 cadernos, 4 lápis, 5 borrachas. 17. 30;60;90;72. 18. 24 minutos, 10h24; sinal de 6 min emite 4 vezes após o início. 19. 60 brindes; 5,4,3 grupos. 20. MMC 360 min = 6h; 14h; A 20 vezes, B 15, C 12.