Potências, radicais e operações com números reais
Nesta postagem, vamos ampliar o estudo da potenciação e da radiciação. Além de retomar propriedades já conhecidas, estudaremos potências com expoentes negativos e fracionários, simplificação e operações com radicais, expressões com números reais e aplicações da notação científica.
O objetivo é compreender as relações entre potências e raízes e usar essas ideias na resolução de cálculos e problemas.
Habilidades da BNCC
EF09MA03: efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
EF09MA04: resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
1. Retomando a potenciação
Uma potência representa uma multiplicação de fatores iguais.
Em \(a^n\), o número \(a\) é a base e \(n\) é o expoente.
Exemplo resolvido 1. Calcule \(2^5\).
Propriedades importantes
| Propriedade | Regra |
|---|---|
| Produto de potências de mesma base | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) |
| Quociente de potências de mesma base | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \(a\neq0\) |
| Potência de potência | \((a^m)^n=a^{mn}\) |
| Potência de um produto | \((ab)^n=a^nb^n\) |
| Potência de um quociente | \(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), \(b\neq0\) |
2. Potências com expoente zero e expoente negativo
Para qualquer número real não nulo:
Observe:
Mas também:
Portanto:
Agora considere:
Por outro lado:
Assim:
De modo geral:
Exemplo resolvido 2. Calcule \(5^{-3}\).
Exemplo resolvido 3. Calcule \(\left(\frac23\right)^{-2}\).
O expoente negativo indica o inverso da base:
3. Potências com expoente fracionário
As potências com expoente fracionário estabelecem uma ligação direta entre potenciação e radiciação.
De forma geral:
Quando trabalhamos no conjunto dos números reais, devemos observar as condições de existência das raízes de índice par.
Exemplo resolvido 4. Calcule \(25^{\frac12}\).
Exemplo resolvido 5. Calcule \(8^{\frac23}\).
Também podemos calcular primeiro a raiz:
Não confunda: \(a^{\frac12}\) não significa \(\frac{a}{2}\). O expoente \(\frac12\) representa uma raiz quadrada.
4. Radiciação e seus elementos
Na expressão:
temos:
- \(n\): índice;
- \(a\): radicando;
- \(\sqrt{\phantom{a}}\): símbolo radical;
- \(b\): raiz.
A igualdade significa que:
Exemplo resolvido 6. Calcule \(\sqrt[3]{125}\).
Procuramos o número que elevado ao cubo resulta em 125:
Logo:
5. Propriedades dos radicais
Quando as expressões estão definidas no conjunto dos números reais, podemos usar propriedades como:
Essas propriedades são muito úteis para simplificar radicais e efetuar operações.
▶Pratique 1 — Potências e expoentes fracionários
1. Calcule \(2^{-3}\).
2. Calcule \(10^{-2}\).
3. Calcule \(\left(\frac34\right)^{-1}\).
4. Calcule \(49^{\frac12}\).
5. Calcule \(27^{\frac13}\).
6. Uma grandeza é representada por \(16^{\frac12}\). Qual é seu valor?
7. Uma expressão contém \(125^{\frac13}\). Determine seu valor.
8. Explique o significado de \(a^{-3}\), com \(a\neq0\).
9. Escreva \(\sqrt[3]{x^2}\) na forma de potência com expoente fracionário.
10. Calcule \(64^{\frac23}\).
6. Simplificação de radicais
Simplificar um radical significa escrevê-lo de uma forma equivalente e mais simples, retirando do radicando fatores que são potências perfeitas.
Exemplo resolvido 7. Simplifique \(\sqrt{12}\).
Exemplo resolvido 8. Simplifique \(\sqrt{50}\).
Exemplo resolvido 9. Simplifique \(\sqrt{72}\).
7. Radicais semelhantes
Radicais semelhantes possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.
Por exemplo:
são radicais semelhantes.
Já \(\sqrt2\) e \(\sqrt3\) não são semelhantes.
8. Adição e subtração de radicais
Somamos ou subtraímos diretamente apenas radicais semelhantes.
Exemplo resolvido 10.
Exemplo resolvido 11. Calcule \(\sqrt8+\sqrt{18}\).
Primeiro simplificamos:
Agora os radicais são semelhantes:
Não podemos afirmar que \(\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5\). A adição de radicais não segue essa regra.
9. Multiplicação de radicais
Quando os radicais possuem o mesmo índice:
Exemplo resolvido 12.
Exemplo resolvido 13.
10. Divisão de radicais
Para radicais de mesmo índice:
Exemplo resolvido 14.
▶Pratique 2 — Simplificação e operações com radicais
1. Simplifique \(\sqrt{20}\).
2. Simplifique \(\sqrt{45}\).
3. Simplifique \(\sqrt{98}\).
4. Calcule \(4\sqrt3+7\sqrt3\).
5. Calcule \(9\sqrt5-2\sqrt5\).
6. Calcule \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\).
7. Calcule \(\sqrt8\cdot\sqrt2\).
8. Calcule \((3\sqrt2)(2\sqrt5)\).
9. Calcule \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}\).
10. Um quadrado possui lado \(\sqrt{18}\) cm. Simplifique a medida do lado.
11. Operações com números reais
Ao calcular expressões com números reais, podemos trabalhar com valores exatos ou aproximações.
Exemplo resolvido 15. Calcule:
Exemplo resolvido 16. Determine um valor aproximado para \(3\sqrt2\), usando \(\sqrt2\approx1{,}414\).
12. Valor exato e valor aproximado
Uma expressão como:
é um valor exato.
Se usarmos \(\sqrt3\approx1{,}732\), obtemos:
que é um valor aproximado.
Quando a questão pedir o valor exato, mantenha o radical. Quando pedir aproximação decimal, use o símbolo \(\approx\).
13. Retomando a notação científica
A notação científica é utilizada para representar números muito grandes ou muito pequenos.
com:
e \(n\) inteiro.
Exemplo resolvido 17. Escreva 580 000 000 em notação científica.
Exemplo resolvido 18. Escreva 0,0000042 em notação científica.
14. Expoente positivo e expoente negativo na notação científica
Quando o número é muito grande, geralmente usamos expoente positivo:
Quando o número é muito pequeno, geralmente usamos expoente negativo:
15. Operações em notação científica
Multiplicação
Exemplo resolvido 19.
Divisão
Exemplo resolvido 20.
Ajustando a forma padrão
Exemplo resolvido 21.
Como 24 não está entre 1 e 10:
16. Problemas com notação científica
Exemplo resolvido 22. Uma bactéria mede aproximadamente \(2{,}5\cdot10^{-6}\) m. Qual seria o comprimento total de 1000 bactérias alinhadas?
Exemplo resolvido 23. Uma nave percorre \(3\cdot10^5\) km por dia durante \(2\cdot10^2\) dias. Qual é a distância total?
▶Pratique 3 — Números reais e notação científica
1. Escreva 7 200 000 em notação científica.
2. Escreva 0,000031 em notação científica.
3. Escreva \(4{,}5\cdot10^6\) na forma decimal.
4. Escreva \(8{,}2\cdot10^{-5}\) na forma decimal.
5. Calcule \((3\cdot10^4)(2\cdot10^5)\).
6. Uma célula possui diâmetro aproximado de \(8\cdot10^{-6}\) m. Qual é o comprimento de 100 células alinhadas?
7. Um satélite percorre \(4\cdot10^4\) km em cada volta e realiza \(3\cdot10^2\) voltas. Qual é a distância total?
8. Calcule \(\frac{9\cdot10^8}{3\cdot10^2}\).
9. Ajuste \(35\cdot10^7\) para a forma padrão da notação científica.
10. Explique por que \(12{,}4\cdot10^6\) não está na forma padrão da notação científica.
17. Expressões numéricas com números reais
Exemplo resolvido 24. Calcule:
Exemplo resolvido 25. Simplifique:
Primeiro:
Então:
▶Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Calcule \(3^{-2}\).
2. Calcule \(16^{\frac12}\).
3. Calcule \(27^{\frac23}\).
4. Escreva \(\sqrt[5]{a^3}\) como potência de expoente fracionário.
5. Simplifique \(\sqrt{32}\).
6. Simplifique \(\sqrt{75}\).
7. Calcule \(3\sqrt7+8\sqrt7\).
8. Calcule \(\sqrt{12}+\sqrt{48}\).
9. Calcule \(\sqrt6\cdot\sqrt{24}\).
10. Calcule \(\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}\).
11. Um quadrado possui lado \(\sqrt{50}\) cm. Escreva essa medida na forma simplificada.
12. Uma expressão possui valor exato \(4\sqrt3\). Usando \(\sqrt3\approx1{,}732\), determine uma aproximação.
13. Escreva 9 300 000 000 em notação científica.
14. Escreva 0,00000058 em notação científica.
15. Calcule \((5\cdot10^6)(4\cdot10^{-2})\) e escreva o resultado na forma padrão.
16. Calcule \(\frac{6\cdot10^9}{3\cdot10^4}\).
17. Uma partícula mede \(4\cdot10^{-9}\) m. Qual é o comprimento total de \(5\cdot10^6\) partículas alinhadas?
18. Calcule \(\sqrt{81}+2^{-1}\).
19. Simplifique \(3\sqrt{12}-\sqrt{27}\).
20. Explique a relação entre expoente fracionário e radiciação usando um exemplo.
▶Gabarito do Pratique 1
1. \(\frac18\). 2. \(\frac1{100}\). 3. \(\frac43\). 4. 7. 5. 3.
6. 4. 7. 5. 8. \(a^{-3}=\frac1{a^3}\). 9. \(x^{\frac23}\). 10. 16.
▶Gabarito do Pratique 2
1. \(2\sqrt5\). 2. \(3\sqrt5\). 3. \(7\sqrt2\). 4. \(11\sqrt3\). 5. \(7\sqrt5\).
6. \(5\sqrt3\). 7. 4. 8. \(6\sqrt{10}\). 9. 5. 10. \(3\sqrt2\) cm.
▶Gabarito do Pratique 3
1. \(7{,}2\cdot10^6\). 2. \(3{,}1\cdot10^{-5}\). 3. 4 500 000. 4. 0,000082.
5. \(6\cdot10^9\). 6. \(8\cdot10^{-4}\) m. 7. \(1{,}2\cdot10^7\) km. 8. \(3\cdot10^6\).
9. \(3{,}5\cdot10^8\). 10. Porque o primeiro fator deve ter módulo maior ou igual a 1 e menor que 10.
▶Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(\frac19\). 2. 4. 3. 9. 4. \(a^{\frac35}\). 5. \(4\sqrt2\).
6. \(5\sqrt3\). 7. \(11\sqrt7\). 8. \(6\sqrt3\). 9. 12. 10. 7.
11. \(5\sqrt2\) cm. 12. Aproximadamente 6,928. 13. \(9{,}3\cdot10^9\). 14. \(5{,}8\cdot10^{-7}\).
15. \(2\cdot10^5\). 16. \(2\cdot10^5\). 17. \(2\cdot10^{-2}\) m. 18. \(9+\frac12=9{,}5\).
19. \(3(2\sqrt3)-3\sqrt3=3\sqrt3\). 20. Exemplo: \(16^{\frac12}=\sqrt{16}=4\).
Para lembrar
Expoente negativo indica o inverso da potência correspondente.
Expoentes fracionários estão diretamente relacionados às raízes.
Radicais podem ser simplificados retirando fatores que são potências perfeitas.
Somamos e subtraímos diretamente apenas radicais semelhantes.
Na notação científica, o primeiro fator deve ter módulo maior ou igual a 1 e menor que 10.
Em números irracionais, diferencie sempre valor exato de valor aproximado.