Comprimento, área, volume e capacidade
Comprimento, área, volume e capacidade aparecem em situações muito diferentes: medir a extensão de uma parede, calcular a quantidade de piso necessária para um ambiente, determinar o espaço ocupado por uma caixa ou descobrir quantos litros cabem em um reservatório.
Embora essas grandezas estejam relacionadas, elas não representam a mesma coisa. Uma medida de comprimento é linear, uma medida de área envolve duas dimensões e uma medida de volume envolve três dimensões. Compreender essa diferença é essencial para escolher corretamente as unidades, realizar conversões e resolver problemas.
EM13MAT307 — resolução e elaboração de problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais.
1. Comprimento e unidades de comprimento
O comprimento é uma grandeza utilizada para medir distâncias entre dois pontos ou dimensões lineares de um objeto.
Dependendo da situação, podemos utilizar milímetro (mm), centímetro (cm), metro (m) e quilômetro (km). A escolha da unidade depende da dimensão que desejamos medir.
Uma sala retangular possui 6 m de comprimento e 4 m de largura. Se quisermos apenas o lado maior, estamos trabalhando com uma medida linear: 6 m.
Pratique
1. Observe a espessura representada. Qual unidade é mais adequada para registrá-la: km, m, cm ou mm?
2. A parede representada possui 3,8 m de comprimento. Quantos centímetros ela possui?
3. Uma fita possui 245 cm de comprimento. Expresse essa medida em metros.
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1. Milímetro (mm).
2.
3,8 · 100 = 380
3,8 m = 380 cm.
3.
245 cm = 2,45 m.
2. Perímetro e comprimento de contornos
O perímetro corresponde à medida total do contorno de uma figura. Para determiná-lo, somamos os comprimentos de todos os lados.
Um terreno retangular possui 30 m de comprimento e 18 m de largura. Deseja-se instalar uma cerca em todo o seu contorno.
O terreno possui dois lados de 30 m e dois lados de 18 m.
P = 96 m
Portanto, serão necessários 96 metros de cerca.
Observe que o perímetro continua sendo uma medida de comprimento. Por isso, sua unidade é metro, e não metro quadrado.
Pratique
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1.
P = 80 m
2.
P = 160 cm
3. Primeiro calculamos uma volta:
P = 104 m
Como serão duas voltas:
Serão necessários 208 m de arame.
3. Área e unidades quadradas
Enquanto o perímetro mede o contorno, a área mede a extensão de uma superfície. Como envolve duas dimensões, as unidades aparecem ao quadrado.
Por isso utilizamos unidades como mm², cm², m² e km².
Uma sala retangular possui 6 m de comprimento e 4 m de largura.
A = 24 m²
Portanto, o piso possui 24 m².
Pratique
1. Determine a área do quarto representado.
2. O terreno quadrado representado possui lado de 12 m. Determine sua área.
3. A sala abaixo possui área de 42 m² e largura de 6 m. Determine seu comprimento.
4. Um painel retangular mede 2,4 m por 1,5 m. Determine sua área.
5. Um quadrado possui área de 81 m². Qual é a medida de seu lado?
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1. A = 5 · 3 = 15 m².
2. A = 12 · 12 = 144 m².
3. 42 = comprimento · 6, então comprimento = 42 ÷ 6 = 7 m.
4. A = 2,4 · 1,5 = 3,6 m².
5. Como 9 · 9 = 81, o lado mede 9 m.
4. Conversão de unidades de área
Nas conversões de área, precisamos considerar que estamos trabalhando com duas dimensões.
Sabemos que:
Um quadrado de lado 1 m também possui lados de 100 cm. Portanto:
1 m² = 10 000 cm²
O fator 100 aparece duas vezes porque a área possui duas dimensões:
Uma superfície possui área de 2,5 m².
Como:
temos:
2,5 m² = 25 000 cm².
Pratique
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1.
3 m² = 30 000 cm²
2.
40 000 cm² = 4 m²
3.
1,75 m² = 17 500 cm²
5. Áreas de figuras planas
Diversas situações exigem o cálculo da área de figuras planas. Algumas relações fundamentais são:
| Figura | Área |
|---|---|
| Quadrado | A = lado · lado |
| Retângulo | A = base · altura |
| Triângulo | A = (base · altura) ÷ 2 |
| Paralelogramo | A = base · altura |
| Trapézio | A = (base maior + base menor) · altura ÷ 2 |
| Círculo | A = π · r² |
A = 90 m²
A = 78,5 m²
Pratique
1. Determine a área do triângulo.
2. Determine a área do círculo, usando π ≈ 3,14.
3. Determine a área do trapézio de bases 12 m e 8 m e altura 5 m.
4. Um paralelogramo possui base de 9 cm e altura de 6 cm. Determine sua área.
5. Um quadrado possui lado de 7,5 m. Determine sua área.
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1. A = (14 · 8) ÷ 2 = 56 cm².
2. A = 3,14 · 4² = 50,24 m².
3. A = (12 + 8) · 5 ÷ 2 = 50 m².
4. A = 9 · 6 = 54 cm².
5. A = 7,5 · 7,5 = 56,25 m².
6. Áreas de figuras compostas
Nem toda superfície possui o formato de uma única figura conhecida. Podemos decompor a figura em regiões simples, calcular cada área e depois somar ou subtrair os resultados.
O piso pode ser dividido em dois retângulos.
A₂ = 3 · 2 = 6 m²
A total = 24 + 6 = 30 m²
Pratique
1. Determine a área total da figura composta.
2. A superfície é formada por um retângulo de 10 m por 6 m e um quadrado de lado 3 m, sem sobreposição. Determine a área total.
3. Um piso de 12 m por 6 m possui uma região interna de 4 m por 3 m que não receberá revestimento. Determine a área revestida.
4. Três regiões retangulares têm áreas 24 m², 18 m² e 15 m². Determine a área total.
5. Uma placa de 80 cm² recebe um recorte retangular de 5 cm por 4 cm. Qual é a área restante?
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1. 8 · 5 + 3 · 4 = 40 + 12 = 52 m².
2. 10 · 6 + 3 · 3 = 60 + 9 = 69 m².
3. 12 · 6 − 4 · 3 = 72 − 12 = 60 m².
4. 24 + 18 + 15 = 57 m².
5. 80 − 5 · 4 = 80 − 20 = 60 cm².
7. Volume e unidades cúbicas
O volume representa o espaço ocupado por um corpo. Como envolve três dimensões, suas unidades são cúbicas: mm³, cm³, dm³ e m³.
Considere um cubo com comprimento, largura e altura iguais a 1 m:
V = 1 m³
Como 1 m = 100 cm:
1 m³ = 1 000 000 cm³
O fator 100 aparece três vezes porque o volume envolve três dimensões.
Pratique
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1.
2 m³ = 2 000 000 cm³
2. Porque o volume envolve três dimensões:
3.
0,5 m³ = 500 000 cm³
8. Volume de blocos retangulares e outros sólidos
Um bloco retangular possui comprimento, largura e altura. Seu volume é calculado multiplicando essas três dimensões:
Uma caixa possui 2 m de comprimento, 1,5 m de largura e 0,8 m de altura.
V = 3 · 0,8
V = 2,4 m³
O volume da caixa é 2,4 m³.
Um recipiente cilíndrico possui raio interno de 2 m e altura de 3 m.
Utilizando π ≈ 3,14:
V = 3,14 · 4 · 3
V = 37,68 m³
O volume é aproximadamente 37,68 m³.
Pratique
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1.
V = 9 m³
2.
V = 12,56 m³
3.
Sabemos que:
24 = 12 · h
Dividindo por 12:
h = 2 m
9. Capacidade e sua relação com o volume
A capacidade indica quanto determinado recipiente pode conter. No cotidiano, utilizamos frequentemente litro (L) e mililitro (mL).
Volume e capacidade estão diretamente relacionados:
1 mL = 1 cm³
1 m³ = 1 000 L
Por que 1 m³ corresponde a 1 000 L?
Sabemos que:
Então:
1 m³ = 1 000 dm³
Como 1 dm³ = 1 L:
Um reservatório possui volume interno de 2,5 m³.
Portanto, sua capacidade é de 2 500 L.
Pratique
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1.
0,8 m³ = 800 L
2.
350 mL = 350 cm³
3.
4 500 L = 4,5 m³
10. Problemas envolvendo volume e capacidade
Uma caixa-d'água retangular possui dimensões internas de 2 m de comprimento, 1,5 m de largura e 1,2 m de altura.
Primeiro calculamos o volume:
V = 3,6 m³
Agora convertemos para litros:
A capacidade máxima é de 3 600 L.
Um reservatório possui capacidade total de 5 000 L e está com 65% de sua capacidade ocupada.
5 000 · 0,65 = 3 250 L
Como 1 000 L = 1 m³:
O reservatório contém 3 250 L, correspondentes a 3,25 m³.
Pratique
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1.
V = 5 m³
Convertendo:
2.
8 000 · 0,75 = 6 000 L
3.
Se 35% estão livres, a parte ocupada corresponde a:
Então:
10 000 · 0,65 = 6 500 L
Estão armazenados 6 500 L.
11. Erros comuns
Confundir comprimento, área e volume
área → unidade quadrada → m²
volume → unidade cúbica → m³
Portanto:
Usar o mesmo fator de conversão para todas as grandezas
Se:
então:
1 m³ = 1 000 000 cm³
Aplicar uma fórmula com unidades diferentes
Se uma caixa possui comprimento de 2 m, largura de 80 cm e altura de 50 cm, não devemos calcular diretamente:
Primeiro precisamos converter as três dimensões para uma mesma unidade.
12. Revisão e aprofundamento
Um terreno retangular mede 24 m de comprimento e 15 m de largura. Qual é sua área?
Uma praça quadrada possui lado de 18 m. Quantos metros de cerca são necessários para contornar toda a praça?
Uma superfície possui área de 4,5 m². Essa área corresponde a:
Um terreno triangular possui base de 20 m e altura de 12 m. Sua área é:
Uma região é formada por dois retângulos que não se sobrepõem. Um deles mede 8 m por 6 m e o outro mede 4 m por 3 m. Qual é a área total?
Uma caixa retangular possui dimensões internas de 2 m, 1,5 m e 1 m. Seu volume é:
Um reservatório possui volume interno de 4,2 m³. Sua capacidade corresponde a:
Um recipiente possui capacidade de 750 mL. Seu volume corresponde a:
Uma caixa retangular mede 100 cm de comprimento, 50 cm de largura e 40 cm de altura. Qual é seu volume em litros?
Um reservatório possui capacidade de 6 000 L e está com 80% de sua capacidade ocupada. O volume de líquido armazenado é: