MATEMÁTICAFC

Porcentagem, percentuais sucessivos e educação financeira

A porcentagem está presente em descontos, reajustes, promoções, investimentos, empréstimos e muitas outras situações do cotidiano. No 9º ano, além de retomar cálculos percentuais, vamos estudar principalmente os percentuais sucessivos e compreender por que aumentos e descontos consecutivos não podem, em geral, ser simplesmente somados.

Também utilizaremos essas ideias em situações de educação financeira, comparando preços, analisando promoções e estudando juros.

Habilidade da BNCC

EF09MA05: resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

1. Retomando porcentagem

Porcentagem significa uma razão cujo denominador é 100.

\[15\%=\frac{15}{100}=0{,}15\]

Assim, calcular 15% de 200 corresponde a:

\[0{,}15\cdot200=30\]

Exemplo resolvido 1. Calcule 35% de 480.

\[35\%=0{,}35\]

\[0{,}35\cdot480=168\]

Portanto, 35% de 480 é 168.

Alguns percentuais úteis no cálculo mental

Percentual	Significado
50%	metade
25%	quarta parte
10%	décima parte
5%	metade de 10%
1%	centésima parte

2. Acréscimo percentual

Quando um valor aumenta \(p\%\), podemos calcular o acréscimo e depois somá-lo ao valor inicial. Há, porém, uma forma mais direta: usar um fator multiplicativo.

\[\text{fator de aumento}=1+\frac{p}{100}\]

Exemplo resolvido 2. Um produto custa R$ 800,00 e sofre aumento de 12%.

O fator de aumento é:

\[1+0{,}12=1{,}12\]

Então:

\[800\cdot1{,}12=896\]

O novo preço é R$ 896,00.

3. Desconto percentual

Quando um valor diminui \(p\%\), o fator multiplicativo é:

\[\text{fator de desconto}=1-\frac{p}{100}\]

Exemplo resolvido 3. Uma mercadoria de R$ 500,00 recebe desconto de 20%.

\[1-0{,}20=0{,}80\]

\[500\cdot0{,}80=400\]

O preço após o desconto é R$ 400,00.

▶Pratique 1 — Porcentagem, acréscimos e descontos

1. Calcule 20% de 350.

2. Calcule 45% de 600.

3. Determine o fator multiplicativo correspondente a um aumento de 18%.

4. Determine o fator multiplicativo correspondente a um desconto de 35%.

5. Aumente 240 em 15%.

6. Uma camiseta de R$ 120,00 recebeu desconto de 25%. Qual é o novo preço?

7. Um salário de R$ 2.500,00 foi reajustado em 8%. Qual é o novo salário?

8. Um ingresso de R$ 80,00 teve aumento de 10%. Qual passou a ser o preço?

9. Uma bicicleta de R$ 1.500,00 está com 12% de desconto. Qual é o valor do desconto e o preço final?

10. Uma conta de R$ 300,00 recebeu abatimento de 5%. Quanto será pago?

4. Determinando a taxa percentual

Também podemos conhecer o valor inicial e o valor final e precisar descobrir qual foi a taxa de aumento ou redução.

\[\text{variação percentual}=\frac{\text{valor final}-\text{valor inicial}}{\text{valor inicial}}\cdot100\%\]

Exemplo resolvido 4. Um produto passou de R$ 200,00 para R$ 250,00. Qual foi a taxa de aumento?

Primeiro calculamos o aumento:

\[250-200=50\]

Agora comparamos esse aumento com o valor inicial:

\[\frac{50}{200}\cdot100\%=25\%\]

O aumento foi de 25%.

Na determinação da variação percentual, a comparação é feita com o valor inicial, e não com o valor final.

5. Variação percentual em uma redução

Exemplo resolvido 5. O preço de um produto caiu de R$ 400,00 para R$ 340,00.

A redução foi:

\[400-340=60\]

Logo:

\[\frac{60}{400}\cdot100\%=15\%\]

Houve uma redução de 15%.

6. Percentuais sucessivos

Quando dois ou mais aumentos ou descontos são aplicados um depois do outro, temos percentuais sucessivos.

Exemplo resolvido 6. Um produto de R$ 1.000,00 recebe desconto de 10% e, depois, mais 20% de desconto.

Primeiro desconto:

\[1000\cdot0{,}90=900\]

Segundo desconto:

\[900\cdot0{,}80=720\]

O preço final é R$ 720,00.

A redução total foi:

\[1000-720=280\]

\[\frac{280}{1000}\cdot100\%=28\%\]

Portanto, os descontos sucessivos de 10% e 20% correspondem a um desconto total de 28%, e não de 30%.

7. Por que não somamos os percentuais?

O segundo percentual é calculado sobre um novo valor. Por isso, em percentuais sucessivos, a simples soma das taxas geralmente produz um resultado incorreto.

Usando fatores multiplicativos no exemplo anterior:

\[0{,}90\cdot0{,}80=0{,}72\]

O valor final corresponde a 72% do inicial. Logo, a redução equivalente é:

\[100\%-72\%=28\%\]

8. Fatores multiplicativos sucessivos

Exemplo resolvido 7. Um valor recebe dois aumentos sucessivos de 10%.

\[1{,}10\cdot1{,}10=1{,}21\]

O valor final corresponde a 121% do inicial. Portanto, o aumento total é de 21%, e não 20%.

Exemplo resolvido 8. Um valor recebe dois descontos sucessivos de 10%.

\[0{,}90\cdot0{,}90=0{,}81\]

Restam 81% do valor inicial. Assim, o desconto equivalente é:

\[100\%-81\%=19\%\]

▶Pratique 2 — Percentuais sucessivos

1. Determine o fator resultante de dois aumentos sucessivos de 20%.

2. Determine o percentual equivalente a dois descontos sucessivos de 20%.

3. Calcule o percentual equivalente a aumentos sucessivos de 10% e 30%.

4. Calcule o percentual equivalente a descontos sucessivos de 10% e 30%.

5. Um valor de R$ 500,00 aumenta 10% e depois 20%. Determine o valor final.

6. Uma televisão de R$ 2.000,00 recebe descontos sucessivos de 15% e 10%. Qual é o preço final?

7. Uma mensalidade de R$ 800,00 recebe reajuste de 5% e, no período seguinte, novo reajuste de 8%. Qual é o novo valor?

8. Uma loja oferece 20% de desconto e depois mais 5% sobre o preço já reduzido. Qual é o desconto equivalente?

9. Um produto aumenta 25% e depois aumenta mais 12%. Qual é o aumento percentual total?

10. Explique por que dois descontos de 25% não correspondem a um desconto único de 50%.

9. Aumento seguido de desconto

Um aumento de \(p\%\) seguido de um desconto de \(p\%\) não faz, em geral, o valor voltar ao ponto inicial.

Exemplo resolvido 9. Um produto de R$ 500,00 aumenta 20% e depois recebe desconto de 20%.

\[500\cdot1{,}20=600\]

\[600\cdot0{,}80=480\]

Portanto:

\[500\longrightarrow600\longrightarrow480\]

O preço final é R$ 480,00. Houve redução de R$ 20,00 em relação ao preço inicial, equivalente a:

\[\frac{20}{500}\cdot100\%=4\%\]

10. Desconto seguido de aumento

Considere agora desconto de 20% seguido de aumento de 20%:

\[0{,}80\cdot1{,}20=0{,}96\]

Novamente, o valor final corresponde a 96% do valor inicial, ou seja, ocorre redução total de 4%.

Aumento de 20% e desconto de 20% não se anulam, porque os dois percentuais são calculados sobre bases diferentes.

11. Descobrindo o percentual equivalente

Exemplo resolvido 10. Determine o percentual equivalente a aumentos sucessivos de 20% e 10%.

\[1{,}20\cdot1{,}10=1{,}32\]

O valor final corresponde a 132% do inicial. Portanto, o aumento equivalente é de:

\[132\%-100\%=32\%\]

12. Educação financeira

Compreender porcentagens ajuda a tomar decisões financeiras mais conscientes. Em compras e contratos, não basta observar apenas uma taxa anunciada: é necessário verificar sobre qual valor ela será aplicada e qual será o resultado final.

Algumas situações comuns são:

• descontos à vista;
• reajustes de preços e mensalidades;
• promoções com descontos sucessivos;
• compras parceladas;
• empréstimos;
• investimentos;
• comparação entre diferentes formas de pagamento.

Exemplo resolvido 11. Uma loja vende um aparelho por R$ 1.200,00 ou oferece 8% de desconto para pagamento à vista.

\[1200\cdot0{,}92=1104\]

O preço à vista é R$ 1.104,00. A economia é de R$ 96,00.

13. Juros simples

Nos juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o capital inicial.

Usamos:

\[J=C\cdot i\cdot t\]

em que:

• \(J\) é o juro;
• \(C\) é o capital inicial;
• \(i\) é a taxa por período, escrita na forma decimal;
• \(t\) é o número de períodos.

O montante é:

\[M=C+J\]

Exemplo resolvido 12. Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples de 2% ao mês durante 5 meses.

\[J=2000\cdot0{,}02\cdot5\]

\[J=200\]

Então:

\[M=2000+200=2200\]

O montante será R$ 2.200,00.

14. Juros compostos e percentuais sucessivos

Nos juros compostos, a taxa de cada período incide sobre o valor acumulado no período anterior. Por isso, os juros compostos são uma aplicação direta de percentuais sucessivos.

Exemplo resolvido 13. R$ 1.000,00 são aplicados a 10% por período durante dois períodos.

Após o primeiro período:

\[1000\cdot1{,}10=1100\]

Após o segundo:

\[1100\cdot1{,}10=1210\]

Ou diretamente:

\[1000\cdot(1{,}10)^2=1210\]

De modo geral:

\[M=C(1+i)^t\]

Neste momento, o mais importante é perceber a relação entre juros compostos e aplicação sucessiva de uma mesma porcentagem.

15. Juros simples e juros compostos

Considere R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% por período:

Momento	Juros simples	Juros compostos
Inicial	R$ 1.000,00	R$ 1.000,00
Após 1 período	R$ 1.100,00	R$ 1.100,00
Após 2 períodos	R$ 1.200,00	R$ 1.210,00
Após 3 períodos	R$ 1.300,00	R$ 1.331,00

Nos juros simples, o acréscimo é sempre R$ 100,00 por período. Nos compostos, o valor sobre o qual a taxa incide muda a cada período.

▶Pratique 3 — Educação financeira e juros

1. Calcule os juros simples produzidos por R$ 1.000,00 a 3% ao mês durante 4 meses.

2. Determine o montante de R$ 2.000,00 aplicado a juros simples de 5% por período durante 3 períodos.

3. Calcule o montante de R$ 1.000,00 após dois períodos de juros compostos de 5%.

4. Um capital sofre três aumentos sucessivos de 10%. Determine o fator multiplicativo total.

5. Compare o montante de R$ 1.000,00 após dois períodos a 10% em juros simples e em juros compostos.

6. Um celular custa R$ 1.500,00 e tem desconto de 12% à vista. Qual é o preço à vista?

7. Uma loja anuncia “30% de desconto + 10% adicional”. Qual é o desconto efetivo?

8. Uma mensalidade de R$ 600,00 aumenta 6% e depois 5%. Qual é o novo valor?

9. Um produto de R$ 800,00 aumenta 25% e depois recebe desconto de 20%. Qual é o preço final? Ele voltou ao valor inicial?

10. Explique a principal diferença entre juros simples e compostos.

16. Usando a calculadora em percentuais sucessivos

Em cálculos com vários percentuais sucessivos, a calculadora pode ser utilizada diretamente com os fatores multiplicativos.

Exemplo resolvido 14. Um valor de R$ 850,00 aumenta 12% e depois recebe desconto de 10%.

Na calculadora, podemos efetuar:

\[850\cdot1{,}12\cdot0{,}90\]

\[=856{,}80\]

O valor final é R$ 856,80.

17. Analisando promoções

Exemplo resolvido 15. Uma loja anuncia: “30% de desconto + 10% adicional”.

O primeiro desconto deixa 70% do preço:

\[0{,}70\]

O segundo deixa 90% do preço já reduzido:

\[0{,}70\cdot0{,}90=0{,}63\]

O consumidor paga 63% do preço original. Portanto:

\[100\%-63\%=37\%\]

O desconto efetivo é de 37%, e não de 40%.

Exemplo resolvido 16. Uma loja oferece duas opções para um produto de R$ 2.000,00:

Opção A: desconto único de 25%.

Opção B: descontos sucessivos de 15% e 10%.

Opção A:

\[2000\cdot0{,}75=1500\]

Opção B:

\[2000\cdot0{,}85\cdot0{,}90=1530\]

Logo, a Opção A é mais vantajosa, pois o preço final é R$ 30,00 menor.

▶Revisão e aprofundamento — 20 questões

1. Calcule 18% de 450.

2. Determine o fator multiplicativo de um aumento de 32%.

3. Determine o fator multiplicativo de um desconto de 18%.

4. Um valor passou de 500 para 575. Determine a taxa de aumento.

5. Um valor caiu de 800 para 680. Determine a taxa de redução.

6. Determine o percentual equivalente a dois aumentos sucessivos de 15%.

7. Determine o percentual equivalente a dois descontos sucessivos de 15%.

8. Determine o percentual equivalente a aumento de 30% seguido de desconto de 10%.

9. Calcule os juros simples de R$ 1.500,00 a 2% por período durante 6 períodos.

10. Calcule o montante de R$ 2.000,00 após dois períodos de juros compostos de 10%.

11. Uma mochila de R$ 250,00 está com 20% de desconto. Qual é o preço final?

12. Um aluguel de R$ 1.400,00 recebe reajuste de 7%. Qual passa a ser o valor?

13. Uma mercadoria de R$ 900,00 recebe dois descontos sucessivos de 10%. Qual é o preço final e o desconto efetivo?

14. Uma população de 5.000 indivíduos aumenta 8% em um período e 5% no seguinte. Qual é a população após os dois aumentos?

15. Um produto de R$ 600,00 aumenta 20% e depois recebe desconto de 20%. Determine o preço final e a variação percentual em relação ao valor inicial.

16. Uma loja oferece 40% de desconto e mais 10% adicional. Qual é o desconto efetivo?

17. Um investimento de R$ 3.000,00 rende 4% por período durante dois períodos, com juros compostos. Determine o montante.

18. Uma dívida de R$ 2.500,00 sofre acréscimos sucessivos de 5% e 8%. Qual passa a ser o valor?

19. Duas lojas vendem o mesmo produto por R$ 1.000,00. A loja A oferece desconto único de 28%. A loja B oferece descontos sucessivos de 20% e 10%. Qual oferece o menor preço?

20. Explique por que, em percentuais sucessivos, é mais seguro trabalhar com fatores multiplicativos do que simplesmente somar as taxas.

▶Gabarito do Pratique 1

1. 70. 2. 270. 3. 1,18. 4. 0,65. 5. 276.

6. R$ 90,00. 7. R$ 2.700,00. 8. R$ 88,00. 9. Desconto de R$ 180,00; preço final de R$ 1.320,00. 10. R$ 285,00.

▶Gabarito do Pratique 2

1. \(1{,}20^2=1{,}44\), aumento equivalente de 44%. 2. \(0{,}80^2=0{,}64\), desconto equivalente de 36%.

3. \(1{,}10\cdot1{,}30=1{,}43\): 43%. 4. \(0{,}90\cdot0{,}70=0{,}63\): desconto de 37%.

5. R$ 660,00. 6. R$ 1.530,00. 7. R$ 907,20. 8. 24%. 9. 40%. 10. Porque o segundo desconto incide sobre um valor já reduzido.

▶Gabarito do Pratique 3

1. R$ 120,00. 2. R$ 2.300,00. 3. R$ 1.102,50. 4. \(1{,}1^3=1{,}331\), aumento de 33,1%.

5. Simples: R$ 1.200,00; compostos: R$ 1.210,00. 6. R$ 1.320,00. 7. 37%. 8. R$ 667,80.

9. R$ 800,00; sim, voltou ao valor inicial nesse caso porque \(1{,}25\cdot0{,}80=1\). 10. Nos simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial; nos compostos, sobre o valor acumulado.

▶Gabarito da revisão e do aprofundamento

1. 81. 2. 1,32. 3. 0,82. 4. 15%. 5. 15%.

6. \(1{,}15^2=1{,}3225\): 32,25%. 7. \(0{,}85^2=0{,}7225\): desconto de 27,75%. 8. \(1{,}30\cdot0{,}90=1{,}17\): aumento de 17%.

9. R$ 180,00. 10. R$ 2.420,00. 11. R$ 200,00. 12. R$ 1.498,00.

13. R$ 729,00; desconto efetivo de 19%. 14. \(5000\cdot1{,}08\cdot1{,}05=5670\) indivíduos.

15. R$ 576,00; redução de 4%. 16. \(0{,}60\cdot0{,}90=0{,}54\): desconto de 46%.

17. \(3000\cdot1{,}04^2=\) R$ 3.244,80. 18. \(2500\cdot1{,}05\cdot1{,}08=\) R$ 2.835,00.

19. Loja A: R$ 720,00. Loja B: R$ 720,00. Os preços são iguais. 20. Porque cada fator é aplicado ao valor resultante da etapa anterior, respeitando a base sobre a qual cada percentual incide.

Para lembrar

Em um aumento de \(p\%\), usamos o fator \(1+\frac{p}{100}\).

Em um desconto de \(p\%\), usamos o fator \(1-\frac{p}{100}\).

Percentuais sucessivos geralmente não podem ser simplesmente somados.

A variação percentual deve ser calculada em relação ao valor inicial.

Nos juros simples, a taxa incide sobre o capital inicial; nos juros compostos, sobre o valor acumulado.

Analisar o preço final é mais importante do que observar isoladamente os percentuais anunciados.

← Postagem anterior Sumário do 9º ano Próxima postagem →