Relações entre coeficientes e raízes da equação do segundo grau
Em uma equação do segundo grau, existe uma relação direta entre os coeficientes da equação e suas raízes. Essas relações permitem obter informações sobre as soluções sem precisar, necessariamente, calcular cada raiz pela fórmula resolutiva.
Considere a equação:
Suas raízes são:
A soma das raízes é:
e o produto:
Esses valores estão diretamente relacionados aos coeficientes da equação. De modo geral, para:
com a ≠ 0, podemos estabelecer relações entre a, b, c e as raízes da equação.
Para acompanhar este conteúdo, é importante compreender a forma geral da equação do segundo grau, identificar seus coeficientes, resolver equações do segundo grau, realizar operações com números reais e trabalhar com expressões algébricas e frações.
1. Soma das raízes
Considere:
com raízes x1 e x2.
A soma das raízes é determinada pela relação:
x2 − 7x + 10 = 0
a = 1, b = −7, c = 10
x1 + x2 = −(−7) 1 = 7
As raízes são 2 e 5, confirmando que 2 + 5 = 7.
2x2 − 10x + 12 = 0
x1 + x2 = −(−10) 2 = 5
As raízes são 2 e 3, portanto 2 + 3 = 5.
Pratique
1. Determine a soma das raízes de x2 − 9x + 14 = 0.
2. Determine a soma das raízes de 2x2 + 6x − 8 = 0.
3. Sem calcular individualmente as raízes, determine x1 + x2 em 3x2 − 12x + 5 = 0.
Ver respostas
1. x1 + x2 = 9.
2. x1 + x2 = −3.
3. x1 + x2 = 4.
2. Produto das raízes
Para a equação:
o produto das raízes é:
x2 − 7x + 10 = 0
x1 · x2 = 10 1 = 10
Como as raízes são 2 e 5, temos 2 · 5 = 10.
2x2 − 10x + 12 = 0
x1 · x2 = 12 2 = 6
Como as raízes são 2 e 3, temos 2 · 3 = 6.
Pratique
1. Determine o produto das raízes de x2 − 8x + 15 = 0.
2. Determine o produto das raízes de 2x2 + 5x − 12 = 0.
3. Sem calcular individualmente as raízes, determine x1 · x2 em 4x2 − 7x + 2 = 0.
Ver respostas
1. x1 · x2 = 15.
2. x1 · x2 = −6.
3. x1 · x2 = 12.
3. Relações de Girard para a equação do segundo grau
As relações entre a soma e o produto das raízes e os coeficientes de uma equação do segundo grau são conhecidas como relações de Girard.
Essas relações permitem analisar as raízes sem precisar determiná-las individualmente.
2x2 − 14x + 20 = 0
Soma das raízes = 7.
Produto das raízes = 10.
Procuramos dois números cuja soma seja 7 e cujo produto seja 10.
Esses números são 2 e 5.
Logo, x1 = 2 e x2 = 5.
3x2 + 3x − 6 = 0
Soma das raízes = −1.
Produto das raízes = −2.
Os números são 1 e −2.
Portanto, x1 = 1 e x2 = −2.
Pratique
1. Utilize a soma e o produto para determinar as raízes de x2 − 11x + 28 = 0.
2. Determine as raízes de x2 + 2x − 15 = 0 utilizando as relações entre coeficientes e raízes.
3. Uma equação do segundo grau possui soma das raízes igual a 9 e produto igual a 20. Quais são suas raízes?
Ver respostas
1. As raízes são 4 e 7.
2. As raízes são 3 e −5.
3. As raízes são 4 e 5.
4. Construção de uma equação a partir de suas raízes
Se x1 e x2 são as raízes, podemos escrever:
Desenvolvendo:
Quando o coeficiente de x2 é 1, podemos escrever:
em que S representa a soma das raízes e P representa o produto.
Raízes: 3 e 7.
S = 3 + 7 = 10
P = 3 · 7 = 21
Equação:
x2 − 10x + 21 = 0
Raízes: −2 e 5.
S = −2 + 5 = 3
P = (−2) · 5 = −10
Equação:
x2 − 3x − 10 = 0
Raízes: −4 e −6.
S = −10
P = 24
Equação:
x2 + 10x + 24 = 0
Pratique
1. Construa uma equação do segundo grau cujas raízes sejam 2 e 8.
2. Determine uma equação do segundo grau cujas raízes sejam −3 e 4.
3. Escreva uma equação do segundo grau cujas raízes sejam −5 e −2.
Ver respostas
1. x2 − 10x + 16 = 0.
2. x2 − x − 12 = 0.
3. x2 + 7x + 10 = 0.
5. Determinação de uma raiz conhecendo a outra
Conhecendo uma das raízes, podemos utilizar a soma ou o produto para encontrar a outra.
x2 − 9x + 20 = 0
Uma das raízes é 4.
Como x1 + x2 = 9:
4 + x2 = 9
x2 = 5
2x2 + x − 6 = 0
Uma das raízes é −2.
O produto das raízes é −3.
(−2)x2 = −3
x2 = 32
Pratique
1. Na equação x2 − 13x + 36 = 0, uma das raízes é 4. Determine a outra.
2. Na equação 2x2 − 5x − 3 = 0, uma das raízes é 3. Determine a outra.
3. Uma equação possui soma das raízes igual a 8. Sabendo que uma das raízes é 3, determine a outra.
Ver respostas
1. A outra raiz é 9.
2. A outra raiz é −12.
3. A outra raiz é 5.
6. Sinais das raízes
A soma e o produto fornecem informações sobre os sinais das raízes reais, mesmo sem conhecermos seus valores.
Se x1x2 > 0, as raízes possuem o mesmo sinal.
Se a soma também for positiva, ambas são positivas.
Se a soma for negativa, ambas são negativas.
Se x1x2 < 0, as raízes possuem sinais diferentes.
Se x1x2 = 0, pelo menos uma das raízes é zero.
Essa análise pressupõe que a equação possua raízes reais. Quando necessário, o discriminante também deve ser considerado.
Pratique
1. Sem calcular as raízes, determine seus sinais em x2 − 11x + 24 = 0.
2. Analise os sinais das raízes de x2 + 9x + 14 = 0.
3. O que podemos concluir sobre os sinais das raízes reais de 2x2 − 3x − 5 = 0?
Ver respostas
1. As duas raízes são positivas.
2. As duas raízes são negativas.
3. As raízes possuem sinais diferentes.
7. Expressões envolvendo as raízes
Conhecendo a soma e o produto, podemos calcular outras expressões sem determinar as raízes separadamente.
x2 − 6x + 5 = 0
x1 + x2 = 6
x1x2 = 5
x12 + x22 = 62 − 2 · 5
= 36 − 10 = 26
Também podemos utilizar:
Pratique
1. Para x2 − 7x + 10 = 0, determine x12 + x22.
2. Para x2 − 5x + 4 = 0, determine (x1 − x2)2.
3. As raízes possuem soma 8 e produto 12. Determine x12 + x22.
Ver respostas
1. 72 − 2 · 10 = 29.
2. 52 − 4 · 4 = 9.
3. 82 − 2 · 12 = 40.
8. Determinação de coeficientes a partir das raízes
Se conhecemos as raízes e alguns coeficientes, podemos utilizar as relações de soma e produto para determinar coeficientes desconhecidos.
x2 + bx + 12 = 0
Raízes: 3 e 4.
Soma = 7.
7 = −b
b = −7
Portanto:
x2 − 7x + 12 = 0
2x2 + bx − 6 = 0
Raízes: 3 e −1.
Soma = 2.
2 = −b2
b = −4
3x2 − 12x + c = 0
Produto das raízes = 5.
5 = c3
c = 15
Pratique
1. Em x2 + bx + 18 = 0, as raízes são 3 e 6. Determine b.
2. Em 2x2 + bx + 8 = 0, as raízes são −2 e −2. Determine b.
3. Em 4x2 − 20x + c = 0, o produto das raízes é 6. Determine c.
Ver respostas
1. b = −9.
2. b = 8.
3. c = 24.
9. Resolução de problemas utilizando as relações entre raízes e coeficientes
As relações de soma e produto também podem ser utilizadas em situações nas quais não é necessário determinar imediatamente cada raiz.
As idades de dois irmãos correspondem às raízes de:
x2 − 25x + 156 = 0
A soma das raízes é 25.
Portanto, a soma das idades é 25 anos.
As medidas dos lados de um retângulo são as raízes de:
x2 − 14x + 40 = 0
x1 + x2 = 14
P = 2(x1 + x2)
P = 28
Logo, o perímetro é 28 cm.
As raízes representam as dimensões de um terreno retangular.
Soma das raízes = 18
Produto das raízes = 77
Como A = x1x2, a área é 77 m².
Pratique
1. As raízes de x2 − 16x + 55 = 0 representam as idades de duas pessoas. Qual é a soma dessas idades?
2. As medidas dos lados de um retângulo correspondem às raízes de x2 − 18x + 77 = 0. Determine o perímetro.
3. As raízes representam as dimensões de um terreno. Sabendo que sua soma é 20 e seu produto é 96, determine a área.
Ver respostas
1. A soma das idades é 16 anos.
2. O perímetro é 36 unidades de comprimento.
3. A área é 96 unidades quadradas.
10. Revisão e aprofundamento
Considere x2 − 12x + 20 = 0. Sem calcular individualmente as raízes, determine a soma delas.
B) 12
C) 20
D) −12
E) −20
Na equação 2x2 − 7x + 6 = 0, o produto das raízes é:
B) 3
C) 6
D) −3
E) −6
Uma equação possui raízes 4 e 7. Qual equação possui essas raízes?
B) x2 − 11x + 28 = 0
C) x2 − 28x + 11 = 0
D) x2 + 11x − 28 = 0
E) x2 − 7x + 4 = 0
Na equação x2 − 10x + 21 = 0, uma das raízes é 3. A outra é:
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Uma equação possui duas raízes reais cuja soma é −8 e cujo produto é 15. Podemos concluir que:
B) as duas raízes são negativas.
C) uma raiz é positiva e a outra é negativa.
D) uma das raízes é zero.
E) o produto das raízes é negativo.
As raízes possuem soma 6 e produto 5. Qual é o valor de x12 + x22?
B) 20
C) 26
D) 31
E) 36
Na equação x2 + bx + 24 = 0, as raízes são 4 e 6. O valor de b é:
B) −10
C) −2
D) 10
E) 24
Considere 3x2 − 15x + 6 = 0. Qual é a soma de suas raízes?
B) −3
C) 2
D) 5
E) 15
As medidas dos lados de um retângulo correspondem às raízes da equação x2 − 15x + 50 = 0. Qual é o perímetro?
B) 25 unidades
C) 30 unidades
D) 50 unidades
E) 100 unidades
As raízes de uma equação possuem soma 9 e produto 14. Qual equação possui essas raízes?
B) x2 − 9x + 14 = 0
C) x2 + 14x − 9 = 0
D) x2 − 14x + 9 = 0
E) x2 − 9x − 14 = 0