Frações: representação, comparação e operações

As frações aparecem quando dividimos algo em partes iguais, medimos uma quantidade ou comparamos uma parte com um todo. Nesta postagem, vamos construir esse conhecimento passo a passo, sempre observando o significado de cada cálculo.

Nesta postagem, você aprenderá a: interpretar, ler, representar, comparar e ordenar frações; reconhecer frações equivalentes; transformar números mistos; calcular a fração de uma quantidade; e realizar operações com frações.

1. Compreendendo as frações

Quando um inteiro é dividido em partes iguais, cada parte pode ser representada por uma fração. Em $\frac{3}{5}$, o número 3 é o numerador e indica quantas partes foram consideradas. O número 5 é o denominador e indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

Representação de três quintos 3 de 5 partes: 3/5

Leitura

Lemos $\frac{3}{5}$ como três quintos, $\frac{7}{10}$ como sete décimos e $\frac{13}{100}$ como treze centésimos. Para outros denominadores, podemos usar a expressão “avos”, como em $\frac{9}{20}$: nove vinte avos.

Diferentes significados

  • Parte de um todo: 3 partes de uma figura dividida em 8 partes iguais representam $\frac{3}{8}$.
  • Quociente: dividir 3 unidades igualmente entre 4 pessoas corresponde a $3\div4=\frac{3}{4}$.
  • Medida: uma fita pode medir $\frac{5}{2}$ de metro.
  • Fração de uma quantidade: $\frac{3}{4}$ de 20 corresponde a 15.

Frações na reta numérica

As frações também são números e podem ser localizadas na reta. Na representação abaixo, cada unidade foi dividida em quatro partes iguais. Por isso, de 0 a 2 aparecem oito intervalos, e cada intervalo representa $\frac14$.

Observe também que $\frac44=1$ e $\frac84=2$. Isso mostra que uma fração pode representar um número natural.

Reta numérica dividida em quartos01/42/43/44/4= 15/46/47/48/4= 2

Classificação e números mistos

  • Própria: numerador menor que o denominador, como $\frac58$.
  • Imprópria: numerador maior que o denominador, como $\frac94$.
  • Aparente: representa um número natural, como $\frac{12}{3}=4$.
Exemplo: $\frac{11}{4}=2\frac34$, pois $11\div4=2$ e o resto é 3. No sentido inverso, $3\frac25=\frac{3\times5+2}{5}=\frac{17}{5}$.

Fração de uma quantidade

Para calcular $\frac38$ de 40, dividimos 40 em 8 partes e tomamos 3: $40\div8=5$ e $5\times3=15$.
Pratique representação e classificação de frações

Atividades

  1. Identifique numerador e denominador: $\frac37$, $\frac9{10}$, $\frac{11}{15}$ e $\frac{25}{100}$.
  2. Escreva por extenso: $\frac25$, $\frac78$, $\frac3{10}$, $\frac9{20}$ e $\frac{17}{100}$.
  3. Escreva em fração: três quartos, cinco sextos, sete décimos, onze quinze avos e vinte e três centésimos.
  4. Uma barra foi dividida em 12 pedaços e 5 foram consumidos. Represente a parte consumida, a parte restante e o inteiro.
  5. Classifique: $\frac58$, $\frac94$, $\frac{12}{3}$, $\frac7{10}$, $\frac{15}{15}$ e $\frac{19}{6}$.
  6. Transforme em número misto: $\frac74$, $\frac{11}{3}$, $\frac{17}{5}$ e $\frac{29}{6}$.
  7. Transforme em fração imprópria: $1\frac23$, $2\frac14$, $3\frac57$ e $5\frac38$.
  8. Calcule: $\frac12$ de 30, $\frac34$ de 28, $\frac25$ de 45 e $\frac78$ de 64.
  9. De 32 estudantes, $\frac58$ participaram de uma atividade. Quantos participaram? Quantos não participaram? Qual fração não participou?
  10. Descubra o total: $\frac23$ corresponde a 14; $\frac45$ corresponde a 24.

2. Equivalência, comparação, adição e subtração

Frações equivalentes representam a mesma quantidade. Multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número diferente de zero.

Frações equivalentes1/22/44/8

Para verificar equivalência, podemos usar produtos cruzados: $\frac ab=\frac cd$ quando $a\times d=b\times c$. Simplificar uma fração é escrever uma equivalente com termos menores. Por exemplo, $\frac{18}{24}=\frac34$.

Comparação

  • Com denominadores iguais, é maior a fração com maior numerador.
  • Com numeradores iguais, é maior a fração com menor denominador.
  • Com termos diferentes, podemos obter denominadores comuns ou usar produtos cruzados.
Comparando $\frac23$ e $\frac34$: $2\times4=8$ e $3\times3=9$. Como $8<9$, temos $\frac23<\frac34$.

Adição e subtração

Com denominadores iguais, conservamos o denominador e operamos os numeradores. Com denominadores diferentes, primeiro obtemos frações equivalentes com denominador comum.

$\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56$
$\frac34-\frac25=\frac{15}{20}-\frac8{20}=\frac7{20}$
Pratique equivalência, comparação, adição e subtração

Atividades

  1. Complete: $\frac12=\frac{?}{8}$; $\frac35=\frac9{?}$; $\frac47=\frac{20}{?}$; $\frac?{18}=\frac23$.
  2. Verifique: $\frac23$ e $\frac{10}{15}$; $\frac45$ e $\frac{12}{15}$; $\frac37$ e $\frac9{21}$; $\frac56$ e $\frac{15}{20}$.
  3. Simplifique: $\frac8{12}$, $\frac{18}{24}$, $\frac{35}{49}$, $\frac{42}{70}$ e $\frac{36}{48}$.
  4. Compare usando <, > ou =: $\frac38$ e $\frac58$; $\frac47$ e $\frac49$; $\frac56$ e 1; $\frac{11}{8}$ e 1; $\frac23$ e $\frac34$.
  5. Ordene: $\frac12$, $\frac56$, $\frac23$ e $\frac34$.
  6. Obtenha denominadores comuns: $\frac13$ e $\frac25$; $\frac34$ e $\frac56$; $\frac12$, $\frac23$ e $\frac5{12}$.
  7. Calcule: $\frac29+\frac49$; $\frac{11}{15}-\frac4{15}$; $\frac7{12}+\frac3{12}$; $\frac{13}{20}-\frac8{20}$.
  8. Calcule: $\frac12+\frac13$; $\frac34-\frac25$; $\frac56+\frac14$; $\frac78-\frac16$.
  9. Calcule: $1\frac12+2\frac14$; $3\frac23-1\frac16$; $2\frac35+\frac34$.
  10. Um reservatório tinha $\frac56$ de sua capacidade e foram consumidos $\frac14$ da capacidade total. Quanto restou? É mais ou menos da metade?

3. Multiplicação, divisão, potências e expressões

Multiplicação

Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Sempre que possível, simplificamos antes ou depois do cálculo.

$\frac23\times\frac57=\frac{10}{21}$. Para calcular $\frac34$ de $\frac25$, fazemos $\frac34\times\frac25=\frac3{10}$.

Divisão

Dividir por uma fração corresponde a multiplicar pelo seu inverso. O inverso de $\frac ab$, com $a\ne0$, é $\frac ba$.

$\frac34\div\frac25=\frac34\times\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.

Potências, raízes e expressões

Em uma potência, elevamos o numerador e o denominador ao expoente: $\left(\frac23\right)^2=\frac49$. Em raízes exatas, calculamos a raiz do numerador e do denominador: $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45$. Nas expressões, resolvemos primeiro parênteses, potências e raízes; depois multiplicações e divisões; por último, adições e subtrações.

Pratique multiplicação, divisão, potências e expressões

Atividades

  1. Calcule: $\frac23\times\frac57$; $\frac34\times\frac89$; $\frac5{12}\times\frac6{25}$; $\frac7{10}\times\frac{15}{21}$.
  2. Calcule: $\frac35\times10$; $8\times\frac7{12}$; $\frac9{14}\times7$; $12\times\frac58$.
  3. Calcule: $1\frac12\times2\frac23$; $2\frac14\times1\frac13$; $3\frac15\times\frac58$.
  4. Determine o inverso de $\frac27$, $\frac{11}{5}$, 8 e $\frac1{13}$. Explique por que zero não tem inverso.
  5. Calcule: $\frac34\div\frac25$; $\frac78\div\frac{14}{15}$; $\frac59\div\frac{10}{27}$; $\frac{11}{12}\div\frac{22}{9}$.
  6. Calcule: $\frac56\div3$; $4\div\frac23$; $\frac79\div7$; $5\div\frac{10}{3}$.
  7. Calcule: $\left(\frac23\right)^2$; $\left(\frac35\right)^3$; $\sqrt{\frac{16}{25}}$; $\sqrt{\frac{49}{81}}$; $\left(\frac7{11}\right)^0$.
  8. Resolva: $\frac12+\frac34\times\frac23$; $\frac78-\frac12\div4$; $\left(\frac13+\frac16\right)\times\frac45$; $\left(\frac12\right)^2+\sqrt{\frac9{16}}$.
  9. Uma receita usa $\frac34$ de xícara. Quanto será usado para fazer $\frac23$ da receita?
  10. Uma fita de $2\frac14$ m será cortada em pedaços de $\frac38$ m. Quantos pedaços serão obtidos? Haverá sobra?

Atividades de aprofundamento

Estas atividades reúnem os conhecimentos da postagem. Resolva-as antes de consultar o gabarito.

  1. Uma caixa tem 24 lápis, sendo 9 azuis. Determine a fração azul, simplifique-a, determine a fração não azul e compare a primeira com a metade.
  2. Para $\frac34$, $\frac54$ e $\frac74$: indique quais estão entre 0 e 1, quais são maiores que 1, transforme as impróprias em números mistos e ordene.
  3. Transforme: $\frac{13}{4}$ e $\frac{22}{5}$ em números mistos; $2\frac37$ e $5\frac16$ em frações impróprias.
  4. De 64 livros, $\frac38$ foram retirados. Quantos foram retirados, quantos ficaram e que fração permaneceu?
  5. Vinte figurinhas são $\frac47$ de uma coleção. Qual é o total e quantas faltam?
  6. Simplifique $\frac{18}{24}$ e $\frac{35}{49}$. Verifique se $\frac68=\frac9{12}$ e se $\frac{10}{15}=\frac{14}{21}$.
  7. Ordene $\frac23$, $\frac34$, $\frac56$ e $\frac7{12}$.
  8. Escreva com o menor denominador comum: $\frac38$ e $\frac5{12}$; depois $\frac25$, $\frac3{10}$ e $\frac7{20}$.
  9. Calcule: $\frac56+\frac38$; $\frac7{10}-\frac14$; $\frac{11}{12}-\frac5{18}$.
  10. Calcule: $2\frac13+1\frac34$ e $5\frac16-2\frac23$.
  11. Uma família percorreu $\frac38$ de um caminho pela manhã e $\frac5{12}$ à tarde. Quanto percorreu, quanto falta e já superou $\frac34$?
  12. Calcule: $\frac47\times\frac{21}{8}$; $\frac59\times\frac3{10}$; $1\frac12\times\frac23$.
  13. Uma receita usa $\frac35$ de xícara de leite. Quanto será necessário para preparar $\frac23$ da receita?
  14. Calcule $\frac56\div\frac{10}{9}$ e explique o uso do inverso.
  15. Uma fita de $3\frac12$ m será dividida em pedaços de $\frac7{12}$ m. Quantos pedaços serão obtidos? Haverá sobra?
  16. Calcule: $\left(\frac34\right)^2$; $\left(\frac25\right)^3$; $\sqrt{\frac{81}{121}}$; $\sqrt{\frac{36}{49}}$.
  17. Resolva: $\frac34+\frac23\times\frac38$; $\left(\frac56-\frac13\right)\div\frac12$; $\left(\frac12\right)^2+\sqrt{\frac1{16}}$.
  18. Explique os erros e corrija: $\frac23+\frac14=\frac37$ e $\frac35\div\frac27=\frac6{35}$.
  19. Uma estante tem 48 livros. $\frac38$ são de Ciências. Dos restantes, $\frac25$ são de Literatura. Determine cada quantidade e quantos não pertencem a essas categorias.
  20. Um reservatório cheio teve $\frac25$ da capacidade usada pela manhã e $\frac14$ à tarde. Restaram 42 L. Determine as frações usada e restante, a capacidade e os litros usados em cada período.

Gabarito

Abra cada parte somente depois de resolver as atividades.

Gabarito do Pratique 1
  1. Numeradores: 3, 9, 11, 25; denominadores: 7, 10, 15, 100.
  2. Dois quintos; sete oitavos; três décimos; nove vinte avos; dezessete centésimos.
  3. $\frac34$; $\frac56$; $\frac7{10}$; $\frac{11}{15}$; $\frac{23}{100}$.
  4. $\frac5{12}$; $\frac7{12}$; $\frac{12}{12}=1$.
  5. Própria; imprópria; aparente; própria; aparente; imprópria.
  6. $1\frac34$; $3\frac23$; $3\frac25$; $4\frac56$.
  7. $\frac53$; $\frac94$; $\frac{26}{7}$; $\frac{43}{8}$.
  8. 15; 21; 18; 56.
  9. 20 participaram; 12 não participaram; $\frac38$ não participou.
  10. 21 e 30.
Gabarito do Pratique 2
  1. 4; 15; 35; 12.
  2. Equivalentes; equivalentes; equivalentes; não equivalentes.
  3. $\frac23$; $\frac34$; $\frac57$; $\frac35$; $\frac34$.
  4. $<$; $>$; $<$; $>$; $<$.
  5. $\frac12<\frac23<\frac34<\frac56$.
  6. $\frac5{15}$ e $\frac6{15}$; $\frac9{12}$ e $\frac{10}{12}$; $\frac6{12}$, $\frac8{12}$ e $\frac5{12}$.
  7. $\frac23$; $\frac7{15}$; $\frac56$; $\frac14$.
  8. $\frac56$; $\frac7{20}$; $1\frac1{12}$; $\frac{17}{24}$.
  9. $3\frac34$; $2\frac12$; $3\frac7{20}$.
  10. $\frac7{12}$; mais da metade.
Gabarito do Pratique 3
  1. $\frac{10}{21}$; $\frac23$; $\frac1{10}$; $\frac12$.
  2. 6; $4\frac23$; $4\frac12$; $7\frac12$.
  3. 4; 3; 2.
  4. $\frac72$; $\frac5{11}$; $\frac18$; 13. Zero não possui inverso porque nenhum número multiplicado por zero resulta em 1.
  5. $1\frac78$; $\frac{15}{16}$; $1\frac12$; $\frac38$.
  6. $\frac5{18}$; 6; $\frac19$; $1\frac12$.
  7. $\frac49$; $\frac{27}{125}$; $\frac45$; $\frac79$; 1.
  8. 1; $\frac34$; $\frac25$; 1.
  9. $\frac12$ de xícara.
  10. 6 pedaços, sem sobra.
Gabarito das 20 atividades de aprofundamento
  1. $\frac9{24}=\frac38$; não azuis: $\frac58$; menos da metade.
  2. $\frac34$ está entre 0 e 1; as outras são maiores que 1; $\frac54=1\frac14$ e $\frac74=1\frac34$; ordem: $\frac34<\frac54<\frac74$.
  3. $3\frac14$; $4\frac25$; $\frac{17}{7}$; $\frac{31}{6}$.
  4. 24 retirados; 40 permaneceram; $\frac58$.
  5. Total 35; faltam 15.
  6. $\frac34$; $\frac57$; os dois pares são equivalentes.
  7. $\frac7{12}<\frac23<\frac34<\frac56$.
  8. $\frac9{24}$ e $\frac{10}{24}$; $\frac8{20}$, $\frac6{20}$ e $\frac7{20}$.
  9. $1\frac5{24}$; $\frac9{20}$; $\frac{23}{36}$.
  10. $4\frac1{12}$; $2\frac12$.
  11. Percorreu $\frac{19}{24}$; faltam $\frac5{24}$; sim, pois $\frac{19}{24}>\frac{18}{24}$.
  12. $1\frac12$; $\frac16$; 1.
  13. $\frac25$ de xícara.
  14. $\frac34$. Multiplica-se a primeira fração pelo inverso $\frac9{10}$.
  15. 6 pedaços, sem sobra.
  16. $\frac9{16}$; $\frac8{125}$; $\frac9{11}$; $\frac67$.
  17. 1; 1; $\frac12$.
  18. Na adição, é necessário obter denominador comum: $\frac{11}{12}$. Na divisão, multiplica-se pelo inverso: $\frac{21}{10}=2\frac1{10}$.
  19. 18 de Ciências; restam 30; 12 de Literatura; 18 de outras categorias.
  20. Usado: $\frac{13}{20}$; restante: $\frac7{20}$; capacidade: 120 L; manhã: 48 L; tarde: 30 L.
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