MATEMÁTICAFC

Função exponencial, equações e inequações exponenciais

Há fenômenos cuja variação depende do valor acumulado em cada etapa. Populações de microrganismos podem se multiplicar rapidamente, medicamentos são eliminados gradualmente do organismo e investimentos podem crescer pela incidência sucessiva de juros. Esses processos podem ser modelados por funções exponenciais.

Neste estudo, retomaremos as propriedades das potências, analisaremos o crescimento e o decrescimento exponencial, interpretaremos gráficos e resolveremos equações, inequações e problemas.

Conhecimentos de base

EM13MAT304 — resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como Matemática Financeira, crescimento de seres vivos, proliferação de microrganismos e decaimento radioativo.

EM13MAT403 — analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponenciais expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar suas características fundamentais.

1. Potências e propriedades

Uma potência aⁿ representa uma multiplicação de fatores iguais quando n é um número natural. O número a é a base e n é o expoente.

2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Propriedade	Condição
am · an = am+n	produto de potências de mesma base
am ÷ an = am−n	a ≠ 0
(am)n = am·n	potência de potência
(a · b)n = an · bn	potência de um produto
a0 = 1	a ≠ 0
a−n = 1 ÷ an	a ≠ 0
am/n = n√(am)	quando a expressão estiver definida nos reais

Exemplo 1 — Aplicando propriedades

a) 3² · 3⁵ = 3⁷ = 2 187
b) 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25
c) (2³)⁴ = 2¹² = 4 096
d) 4⁻² = 1 ÷ 4² = 1/16

Atenção: (a + b)ⁿ geralmente não é igual a aⁿ + bⁿ. Por exemplo, (2 + 3)² = 25, enquanto 2² + 3² = 13.

Pratique

1. Simplifique 2⁵ · 2⁻³.

2. Calcule (3²)³ ÷ 3⁴.

3. Escreva 1/125 como potência de base 5.

Ver respostas

1.

2⁵ · 2⁻³ = 2⁵⁻³ = 2² = 4

2.

(3²)³ ÷ 3⁴ = 3⁶ ÷ 3⁴ = 3² = 9

3.

1/125 = 1/5³ = 5⁻³

2. Definição da função exponencial

Uma função exponencial é aquela em que a variável aparece no expoente. Sua forma básica é:

f(x) = a^x, com a > 0 e a ≠ 1

A base deve ser positiva para que a função esteja definida para todo número real. Também deve ser diferente de 1, pois 1^x = 1 produziria uma função constante.

• Domínio: ℝ.
• Imagem: (0,+∞).
• Interseção com o eixo vertical: f(0) = 1, portanto o gráfico passa por (0,1).
• Assíntota horizontal: o eixo x, pois a função se aproxima de zero, mas nunca assume o valor zero.

Exemplo 2 — Tabela de valores

Considere f(x) = 2^x.

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
2x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

3. Crescimento e decrescimento

O comportamento da função depende da base a.

• Se a > 1, a função é crescente.
• Se 0 < a < 1, a função é decrescente.

As funções f(x) = 2^x e g(x) = (1/2)^x passam pelo ponto (0,1), mas apresentam comportamentos opostos.

Característica	a > 1	0 < a < 1
Comportamento	crescente	decrescente
Se x aumenta	ax aumenta	ax diminui
Se x tende a +∞	ax tende a +∞	ax tende a 0
Se x tende a −∞	ax tende a 0	ax tende a +∞

Pratique

1. Classifique f(x) = 5^x como crescente ou decrescente.

2. Classifique g(x) = (0,4)^x e calcule g(0).

3. Compare 3⁻², 3⁰ e 3².

Ver respostas

1.

Como 5 > 1, a função é crescente.

2.

Como 0 < 0,4 < 1, a função é decrescente. Além disso, g(0) = (0,4)⁰ = 1.

3.

3⁻² = 1/9,   3⁰ = 1,   3² = 9
3⁻² < 3⁰ < 3²

4. Interpretação e transformações do gráfico

Na expressão f(x) = b · a^x + k, o número b altera os valores e pode refletir o gráfico, enquanto k realiza um deslocamento vertical. A assíntota horizontal passa a ser a reta y = k.

Exemplo 3 — Deslocamento vertical

Compare f(x) = 2^x e g(x) = 2^x − 2.

• g é o gráfico de f deslocado duas unidades para baixo;
• a assíntota de f é y = 0;
• a assíntota de g é y = −2;
• g(1) = 0, portanto g encontra o eixo x no ponto (1,0).

5. Equações exponenciais com bases iguais

Uma equação é exponencial quando a incógnita aparece em um expoente. Se pudermos escrever os dois membros com a mesma base positiva e diferente de 1, igualamos os expoentes:

a^u = a^v ⇔ u = v

Exemplo 4 — Reduzindo à mesma base

Resolva 2^x+1 = 16.

2^x+1 = 2⁴
x + 1 = 4
x = 3

Exemplo 5 — Expoente fracionário

Resolva 9^x = 1/27.

(3²)^x = 3⁻³
3^2x = 3⁻³
2x = −3
x = −3/2

6. Equações exponenciais com substituição

Quando aparecem potências relacionadas, uma substituição pode transformar a equação exponencial em uma equação algébrica.

Exemplo 6 — Equação do tipo quadrática

Resolva 4^x − 5 · 2^x + 4 = 0.

Como 4^x = (2^x)², fazemos t = 2^x, com t > 0:

t² − 5t + 4 = 0
(t − 1)(t − 4) = 0
t = 1 ou t = 4

Retornando à variável x:

2^x = 1 ⇒ x = 0
2^x = 4 ⇒ x = 2

As soluções são 0 e 2.

Pratique

1. Resolva 3^x−1 = 27.

2. Resolva 25^x = 1/125.

3. Resolva 9^x − 10 · 3^x + 9 = 0.

Ver respostas

1.

3^x−1 = 3³
x − 1 = 3
x = 4

2.

(5²)^x = 5⁻³
2x = −3
x = −3/2

3.

Fazendo t = 3^x:

t² − 10t + 9 = 0
(t − 1)(t − 9) = 0
t = 1 ou t = 9
3^x = 1 ⇒ x = 0
3^x = 9 ⇒ x = 2

7. Inequações exponenciais

Nas inequações exponenciais, o comportamento da função determina o sentido da comparação.

Base	Comportamento	Comparação dos expoentes
a > 1	crescente	o sentido da desigualdade é mantido
0 < a < 1	decrescente	o sentido da desigualdade é invertido

Exemplo 7 — Base maior que 1

Resolva 2^x−1 > 8.

2^x−1 > 2³
x − 1 > 3
x > 4

Exemplo 8 — Base entre 0 e 1

Resolva (1/3)^2x+1 ≤ (1/3)⁵.

Como a base está entre zero e um, a função é decrescente e a desigualdade entre os expoentes deve ser invertida:

2x + 1 ≥ 5
2x ≥ 4
x ≥ 2

Pratique

1. Resolva 5^x+2 ≥ 125.

2. Resolva (1/2)^x−1 > (1/2)³.

3. Resolva 9^x ≤ 3^x+4.

Ver respostas

1.

5^x+2 ≥ 5³
x + 2 ≥ 3
x ≥ 1

2.

A base 1/2 determina uma função decrescente:

x − 1 < 3
x < 4

3.

3^2x ≤ 3^x+4
2x ≤ x + 4
x ≤ 4

8. Crescimento e decaimento exponencial

Muitos modelos podem ser escritos na forma Q(t) = Q₀ · a^t, em que Q₀ é o valor inicial.

• Se a > 1, ocorre crescimento exponencial.
• Se 0 < a < 1, ocorre decaimento exponencial.

Quando uma grandeza cresce r por período, usamos o fator 1 + r. Quando diminui r por período, usamos 1 − r, escrevendo a taxa na forma decimal.

Crescimento: Q(t) = Q₀(1 + r)^t
Decaimento: Q(t) = Q₀(1 − r)^t

9. Aplicações

Exemplo 9 — Proliferação de bactérias

Uma cultura começa com 500 bactérias e dobra a cada três horas. Após t horas, sua quantidade é N(t) = 500 · 2^t/3. Depois de nove horas:

N(9) = 500 · 2^9/3
N(9) = 500 · 2³
N(9) = 4 000

Exemplo 10 — Depreciação

Um equipamento de valor inicial igual a R 50.000,00 perde 20% de seu valor a cada ano. Após t anos:

V(t) = 50 000 · (0,8)^t

V(3) = 50 000 · (0,8)³
V(3) = 50 000 · 0,512
V(3) = 25 600

Após três anos, o valor será R 25.600,00.

Exemplo 11 — Juros compostos

Um capital de R 2.000,00 é aplicado a uma taxa de 5% por período.

M(t) = 2 000 · (1,05)^t
M(2) = 2 000 · 1,1025
M(2) = 2 205

Após dois períodos, o montante será R 2.205,00.

Pratique

1. Uma população inicial de 800 organismos triplica a cada quatro horas. Quantos organismos haverá após oito horas?

2. Um automóvel de R 60.000,00 perde 10% do valor a cada ano. Qual será seu valor após dois anos?

3. Um capital de R 5.000,00 é aplicado a juros compostos de 4% por período. Determine o montante após três períodos.

Ver respostas

1.

P(8) = 800 · 3^8/4
P(8) = 800 · 3²
P(8) = 7 200

2.

V(2) = 60 000 · (0,9)²
V(2) = 60 000 · 0,81
V(2) = 48 600

O valor será R 48.600,00.

3.

M(3) = 5 000 · (1,04)³
M(3) = 5 000 · 1,124864
M(3) = 5 624,32

O montante será R 5.624,32.

10. Erros frequentes

• Somar expoentes em uma soma: a propriedade a^m · aⁿ = a^m+n vale para produtos, não para adições.
• Confundir a⁻ⁿ com −aⁿ: expoente negativo indica o inverso da potência.
• Usar base negativa na definição: a função exponencial real básica exige a > 0 e a ≠ 1.
• Afirmar que a função assume o valor zero: a^x é sempre positivo.
• Esquecer de inverter a desigualdade: isso deve ocorrer quando a base está entre zero e um.
• Usar a porcentagem diretamente: um crescimento de 8% corresponde ao fator 1,08; uma redução de 8%, ao fator 0,92.
• Desconsiderar a unidade de tempo: o expoente deve representar a quantidade correta de períodos.

11. Revisão e aprofundamento

Questão 1

O resultado de 2³ · 2⁻¹ é:

A) 2

B) 4

C) 8

D) 16

E) 32

Questão 2

Qual expressão define uma função exponencial básica?

A) f(x) = x³

B) f(x) = 3x + 1

C) f(x) = 3^x

D) f(x) = |x|

E) f(x) = 1^x

Questão 3

A função f(x) = (0,2)^x é:

A) crescente.

B) decrescente.

C) constante.

D) quadrática.

E) indefinida em x = 0.

Questão 4

O gráfico de f(x) = 4^x passa pelo ponto:

A) (0,0)

B) (0,1)

C) (1,1)

D) (−1,0)

E) (4,0)

Questão 5

A solução de 2^x+2 = 32 é:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

Questão 6

A solução de 27^x = 1/9 é:

A) −3/2

B) −2/3

C) −1/3

D) 2/3

E) 3/2

Questão 7

A solução da inequação 3^x−1 > 9 é:

A) x < 1

B) x < 3

C) x > 1

D) x > 2

E) x > 3

Questão 8

A solução de (1/2)^x ≤ (1/2)⁴ é:

A) x ≤ −4

B) x ≤ 4

C) x ≥ −4

D) x ≥ 4

E) x = 4

Questão 9

Uma quantidade inicial de 200 unidades dobra a cada período. Após quatro períodos, seu valor será:

A) 800

B) 1 000

C) 1 600

D) 3 200

E) 6 400

Questão 10

Uma grandeza sofre redução de 15% a cada período. O fator exponencial utilizado no modelo é:

A) 0,15

B) 0,75

C) 0,85

D) 1,15

E) 1,85

Gabarito

1. Alternativa B

2³ · 2⁻¹ = 2² = 4

2. Alternativa C

Em 3^x, a variável aparece no expoente e a base satisfaz as condições da função exponencial.

3. Alternativa B

Como 0 < 0,2 < 1, a função é decrescente.

4. Alternativa B

Toda função f(x) = a^x passa por (0,1), pois a⁰ = 1.

5. Alternativa B

2^x+2 = 2⁵
x + 2 = 5
x = 3

6. Alternativa B

3^3x = 3⁻²
3x = −2
x = −2/3

7. Alternativa E

3^x−1 > 3²
x − 1 > 2
x > 3

8. Alternativa D

Como a base está entre zero e um, invertemos a desigualdade entre os expoentes: x ≥ 4.

9. Alternativa D

200 · 2⁴ = 200 · 16 = 3 200

10. Alternativa C

1 − 0,15 = 0,85

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