Função modular
Em muitas situações, interessa conhecer a distância entre dois valores, sem considerar qual deles é maior. A distância de um número até zero, a diferença entre uma medida obtida e uma medida esperada e a variação de uma temperatura em relação a uma referência são exemplos que podem ser representados pelo módulo.
Neste estudo, aprenderemos a calcular o módulo de um número real, definir a função modular por partes, construir e interpretar seu gráfico, reconhecer transformações e resolver equações e problemas.
EM13MAT101 — interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT401 — converter representações algébricas de funções polinomiais de primeiro grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional e recorrendo ou não a softwares ou aplicativos.
1. Módulo de um número real
O módulo, ou valor absoluto, de um número real x é indicado por |x| e representa a distância entre x e zero na reta numérica. Como toda distância é não negativa, o resultado de um módulo nunca é negativo.
Os números 5 e −5 estão em lados opostos da reta, mas ambos se encontram a cinco unidades de distância do zero.
2. Definição e propriedades do módulo
A definição algébrica considera o sinal do número:
|x| = −x, se x < 0
Quando x é negativo, usamos seu oposto para obter um resultado positivo. Por exemplo, se x = −8, então |−8| = −(−8) = 8.
| Propriedade | Interpretação |
|---|---|
| |x| ≥ 0 | o módulo nunca é negativo |
| |x| = 0 ⇔ x = 0 | somente zero possui módulo igual a zero |
| |−x| = |x| | números opostos têm o mesmo módulo |
| |x · y| = |x| · |y| | o módulo de um produto é o produto dos módulos |
| |x ÷ y| = |x| ÷ |y|, com y ≠ 0 | a propriedade também vale para quocientes |
b) |3 − 8| = |−5| = 5
c) |−4 · 6| = |−24| = 24
Pratique
1. Calcule: |−15| + |−4| − |6|.
2. Compare os valores de |−9| e −|9|.
3. Determine o valor de |−3 · 5| − |2 − 10|.
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1.
2.
−|9| = −9
Portanto, |−9| é maior que −|9|.
3.
3. Definição da função modular
A função modular básica associa cada número real ao seu módulo:
Seu domínio é o conjunto dos números reais. Como |x| nunca é negativo, sua imagem é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a zero.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = |x| | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
A função é decrescente no intervalo (−∞,0] e crescente no intervalo [0,+∞). Seu valor mínimo é zero, atingido em x = 0.
4. Representação da função por partes
A definição do módulo permite escrever a função com duas sentenças, cada uma válida em uma parte do domínio:
Essa representação explica por que o gráfico é formado por duas semirretas. À esquerda de zero, usamos y = −x; a partir de zero, usamos y = x.
Considere g(x) = |2x − 4|. Primeiro descobrimos onde a expressão interna muda de sinal:
x = 2
Se x ≥ 2, então 2x − 4 ≥ 0. Se x < 2, a expressão é negativa e devemos trocar seu sinal.
g(2) = |2 · 2 − 4| = 0
g(5) = |2 · 5 − 4| = |6| = 6
Pratique
1. Escreva f(x) = |x − 3| na forma definida por partes.
2. Escreva g(x) = |−2x + 6| na forma definida por partes.
3. Calcule h(−1), h(2) e h(4), sabendo que h(x) = |3x − 6|.
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1.
2.
A expressão interna zera em x = 3. Para x ≤ 3, ela é não negativa.
3.
h(2) = |6 − 6| = 0
h(4) = |12 − 6| = 6
5. Construção e interpretação do gráfico
O gráfico de f(x) = |x| tem formato de “V”, vértice na origem e simetria em relação ao eixo vertical. As duas partes são trechos de funções afins.
- Vértice: (0,0).
- Zero da função: x = 0.
- Valor mínimo: 0.
- Simetria: f(−x) = f(x), portanto a função é par.
6. Transformações do gráfico
A expressão geral y = a|x − h| + k permite deslocar, refletir e alterar a abertura do gráfico básico.
| Elemento | Efeito no gráfico |
|---|---|
| h | desloca o vértice horizontalmente; sua abscissa é h |
| k | desloca o vértice verticalmente; sua ordenada é k |
| a > 0 | o “V” fica voltado para cima |
| a < 0 | o gráfico é refletido e fica voltado para baixo |
| |a| > 1 | o gráfico fica mais fechado |
| 0 < |a| < 1 | o gráfico fica mais aberto |
Na função g(x) = 2|x − 2| + 1:
- o vértice é V(2,1);
- o gráfico está deslocado duas unidades para a direita e uma para cima;
- como a = 2, o “V” fica voltado para cima e mais fechado.
Pratique
1. Determine o vértice de f(x) = |x + 4| − 2.
2. Descreva as transformações que levam f(x) = |x| a g(x) = −3|x − 1| + 5.
3. Escreva uma função modular com vértice V(−2,3), voltada para cima e com a mesma abertura de y = |x|.
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1.
Como |x + 4| = |x − (−4)|, o vértice é V(−4,−2).
2.
O gráfico é deslocado uma unidade para a direita e cinco para cima, refletido em relação ao eixo x e fica mais fechado pelo fator 3. Seu vértice é V(1,5).
3.
7. Equações modulares
Resolver uma equação modular significa encontrar os valores que tornam verdadeira uma igualdade que contém módulo. Para k ≥ 0:
Resolva |2x − 1| = 7.
2x = 8 ou 2x = −6
x = 4 ou x = −3
As duas soluções podem ser verificadas na equação original.
3x + 6 = 0
x = −2
Quando o módulo é igual a zero, há apenas uma possibilidade: a expressão interna também deve ser zero.
A equação |x + 2| = −1 não possui solução real, pois nenhum módulo pode resultar em um número negativo.
Pratique
1. Resolva |x − 5| = 9.
2. Resolva |3x + 2| = 11.
3. Determine o conjunto solução de |2x − 8| = 0.
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1.
x = 14 ou x = −4
2.
3x = 9 ou 3x = −13
x = 3 ou x = −13/3
3.
x = 4
O conjunto solução é {4}.
8. Aplicações e problemas
O módulo é especialmente útil para representar distâncias, desvios e diferenças, pois essas grandezas não dependem do sinal do resultado da subtração.
A distância entre dois números reais a e b é dada por |a − b|. A distância entre −3 e 5 é:
Uma câmara deve operar a 4 °C. Em determinado momento, o termômetro marcou −1 °C. O desvio em relação à temperatura esperada foi:
Quais números estão a seis unidades de distância do número 2?
x − 2 = 6 ou x − 2 = −6
x = 8 ou x = −4
Pratique
1. Calcule a distância entre os números −7 e 4.
2. Uma peça deveria medir 25 cm, mas apresentou 24,6 cm. Qual foi o erro absoluto da medida?
3. Determine os pontos da reta numérica que estão a nove unidades de distância de −2.
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1.
A distância é 11 unidades.
2.
3.
|x + 2| = 9
x + 2 = 9 ou x + 2 = −9
x = 7 ou x = −11
9. Erros frequentes
- Confundir módulo com troca de sinal: o módulo representa uma distância e não significa apenas “retirar o sinal negativo”.
- Esquecer o segundo caso: em |A| = k, com k positivo, devemos resolver A = k e A = −k.
- Aceitar módulo negativo: uma igualdade como |A| = −3 não possui solução real.
- Errar o vértice: em y = a|x − h| + k, o vértice é (h,k); o sinal de h aparece invertido na expressão.
- Trocar a representação por partes: antes de remover o módulo, identifique onde a expressão interna é positiva, nula ou negativa.
- Ignorar o contexto: a solução algébrica precisa ser interpretada de acordo com as grandezas do problema.
10. Revisão e aprofundamento
O valor de |−18| é:
O resultado de |−7| − |3 − 9| é:
A imagem da função f(x) = |x| é:
Na forma definida por partes, |x − 2| é igual a:
O vértice do gráfico de g(x) = |x + 3| − 4 é:
O gráfico de h(x) = −2|x| + 1 apresenta:
As soluções de |x − 1| = 5 são:
A equação |2x + 4| = 0 possui solução:
A distância entre −6 e 3 na reta numérica é:
Sobre a equação |x + 7| = −2, é correto afirmar que: