Função quadrática: gráfico, raízes, vértice, máximo e mínimo
Algumas situações apresentam variações que não são constantes. A altura de um objeto lançado para cima, a área de uma figura construída com determinadas medidas e o lucro obtido com a venda de produtos podem crescer até certo ponto e depois diminuir. Essas relações podem ser representadas por funções quadráticas.
Neste estudo, aprenderemos a reconhecer uma função quadrática, analisar sua parábola, determinar raízes, eixo de simetria e vértice e interpretar valores máximos ou mínimos em diferentes aplicações.
EM13MAT302 — construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT402 — converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável é diretamente proporcional ao quadrado da outra.
EM13MAT502 — investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e reconhecendo quando a representação é de uma função polinomial de 2º grau.
EM13MAT503 — investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
1. Conceito de função quadrática
Uma função quadrática, também chamada função polinomial do segundo grau, é toda função que pode ser escrita na forma:
Os números a, b e c são os coeficientes da função. A condição a ≠ 0 é indispensável, pois, se a = 0, o termo quadrático desaparece e a função deixa de ser do segundo grau.
| Coeficiente | Termo correspondente | Informação importante |
|---|---|---|
| a | ax2 | determina a concavidade e influencia a abertura da parábola |
| b | bx | participa da posição do eixo de simetria e do vértice |
| c | termo independente | é o valor de f(0) e indica onde o gráfico encontra o eixo vertical |
Considere f(x) = 2x2 − 5x + 3.
Como a = 2 ≠ 0, a expressão define uma função quadrática. Além disso, f(0) = 3, então o gráfico passa pelo ponto (0,3).
Para calcular f(−2) na função f(x) = x2 − 3x + 1, substituímos x por −2:
f(−2) = 4 + 6 + 1
f(−2) = 11
Os parênteses são importantes porque o expoente deve ser aplicado ao número −2 inteiro.
2. Tabela de valores e padrão quadrático
Em uma função afim, as primeiras diferenças entre valores consecutivos são constantes. Em uma função quadrática, as primeiras diferenças variam, mas as segundas diferenças são constantes quando os valores de x aumentam de uma em uma unidade.
Considere f(x) = x2 − 4x + 3.
| x | f(x) | Primeira diferença | Segunda diferença |
|---|---|---|---|
| −1 | 8 | — | — |
| 0 | 3 | −5 | — |
| 1 | 0 | −3 | 2 |
| 2 | −1 | −1 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 3 | 3 | 2 |
| 5 | 8 | 5 | 2 |
A segunda diferença constante é igual a 2a. Como a = 1, temos 2a = 2.
Pratique
1. Identifique a, b e c em f(x) = −3x2 + 7x − 4.
2. Calcule g(−3) para g(x) = 2x2 + x − 5.
3. Explique por que h(x) = 6x − 1 não é uma função quadrática.
Ver respostas
1.
a = −3, b = 7 e c = −4.
2.
g(−3) = 2 · 9 − 3 − 5
g(−3) = 10
3.
A expressão não possui termo em x2. Ela pode ser escrita com a = 0 e, por isso, é uma função afim, não quadrática.
3. Gráfico e concavidade da parábola
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. O sinal do coeficiente a determina o sentido de sua concavidade.
- Se a > 0, a concavidade é voltada para cima.
- Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.
Quanto maior for o valor absoluto de a, mais fechada será a parábola. Quanto mais próximo de zero estiver |a|, mais aberta ela será.
A tabela anterior fornece os pontos (−1,8), (0,3), (1,0), (2,−1), (3,0), (4,3) e (5,8). O gráfico possui concavidade para cima porque a = 1.
4. Raízes ou zeros da função quadrática
As raízes são os valores de x para os quais f(x) = 0. Graficamente, correspondem aos pontos em que a parábola encontra o eixo horizontal.
Para resolver ax2 + bx + c = 0, podemos usar fatoração quando ela for simples ou aplicar a fórmula resolutiva:
x = −b ± √Δ2a
| Valor de Δ | Raízes reais | Relação com o eixo x |
|---|---|---|
| Δ > 0 | duas raízes diferentes | a parábola corta o eixo x em dois pontos |
| Δ = 0 | uma raiz real dupla | a parábola toca o eixo x em um ponto |
| Δ < 0 | não existem raízes reais | a parábola não encontra o eixo x |
Determine as raízes de f(x) = x2 − 5x + 6.
Δ = (−5)2 − 4 · 1 · 6
Δ = 25 − 24 = 1
x = 5 ± √12
x2 = 5 + 12 = 3
As raízes são 2 e 3. O gráfico passa pelos pontos (2,0) e (3,0).
Na função g(x) = x2 − 6x + 9:
x = 62 = 3
A única raiz real é 3, com multiplicidade dois. A parábola toca o eixo x em (3,0).
Pratique
1. Determine as raízes de f(x) = x2 − 7x + 12.
2. Calcule o discriminante de g(x) = 2x2 + 4x + 5 e informe quantas raízes reais existem.
3. Determine o valor de k para que h(x) = x2 − 4x + k tenha uma raiz real dupla.
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1.
Podemos fatorar:
Logo, as raízes são 3 e 4.
2.
Δ = 16 − 40 = −24
Como Δ < 0, não existem raízes reais.
3.
Para existir uma raiz dupla, Δ = 0:
16 − 4k = 0
k = 4
5. Eixo de simetria
Toda parábola possui um eixo de simetria vertical que passa pelo vértice. Pontos situados à mesma distância desse eixo possuem a mesma imagem.
Na função f(x) = x2 − 4x + 3:
Assim, o eixo de simetria é a reta x = 2. Observe que f(1) = f(3) = 0 e f(0) = f(4) = 3.
6. Vértice da parábola
O vértice é o ponto em que a parábola muda o sentido de sua variação. Suas coordenadas são:
yv = f(xv)
Também podemos calcular a segunda coordenada diretamente:
Considere f(x) = −x2 + 6x − 5.
Agora calculamos a imagem de 3:
yv = −32 + 6 · 3 − 5
yv = −9 + 18 − 5 = 4
Pratique
1. Determine o eixo de simetria de f(x) = 2x2 − 8x + 3.
2. Determine o vértice de g(x) = x2 + 2x − 8.
3. Na função h(x) = −2x2 + 12x − 10, calcule o vértice.
Ver respostas
1.
O eixo de simetria é x = 2.
2.
yv = g(−1) = 1 − 2 − 8 = −9
O vértice é V(−1,−9).
3.
yv = h(3) = −2 · 9 + 36 − 10 = 8
O vértice é V(3,8).
7. Valor máximo e valor mínimo
A ordenada do vértice, yv, representa o valor extremo da função.
- Se a > 0, o vértice é o ponto mais baixo e yv é o valor mínimo.
- Se a < 0, o vértice é o ponto mais alto e yv é o valor máximo.
Na função f(x) = x2 − 4x + 7, temos a = 1 > 0.
yv = f(2) = 4 − 8 + 7 = 3
O valor mínimo da função é 3, atingido quando x = 2. A imagem é [3,+∞).
Na função g(x) = −2x2 + 8x + 1, temos a = −2 < 0.
yv = g(2) = −2 · 4 + 16 + 1 = 9
O valor máximo é 9, atingido quando x = 2. A imagem é (−∞,9].
8. Como construir o gráfico
Para esboçar uma parábola com segurança, podemos seguir esta sequência:
- identificar a, b e c;
- determinar a concavidade pelo sinal de a;
- calcular as raízes, quando existirem;
- calcular o eixo de simetria e o vértice;
- marcar o ponto (0,c);
- obter pontos simétricos adicionais e traçar a curva.
Considere f(x) = −x2 + 4x + 5.
- a = −1, então a concavidade é voltada para baixo;
- f(0) = 5, logo o gráfico passa por (0,5);
- as raízes são −1 e 5, pois −x2 + 4x + 5 = −(x − 5)(x + 1);
- xv = 2 e yv = 9, portanto V(2,9);
- o eixo de simetria é x = 2.
Pratique
1. Determine a concavidade, as raízes, o eixo de simetria e o vértice de f(x) = x2 − 6x + 8.
2. Uma função quadrática tem raízes −2 e 4 e coeficiente a = 1. Escreva sua forma fatorada e desenvolvida.
3. A parábola de g(x) = ax2 + bx + c possui vértice V(3,−5) e concavidade para cima. Qual é seu eixo de simetria e qual é seu valor mínimo?
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1.
A concavidade é para cima, pois a = 1. Fatorando:
As raízes são 2 e 4. O eixo de simetria é x = 3 e o vértice é V(3,−1).
2.
f(x) = x2 − 2x − 8
3.
O eixo de simetria é x = 3. Como a concavidade é para cima, o valor mínimo é −5.
9. Aplicações da função quadrática
Em problemas, o vértice frequentemente representa o melhor ou o pior resultado possível: maior altura, maior lucro, maior área ou menor custo. É necessário interpretar as coordenadas do vértice e respeitar o domínio do contexto.
A altura de um objeto, em metros, após t segundos é h(t) = −5t2 + 20t + 1,5.
h(2) = −5 · 4 + 20 · 2 + 1,5
h(2) = 21,5
A altura máxima é 21,5 m, atingida após 2 segundos.
Um retângulo possui perímetro de 40 m. Se um lado mede x, o outro mede 20 − x. Sua área é:
A(10) = −100 + 200 = 100
A maior área possível é 100 m², obtida por um quadrado de lados iguais a 10 m.
O lucro de uma empresa, em reais, é L(x) = −2x2 + 160x − 1 200, em que x é a quantidade vendida.
L(40) = −2 · 402 + 160 · 40 − 1 200
L(40) = 2 000
O lucro máximo é de R 2.000,00, obtido com a venda de 40 unidades.
Pratique
1. A altura de uma bola é dada por h(t) = −2t2 + 12t + 1. Determine o instante e a altura máxima.
2. A área de um terreno retangular é A(x) = −x2 + 30x. Determine as dimensões que produzem a área máxima e calcule essa área.
3. O custo médio de uma produção é C(x) = x2 − 16x + 100. Determine o valor mínimo e o valor de x em que ele ocorre.
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1.
h(3) = −2 · 9 + 36 + 1 = 19
A altura máxima é 19 m, atingida após 3 segundos.
2.
A(15) = −225 + 450 = 225
As dimensões são 15 m por 15 m, e a área máxima é 225 m².
3.
C(8) = 64 − 128 + 100 = 36
O valor mínimo é 36, atingido quando x = 8.
10. Erros frequentes
- Esquecer a condição a ≠ 0: sem o termo quadrático, a função não é do segundo grau.
- Aplicar o expoente apenas ao algarismo: ao substituir um número negativo, use parênteses, como (−3)2.
- Errar os sinais no discriminante: substitua b com seu sinal e calcule b2 antes dos demais produtos.
- Confundir raiz com valor do vértice: as raízes ficam no eixo x; o vértice é o ponto extremo da parábola.
- Usar c para decidir a concavidade: a concavidade depende exclusivamente do sinal de a.
- Confundir xv e yv: xv indica onde ocorre o extremo; yv é o valor máximo ou mínimo.
- Desconsiderar o contexto: tempos negativos, medidas impossíveis ou quantidades fora do domínio devem ser descartados.
11. Revisão e aprofundamento
Qual expressão representa uma função quadrática?
Para f(x) = x2 − 3x − 2, o valor de f(2) é:
A parábola de g(x) = −3x2 + 2x + 5 possui:
Quais são as raízes de f(x) = x2 − 9?
O eixo de simetria de f(x) = 2x2 − 12x + 7 é:
O vértice da parábola f(x) = x2 − 6x + 5 é:
Qual é o valor máximo de g(x) = −x2 + 8x − 7?
A altura de um objeto é h(t) = −5t2 + 30t. Em que instante ele atinge a altura máxima?
A área A(x) = −x2 + 24x possui valor máximo igual a:
Uma função quadrática possui Δ = −16. Sobre seu gráfico, podemos afirmar que: